浙江台州市2025-2026学年高二下学期6月期末质量评估数学试题

台州市2025学年第二学期高二年级期末质量评估试题答案 数 学 2026.06 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C A B C D B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9 10 11 BCD ABD ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．16 13． 14．4116 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）解：（1）由题意知，服从超几何分布， 因此，恰好摸到2个红球的概率为． 4分 （2）的所有可能取值为0，1，2， 因为服从超几何分布，所以，， 由（1）知， 10分 得的分布列为： 故． 13分 16．（15分）（1）当时，，定义域为， 因为，即， 所以函数是奇函数． 7分 （2）由函数解析式可得 ，， 得，由，得， 根据基本不等式，， 当且仅当，即时，取到最小值． 15分 17．（15分）（1）因为日均睡眠时长服从正态分布， 所以， 故其日均睡眠时长不低于小时的概率为． 6分 （2）由已知，一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立， 因此，， 因为，所以，即，得， 又因为， 所以的最小值为3． 15分 18．（17分）（1）法一：因为，，且， 所以， 即，得，故． 5分 法二：设，取中点，连接， 则是的中位线，得， 因为是的中点，所以也是的中点， 由已知，得为等腰三角形，即， 又因为，所以． （2）设，连接， 由（1）知，，因此，， 又因为，所以点为的中点， 在和中，，，， 因此，，得， 因为点为的中点，所以， 由已知，平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 11分 （3）不妨设，则， 在中，，得， 在中，，得， 在中，，， 由（2）知，平面，平面，得平面平面， 设点在平面内的射影为，则点在直线上，且平面， 连接，，则为直线与平面所成角， 在中，易知，，， 得，即， 因此，， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17分 19．（17分）（1）当时，， 由，即，解得， 2分 由余弦函数图象知，，， 故不等式的解集为，． 4分 （2）由二倍角公式得，设，， 则问题等价于：对任意，存在实数，使得不等式恒成立， 记，， ①当时，因为函数的图象开口向上， 所以的最大值为， 得且，即， 因此，要存在实数，则，得， 当时，，此时函数恒成立； ②当时，易知； 综上，的最大值为1． 10分 （3）由（2）知，设，， 则问题等价于：对任意，不等式恒成立， 记，， ①当时，因为，所以关于的方程在上有两个不同的解，，且，则或， 否则，与矛盾， 不妨设，则当时，，， 不成立，因此，当时，不满足条件； ②当时，问题等价于：对任意，不等式恒成立， 易知，当时，取到最大值2，得， 因此，当，时，对任意，不等式恒成立； 综上，，，故． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2025学年第二学期高二年级期末质量评估试题 数 学 2026.06 本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知一组数据为：1，2，2，3，3，3，4，6，8，9，则该组数据的第70百分位数是 A．4 B．5 C．6 D．7 2．在平面直角坐标系中，已知向量，，若，则 A． B． C． D． 3．若变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A． B． C． D． 4．已知集合，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，结论为 （第5题） A．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过 C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过 6．已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为 A． B． C． D． 7．在的展开式中，设含项的系数为，则除以8的余数为 A．1 B．3 C．5 D．7 8．如图，在中，，，，分别交，于，两点，交于点，记的面积为，的面积为，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知复数，，为虚数单位，则 A．当时，为纯虚数 B． C．的最大值为 D．若复数满足，则一定为实数 10．某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件．甲生产线的产量占全部产量的，乙生产线的产量占全部产量的，甲生产线的次品率为6%，乙生产线的次品率为3%．现从该工厂生产的零件中随机抽取一件，设事件表示“抽到的零件为次品”，设事件表示“抽到的零件来自甲生产线”，定义随机变量则 A． B． C． D． 11．已知直线，，，点，位于的两侧，现将半平面沿直线翻折，设二面角的大小为，，，则 A．当时，为钝角 B．当时， C．当时，的最小值为 D．翻折过程中，不存在某个位置，使得 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知某校高二年级有50人参加市高中数学联赛，其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的人数为__________． 13．已知函数，则关于的方程的解集为__________． 14．用4种不同的颜色给如图8个方格涂色，要求有公共边的方格不同色，则不同的涂色方法一共有__________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在一个口袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中随机摸出2个球，设随机变量为摸到红球的个数． （1）求恰好摸到2个红球的概率； （2）求的分布列及数学期望． 16．（15分）已知函数，． （1）当时，求证：函数是奇函数； （2）当时，求的最小值． 17．（15分）为了研究某地区高三学生的学习与生活，随机抽取了该地区部分高三学生，并对其一周内的睡眠时长进行统计分析，得知该地区高三学生一周内的日均睡眠时长（单位：小时）服从正态分布． （1）若从该地区随机抽取1名高三学生，求其日均睡眠时长不低于小时的概率（精确到）； （2）若从该地区随机抽取名高三学生，假定一周内每个学生的日均睡眠时长相互独立，记事件“至少有1人日均睡眠时长不低于小时”，且，求的最小值． 参考数据：①若随机变量服从正态分布，则，；②，． 18．（17分）如图，在三棱锥中，，，，，． （1）求的值； （2）求证：平面平面； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分）已知函数，其中，． （1）若，求不等式的解集； （2）若对任意，恒成立，求的最大值； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $