55第七章 第50课时 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“基本立体图形、简单几何体的表面积与体积”核心考点，依据高考评价体系明确结构特征描述、表面积体积计算、直观图画法三大考查要求，梳理柱锥台球及组合体结构特征，分析表面积体积公式应用（占比60%）等高频考点，归纳结构判断、最短路径、体积计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+通性通法”策略，如以2024九省联考圆锥与球体积比为例，用割补法、等体积法突破体积计算，培养空间观念和推理能力。设“易错陷阱警示”，帮助学生掌握展开图化曲为直等技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第七章　立体几何与空间向量 第七章　立体几何与空间向量 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 [考试要求]　1．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．3．能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图． 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 理法先行·题练固本 知识点1　空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 5 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相____且____ 多边形 互相____且____ 侧棱 __________ 相交于____ 但不一定相等 延长线交于____ 侧面 形状 __________ ______ ____ 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (2)特殊的棱柱 ①侧棱垂直于底面的棱柱叫做______． ②侧棱不垂直于底面的棱柱叫做______． ③底面是正多边形的直棱柱叫做______． ④底面是平行四边形的四棱柱叫做__________． 直棱柱 斜棱柱 正棱柱 平行六面体 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (3)正棱锥 底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (4)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行 且相等， ____于底面 相交于 ____ 延长线交 于____   轴截面 ____ __________ ________ ____ 侧面 展开图 ____ ____ ____ 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 矩形 扇形 扇环 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 知识点2　立体图形的直观图 (1)画法：常用__________． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°)，z'轴与x'轴和y'轴所在平面____． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍________________，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度____，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的____． 斜二测画法 垂直 分别平行于坐标轴 不变　 一半 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 知识点3　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面 积公式 S圆柱侧＝____ S圆锥侧＝___ S圆台侧＝ ____________ 2πrl πrl π(r1＋r2)l 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 知识点4　柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 表面积 体积 柱体(棱柱 和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝___ 锥体(棱锥 和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝____ 台体(棱台 和圆台) S表面积＝S侧 ＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝____ V＝_____ Sh Sh 4πR2 πR3 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 [常用结论] 1．与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)． 2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图，S原图＝2S直观图． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 1．(人教A版必修第二册P106习题8.1T8改编)如图，长方体ABCD-A'B'C'D' 被截去一部分，其中EH∥A'D'∥FG，则剩下的几何体是 (　　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 C　[由于平面ABFEA'∥平面DCGHD'，且AD，BC，FG，EH，A'D'相互平行且相等，所以剩下的几何体是五棱柱．故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 2．(苏教版必修第二册P161练习T4改编)下列说法正确的是(　　) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 √ D　[由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 3．(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　) A．1 cm　　 B．2 cm C．3 cm　　 D．cm √ B　[设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2(cm)．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 4．(人教A版必修第二册P119练习T2)当一个球的半径为__________时，其体积和表面积的数值相等．  3　[设球的半径为R，由题意得πR3＝4πR2，解得R＝3．] 3　 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 5．(用结论)水平放置的△AOB的直观图如图所示，在直观图中， O'A'＝O'B'＝2，则△AOB的面积是(　　) A．4 B．4 C．2 D．8 √ A　[由常用结论2知，S△AOB＝2×S△A'O'B'＝2×2×2×sin 45°＝4．故选A．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 考点深研·题型突破 考点一　基本立体图形 考向1　结构特征 [典例1]　(多选)下列说法中正确的是(　　) A．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是三角形，且轴截面面积最大 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 √ √ 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 20 AD　[由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A正确； 底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故B错误； 对于C，如图，在圆锥SO中，经过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面一定是等腰三角形， 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 设截面为△SAC，设AB为底面圆O的一条直径，若∠ASB为钝角，则当SA⊥SC时，截面三角形的面积最大，C错误； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 通性通法：辨别空间几何体的两种方法 (1)定义法：紧扣定义进行判定． (2)反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 考向2　直观图 [典例2]　(2025·濮阳期末)如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则以下说法正确的是 (　　) A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍 C．△ABC是等边三角形 D．△ABC的周长是4＋4 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 D　[根据斜二测画法还原图形，可得如图： 则AO＝A'O'，CO＝C'O'，BO＝2B'O'，BO⊥AC， 易知△ABC为等腰直角三角形，故A、C错误； 由题意，过B'作B'D'⊥A'C'，垂足为D'，如图， 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 则B'D'＝B'O'sin 45°＝， 由S△ABC＝·AC·BO＝×4×2＝4， S△A'B'C'＝·A'C'·B'D'＝×4×， 则S△ABC＝2S△A'B'C'，故B错误； △ABC的周长AB＋AC＋BC＝AC＋＝4＋4，故D正确． 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 通性通法：在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 [多维变迁] (多选)(2025·定西期末)如图所示为四边形ABCD的平面图，其中AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD⊥AB，AD＝2，用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D'，其中∠x'A'y'＝45°，则下列说法正确的是(　　) A．A'D'＝2 B．A'B'＝4 C．四边形A'B'C'D'为等腰梯形 D．四边形A'B'C'D'的周长为6＋4 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 BC　[由题意可画出其直观图如下， 其中A'B'∥C'D'，A'B'＝AB＝4，C'D'＝CD＝2， A'D'＝AD＝，故A错误，B正确； 过点D'，C'分别作D'M⊥A'B'，C'N⊥A'B'，垂足分别为点M，N， 故A'M＝D'M＝C'N＝A'D'sin 45°＝1，NB'＝A'B'－C'D'－A'M＝1， 故B'C'＝，则四边形A'B'C'D'为等腰梯形，故C正确； 故四边形A'B'C'D'的周长为4＋2＋2＝6＋2，故D错误．故选BC．] 考向3　展开图 [典例3]　(2025·河池期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝4，BC＝2，AA1＝4，点D在棱AC上，则A1D＋DB的最小值为(　　) A．4＋2　 B．4＋2 C．2＋2 D．2 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 D　[第1步　确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式． 将平面ABC、平面AA1C1C沿AC翻折至同一平面，如图所示． 第2步　确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长． 则当A1，B，D三点共线时，A1D＋DB取最小值， 因为A1C1＝CC1＝4，BC＝2，且∠ACB＝∠ACC1＝90°， 延展后，B，C，C1共线，所以BC1＝2＋4＝6，A1C1＝4，∠A1C1B＝90°， 由勾股定理，得A1B＝＝2． 故A1D＋DB的最小值为2． 故选D．] 思维建模：最短路径模型 第1步　确定展开方式：找路径两端点所在平面的公共棱、端点所在棱或所在的母线，确定展开方式． 第2步　确定最小值：分别计算不同展开方式中两端点的连线长度，其最小值为最短路径的长． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 [多维变迁] (2025·靖江期末)圆台的上、下底面半径分别为1 cm，3 cm，母线AB长为12 cm，从AB的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到点A(A在下底面)，则绳子的最短长度为(　　) A．10 cm B．6 cm C．4π cm D．6 cm √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 B　[如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度． 因为圆台的上、下底面半径分别为1 cm，3 cm， 所以， 母线长AB＝12 cm，代入可得OB＝6 cm， 所以OA＝18 cm，OM＝12 cm， 设∠BOB'＝θ，由2×1×π＝OB·θ， 解得θ＝， 所以AM＝＝6(cm)， 即绳子的最短长度为6cm． 故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【教用·通性通法】 在解决空间曲线或折线(段)最短问题时一般要考虑几何体的侧面展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 考点二　面积与体积 考向1　侧面积和表面积 [典例4]　(1)(2025·眉山期末)毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米，上半部分圆锥的母线长为2米，轴截面(过圆锥轴的截面)是面积为3平 方米的等腰钝角三角形，则建造该 毡帐(不含底面)需要毛毡(　　) 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 A．(6＋15)π平方米 B．(5＋6)π平方米 C．(12＋15)π平方米 D．(10＋6)π平方米 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (2)(2025·安康模拟)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1，AA1＝2．若正四棱台的高为2，则其表面积为(　　) A．24 B．12 C．24＋24 D．40＋24 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (1)A　(2)D　[(1)根据题意，如图所示为该组合体上半部分圆锥轴截面， 由于其母线长为2米，轴截面是面积为3平方米的等腰钝角三角形， 则有 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 则上半部分圆锥的侧面积S1＝πrl＝6π， 下半部分圆柱的侧面积S2＝2πr×2.5＝15π， 则该组合体的表面积(不含底面)S＝S1＋S2＝(6＋15)π．故选A． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (2)设A1B1＝a，则AB＝2a，如图，连接AC，BD交于点O，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接OO1，由正四棱台的几何性质可知O1，O分别是上、下底面的中心，所以OO1⊥平面ABCD，OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1为正四棱台的高h，由题可知h＝2．过点A1作A1H⊥AO交AO于点H，则h2＋(AO－A1O1)2＝A，即h2＋＝(2)2，解得a＝2．过点A1作A1H'⊥AB交AB于点H'，则A1H'为斜高，此时A1H'＝，所以正四棱台的表面积S＝4×＋(2)2＋(4)2＝40＋24． 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 通性通法：空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔接部分的处理． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 [多维变迁] (2026·临沧模拟)已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为(　　) A．π B．π C．π D．3π √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 B　[由题意作出示意图如图所示． 则球的半径为OA＝OB，由题意可得∠OAB＝，所以△OAB是等边三角形， 所以∠AOB＝，所以∠O1OB＝， 因为球O的表面积为4π，所以4π×OA2＝4π，解得OA＝1，所以OB＝AB＝1， 所以O1B＝OB＝， 所以圆台的侧面积为π×1＝． 故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 考向2　体积 [典例5]　(1)(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是________，圆锥的表面积与球O的表面积的比值是_______．  　 1　 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (2)(2024·天津卷)一个五面体ABC-DEF．已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为 (　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (1)　1　(2)C　[(1)设圆锥的底面半径为r，球的半径为R， 因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h＝r，母线长l＝2r，由题可知，h＝2R，所以球的半径R＝r， 所以圆锥的体积为V1＝πr2×r＝πr3， 球的体积V2＝πR3＝π×πr3， 所以． 圆锥的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2， 球的表面积S2＝4πR2＝4π×＝3πr2， 所以＝1． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 (2)法一(补形法)：如图1，用一个完全相同的五面体HIJLMN与该五面体相嵌，因为AD∥BE∥CF，且两两之间的距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱，且该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，该截面的面积为×1×1×，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4， 所以该五面体的体积为VABC-DEF＝VABC-HIJ＝×4 ＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 法二(补形法)：如图2，延长AD到点G，使DG＝2，延长BE到点H，使EH＝1，连接AF，BF，可得AG＝BH＝CF＝3，结合AG∥BH∥CF，可知多面体ABC-GHF为三棱柱．因为四边形ABED与四边形HGDE全等，所以VF-ABED＝VF-HGDE＝VABC-GHF．由AG∥BH∥CF，且它们两两之间的距离为1，得当三棱柱ABC-GHF为正三棱柱时，底面边长为1，高为3，此时 VABC-GHF＝×12×3＝．根据棱柱的性质，若三棱柱 ABC-GHF为斜三棱柱，则体积也是，所以VF-ABED＝ VF-HGDE＝VABC-GHF＝，所以该五面体的体积V＝VABC-GHF －VF-HGDE＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 法三(分割法)：因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间的距离为1，过点D作与AB，AC平行的直线分别交BE，CF于点P，Q(图略)，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱ABC-DPQ和一个底面为梯形的四棱锥D-PQFE，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，故该五面体的体积为 V＝×1＋．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 通性通法：求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解； (2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体； (3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 微点突破9　等体积法与割补法求体积 [典例6]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝1，AB＝AC＝2，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P-ABC的体积． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 [解]　法一(直接法)：如图1，取BC的中点D，连接AD，PD，过点P作PO⊥AD于点O， 由题意可得BC⊥AD，BC⊥PD． 因为AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD， 所以BC⊥平面PAD． 又BC⊂平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC． 因为平面PAD∩平面ABC＝AD，PO⊥AD，PO⊂平面PAD， 所以PO⊥平面ABC，即PO为三棱锥P-ABC的高． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 因为AB＝AC＝2，∠BAC＝60°， 所以BC＝2，AD＝． 又PA＝1，∠PAC＝∠PAB＝60°， 所以PB＝PC＝，所以PD＝， 所以AD2＝PA2＋PD2， 所以AP⊥PD． 由PA·PD＝PO·AD， 得PO＝， 所以V三棱锥P-ABC＝S△ABC·PO＝BC·AD·＝×2×1×． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 法二(等积转换法)：在△PAB中，由余弦定理，得PB2＝PA2＋AB2－2PA·AB·cos∠PAB＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3． 所以AB2＝PA2＋PB2，所以PA⊥PB． 同理可得PA⊥PC， 故PA⊥平面PBC． 因为AB＝AC＝2，∠BAC＝60°， 所以△ABC为正三角形，BC＝2． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 如图1，取BC的中点D，连接PD，则PD＝． 所以S△PBC＝BC·PD＝， 所以V三棱锥A-PBC＝S△PBC·PA＝×1＝． 所以V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 法三(割补法)：如图2，分别取AB，AC的中点M，N，连接PM，PN，MN， 则PA＝AM＝AN＝1，由∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，得PM＝PN＝MN＝1， 所以三棱锥P-AMN是一个棱长为1的正四面体． 则V三棱锥P-AMN＝·S△AMN·h＝×12×sin 60°× ， 所以V三棱锥P-ABC＝4V三棱锥P-AMN＝4×． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 通性通法：规则几何体一般直接利用公式求体积；不规则几何体的体积常用“割补法”分割成几个规则几何体或补成规则几何体求体积；求三棱锥的体积通常还需选择合适的底面，利用“等体积法”求体积． 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 1．(链接考点一考向2)(2025·天津期中)将水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则边AB的实际长度为(　　) A． B．6 C．5 D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 C　[依题意，在△ABC中，BC⊥AC，BC＝2B'C'＝4，AC＝A'C'＝3， 所以AB＝＝5． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 2．(链接考点一考向2)(多选)(2025·安康期末)下列命题中为真命题的是(　　) A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．棱台的侧面一定不会是平行四边形 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 ABD　[选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 选项B：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确． 选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如图所示，故C错误； 选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确． 故选ABD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 3．(链接考点一考向3)如图，已知圆柱体底面圆的半径为cm，高为2 cm，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留根式)(　　) A．cm B．2cm C．2cm D．4 cm √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 C　[如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC1的长度即为所求． 在Rt△AB1C1中，AB1＝π·＝2(cm)，B1C1＝2 cm， 所以AC1＝2cm． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 4．(链接考点二考向1)(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直 径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是(　　) A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 CD　[圆柱的侧面积为2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的母线长为R，圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，故B错误；球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；圆柱的体积为πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积为×πR2×2R＝R3，球的体积为R3，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为2πR3∶R3∶ R3＝3∶1∶2，故D正确．故选CD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 5．(链接考点二考向2)(2025·永州月考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为 ______________．  　 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 　[因为在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝PC，线段PB上的点N满足PN＝PB，所以 S△PMA＝S△PAC， 设N到平面PAC的距离为d1，B到平面PAC的距离为d2，则d1＝d2， 则三棱锥 P-AMN的体积V三棱锥P-AMN＝V三棱锥N-APM＝S△PAM·d1＝S△PAC×d2＝V三棱锥B-PAC． 故三棱锥 P-AMN和三棱锥 P-ABC的体积之比为．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(2025·惠州校级期中)下列说法正确的是(　　) A．过球面上两点与球心有且只有一个平面 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 课时作业(五十)　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 70 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 C　[对于A：当球面上两点与球心在一条直线上 时，这样的平面有无数多个，故A错误； 对于B：若平面与圆锥底面不平行，则此时截出 来的不是圆台，如图所示，故B错误； 对于C：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于D：棱台要求侧棱的延长线交于一点，故D错误． 故选C．] 71 √ 2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 72 B　[设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2，解得r＝3， 故圆锥的体积为π×9×＝3π．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 73 √ 3．如图，小蚂蚁的家住在长方体ABCD-A1B1C1D1的A处，小蚂蚁的奶奶家住在C1处，三条棱长分别是AA1＝1，AB＝2，AD＝3，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到奶奶家C1的最短距离是(　　) A．2 B．3 C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 74 B　[将长方体的部分表面展开，则从A点出发到C1点，有3条直线路线，如图1，2，3所示． 图1中，AB＝2，BC1＝4，所以AC1＝＝2； 图2中，AC＝5，CC1＝1，所以AC1＝； 图3中，C1B1＝3，AB1＝3，所以AC1＝＝3． 而>2>3，所以小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到奶奶家C1的最短距离是3．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 75 √ 4．(2026·西宁模拟)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，若将其截去三棱锥A-A1B1D1，则剩余部分几何体的体积为(　　) A． B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 76 D　[将平行六面体截去三棱锥后，剩余部分几何体的体积等于平行六面体的体积减去三棱锥的体积， 记平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为V＝1， 则三棱锥A-A1B1D1的体积V1＝·h ＝·h＝V＝， 所以剩余部分几何体的体积为V－V1＝1－． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 77 √ 5．(人教A版必修第二册P120习题8.3T8改编)在△ABC中，AB＝2，BC＝，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是(　　) A．π B．π C．π D．π 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 78 A　[如图，形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥．由题易知OA＝，OB＝1，所以旋转体的体积为V＝π×OA2×BC＝π×()2×π．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 79 √ 6．(2026·广州模拟)辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省喀左县小波汰沟．鼎体直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足部装饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似等于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为(　　) A．R B．R C．R D．R 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 80 D　[由球的半径为R，得圆柱体的高为R， 此鼎主体部分的容积约为πR3＋πR2×R＝πR3， 此鼎主体部分外表面积约为×4πR2＋2πR×R＝4πR2， 所以此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为：R． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 81 √ 二、多项选择题 7．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，则在原平面图形△ABC中，有(　　) A．AC＝BC B．AB＝2 C．AC＝2 D．S△ABC＝4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 82 BD　[如图所示，在直观图△A'B'C'中，过C'作C'D'⊥A'B'于D'， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ∵A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，∴A'D'＝1，C'D'＝＝2． 又∠C'O'D'＝45°，∴O'D'＝2，O'A'＝1，O'C'＝2， 83 所以利用斜二测画法将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC，如图， 则OC＝4，OA＝1，AB＝2，故选项B正确； 又因为AC＝， BC＝，故选项A，C错误； S△ABC＝×AB×OC＝×2×4＝4，故选项D正确．故选BD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 84 √ 8．(2025·肇庆期末)如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，CD＝4，则(　　) A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为3 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 85 BCD　[对于A，因为圆台O1O2，在其轴截面ABCD中，AB＝BC＝AD＝CD，CD＝4，所以该圆台的高为O1O2＝，所以A选项错误； 对于B，因为该圆台轴截面面积为S＝(AB＋CD)·O1O2＝(2＋4)×＝3，所以B选项正确； 对于C，因为该圆台的体积为V＝(4π＋π＋)×，所以C选项正确； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 86 对于D，将圆台侧面沿直线BC处剪开， 其侧面展开图如图所示． 易知圆弧的长度分别为2π，4π， 设扇形圆心为O，圆心角为θ，OB＝r， 由弧长公式可知θr＝2π，θ(r＋2)＝4π，解得θ＝π，r＝2，所以可得∠AOB＝90°， 设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过路程最短， 易知OE＝3，OC＝4，且OE⊥OC， 由勾股定理可知，EC＝＝5，所以D选项正确． 故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 87 √ 9．(2025·泊头期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，BC＝3，CC1＝4，且AB⊥BC，P为BC1的中点，则(　　) A．三棱锥A-BCC1的体积为4 B．三棱锥C-APC1的体积为 C．四棱锥C1-ABB1A1的体积为8 D．三棱锥C1-ABC的表面积为14＋2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 88 ACD　[对于A，×CC1×S△ABC＝×4××2×3＝4，故A正确； 对于B，， 而三棱锥A-BCC1与三棱锥A-PCC1有共同的高， ∵P为BC1的中点，∴， ∴×4＝2，故B错误； 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 89 对于C， ＝×2×3×4－4＝8，故C正确； 对于D，由题可知，AC＝，AC1＝，BC1＝5， ∴AB2＋B＝A， ∴△ABC1是直角三角形，AB⊥BC1， ∴三棱锥C1-ABC的表面积为S△ABC＋×2×3＋×3×4＋×4＋×2×5＝14＋2，故D正确．故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 90 三、填空题 10．(人教A版必修第二册P120习题8.3T3改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1＝16．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 91 12　[设△ABC的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，侧面AA1B1B水平放置时，水的体积为V＝S△ABC·AA1＝a·16＝12a， 当底面ABC水平放置时，水的体积为V＝S△ABCh＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12， 所以当底面ABC水平放置时，液面高为12．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 92 11．(2026·鄄城模拟)如图，已知圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1B∥O2A，则圆台的体积为______________，圆台的表面积为______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　11π 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 93 　11π　[因为在圆台O1O2中，△ABO2为等边三角形，三角形边长为2，且O1B ∥O2A， 所以O1B＝1，圆台的高h＝，因此圆台的体积为V＝πh(＋r1r2＋)＝，表面积S＝π(＋r1l＋r2l＋)＝11π．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 94 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2025·深圳二模)已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为______________．  36　 36　[如图，在正四棱锥P-ABCD中，PO为四棱锥的高，PE为侧面的高，因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以S侧＝4××6PE＝2S底＝72，解得PE＝6， PO＝＝3， 所以V四棱锥P-ABCD＝S底·PO＝×36×3＝36．] 理法先行 考点深研 课时作业 第50课时　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 95 谢谢！ $