15.3.1.2等腰三角形的判定-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定，核心知识点包括“等角对等边”定理及定义法判定。课堂通过海上救生船情境导入，回顾“等边对等角”性质，引导学生探究逆定理，构建“性质-判定”知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如情境问题培养抽象能力和几何直观，证明过程发展推理意识，尺规作图和坐标应用提升应用意识。采用“情境-探究-例题-变式”教学法，帮助学生深化理解，教师可高效开展教学。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月24日 15.3.1.2等腰三角形的判定 第十五章 轴对称 15.3.1.2 等腰三角形的判定 同步练习题（人教版八年级上册） 核心知识点回顾：1. 判定定理（等角对等边）：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形；2. 判定核心：由角相等推出边相等，与等腰三角形性质“等边对等角”互为逆定理；3. 辅助判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义法）；4. 解题关键：找准等角对应的对边，避免对应边混淆，常结合内角和、平行线性质推导等角。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 等腰三角形最核心的判定定理是（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三边相等 D. 有一个角为60° 2. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=50°，则可判定（） A. AB=AC B. BC=AC C. AB=BC D. 无法判定 3. 下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（） A. ∠A=30°，∠B=60° B. ∠A=40°，∠B=70° C. ∠A=60°，∠B=80° D. ∠A=50°，∠B=80° 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 等角对等边：三角形中如果两个角相等，那么这两个角所对的________相等。 5. 在△ABC中，∠B=∠C=65°，则________=________（填边），△ABC为等腰三角形。 6. 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法：一是________，二是等角对等边。 三、解答题（共60分） 7.（20分）在△ABC中，已知∠A=80°，∠B=50°，求证：△ABC是等腰三角形。 8.（20分）如图，已知AB∥CD，CA平分∠BCD，求证：△ABC是等腰三角形。 9.（20分）在△ABC中，AD平分∠BAC，AD∥BC，求证：AB=AC。 参考答案与解析 选择题：1.B（等腰三角形判定定理为等角对等边） 2.B（∠A=∠B，对应边BC=AC） 3.B（∠A=40°，∠B=70°，可得∠C=70°，∠B=∠C，可判定等腰） 填空题：4. 边 5. AB、AC 6. 有两条边相等（定义法） 解答题：7. 证明：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°。∴∠B=∠C，根据等角对等边，可得AB=AC，△ABC是等腰三角形。 8. 证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA。又∵CA平分∠BCD，∴∠BCA=∠DCA。∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC，△ABC是等腰三角形。 9. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵AD∥BC，∴∠BAD=∠B，∠CAD=∠C。∴∠B=∠C，∴AB=AC。 （总字数：808） B C 如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 探究新知 A 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 知识点 等腰三角形的判定 D C A B 2 1 （ （ ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB=AC. ∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD， 证明：如图，过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 在△ABD与△ACD中， 已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. 知识点 等腰三角形的判定 由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 符号语言： 如图，在△ABC中，∵∠B=∠C， ∴△ABC为等腰三角形 知识点 等腰三角形的判定 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知： 如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线， AD∥BC.求证：AB=AC． 分析：要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B,∠C与∠1，∠2的关系. 知识点 等腰三角形的判定 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C． 又AD平分∠CAE ∴∠1=∠2， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC（等角对等边）． 知识点 等腰三角形的判定 跟踪训练 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形. 证明：在△ABD和△DCA中， AB=DC， BD=CA， AD=DA， ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC， ∴AE=DE(等角对等边）. ∴ △AED是等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 a h 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上. 由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形. 例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形. 作法：如图 . (1)作线段 AB=a； (2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； (3)在MN 上取一点C，使 DC=h； (4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. a h A B M N D C 知识点 等腰三角形的判定 例3 如图，在△ABC中，∠BAD=∠C，BE平分∠ABC. 求证：△AEF是等腰三角形 证明：∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE. ∵∠BAD=∠C ， ∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠C. ∵∠AFE=∠ABE+∠BAD，∠AEB=∠CBE+∠C, ∴∠AFE=∠AEB ， ∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形. 知识点 等腰三角形的判定 知识点1 等腰三角形的判定 1. 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　) A.3个　　 B.4个　　 C.5个　　 D.6个 返回 D 基础提优题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40 n mile的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处，则N处与灯塔P的距离为(　　) A.40 n mile　　 B.60 n mile C.70 n mile　　 D.80 n mile 返回 D 基础提优题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 3.小明将两把完全相同的长方形直尺(单位：cm)如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则OC的长度是(　　) A.3 cm B.2 cm C.2.5 cm D.3.5 cm 返回 A 基础提优题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 4. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，AD交EC′于点G，若折叠后∠AGC′＝48°. (1)求∠CEF的度数； 基础提优题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 【解】∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.∴∠BEG＝∠AGC′＝48°.由折叠的性质，得∠CEF＝∠C′EF，∴∠CEF＝×(180°－48°)＝66°. 基础提优题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 【证明】∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF. ∵∠CEF＝∠C′EF.∴∠GFE＝∠C′EF. ∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形. (2)求证：△EFG是等腰三角形. 返回 基础提优题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 知识点2 尺规作等腰三角形 5. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形.下列作法正确的有　　　　(填序号). 返回 ①③④ 基础提优题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 6.尺规作图：已知线段a(如图)，画一个底边长为a，底边上的高也为a的等腰三角形. 返回 【解】(1)作线段BC＝a； (2)作线段BC的垂直平分线MN，与BC相交于点D； (3)在MN上取一点A，使DA＝a； (4)连接AB，AC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.如图所示. 基础提优题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是(　　) A.5　　 B.10　　 C.15　　 D.20 返回 B 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 8.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，3)，B(3，0)，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(　　) A.3　　 B.4　　 C.7　　 D.8 B 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 【点拨】∵A(0，3)，B(3，0)，∴OA＝OB＝3.如图，以点A为圆心，AB长为半径画圆，交x轴于点C3，得到以A为顶点的等腰三角形ABC3；以点B为圆心，AB长为半径画圆，交x轴于点C1，C2，得到以B为顶点的等腰三角形ABC1、等腰三角形ABC2；作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C4为顶点的等腰三角形ABC4.综上所述，符合条件的点C一共有4个. 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 返回 确定等腰三角形的个数问题是等腰三角形中的常见题，通常是“”类型，则以两定点所连线段进行分类讨论，①当该线段是等腰三角形的底时，作该线段的垂直平分线进行找点；②当该线段是等腰三角形的边时，分别以两定点为圆心，两定点所连线段为半径作圆来进行找点. • • • • 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 9. ［2026西安未央区期末］如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为AC的中点，连接BE交AD于点O，则图中两个阴影三角形(△OBD与△OAE)的面积之差的最大值为　　　　. 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 【点拨】如图，延长BD， AC交于点H.∵AD⊥BH， ∴∠ADB＝∠ADH ＝90°. ∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠HAD.∴∠ABD＝∠H.∴AB＝AH.又∵AD⊥BH，∴BD＝DH.∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD.又∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°， 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 ∴∠CDH＝∠H.∴CH＝CD＝AC.∵E为AC的中点，∴AE＝EC.∴易得S△ABE＝S△ABH.∵S△CDH＝S△ADH＝S△ABH.∴S△ABE＝S△CDH.∵S△OBD－S△AOE＝S△ADB－S△ABE＝S△ADH－S△CDH＝S△ACD.∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝. 返回 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，D是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CD，以CD为边作等腰三角形CDE，CD＝CE，且∠DCE＝100°，CB与DE交于点F，连接BE. (1)求证：△ACD≌△BCE； 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 【证明】∵∠ACB＝100°，∠DCE＝100°， ∴∠ACB＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE(SAS). 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 (2)当AD＝BF时，证明△DCF是等腰三角形. 【证明】∵AC＝BC，∠ACB＝100°， ∴∠A＝×(180°－100°)＝40°. 同理可得∠CDE＝40°. ∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝40°. 又∵AD＝BF，∴BE＝BF.∴∠BFE＝∠BEF＝70°. 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 ∴∠DFC＝∠BFE＝70°. ∵在△DCF中，∠CDE＝40°，∠DFC＝70°， ∴∠DCF＝70°＝∠DFC.∴DC＝DF. ∴△DCF是等腰三角形. 返回 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 素养 拓展型学习任务群 创新拓展题 综合应用题 素养 拓展型学习任务群 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 基础提优题 中考考法 等腰三角形 定义法 等角对等边 判定定理法 有两边相等的三角形是等腰三角形 尺规作图 判定 已知底边及底边上的高作等腰三角形 $