数学期末复习讲义（统计）-2025-2026学年高二下学期《期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义和期末模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—统计 核心考点 复习目标 考情规律 集中趋势与离散程度 会求算术平均数、 中位数和众数，极差、方差和标准差 基础考点，出现在选择题、填空题中 一元线性回归 会判断相关关系，会求一元线性回归直线方程 基础考点，出现在选择题、填空题中 第十章 统计 知识点1 集中趋势与离散程度 集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，反映这组数据中心点的位置所在.常用的表示集中趋势的统计量有算术平均数、 中位数和众数等. 1. 算术平均数 一组数据中所有数据之和除以这组数据的个数称为这组数据的算数平均数.设这组数据为 x1，x2，…，xn，则它们的算术平均数为． 可以看出，算术平均数的计算方法与基础模块中样本均值的计算方法是一致的，所以算术平均数也称为算术均值. 在某些实际问题中，不同样本数据的重要程度可能不同，从而对集中趋势产生不同的影响，若一组数据为 x1，x2，…，xn，它们出现的频数分别为 f1，f2，…，fn，则 称为这组数据的加权算术平均数，其中 fk 也称为样本数据 xk 的权重. 2. 中位数 一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数或者位于中间位置的两个数的算术平均数称为中位数， 记为 Me. 3. 众数 一组数据中出现次数最多的数值称为众数 4. 极差 一组数据的最大值和最小值之差称为极差，也称全距.极差是最简单的描述数据离散程度的统计量.若 xmax 与 xmin 分别表示这组数据的最大值和最小值，则这组数据的极差 R= xmax- xmin. 用极差来评价数据的离散程度时，极差值越小，说明数据的离散程度越小，数据越集中，算术平均数的代表性越好；反之，极差值越大，数据的离散程度越大，数据越分散，算术平均数的代表性越差. 5. 方差和标准差 设一组数据为为 x1，x2，…，xn，则这组数据的方差为 这组数据的标准差为 方差和标准差反映一组数据的平均离散程度，消除了样本含量的影响，通常与平均数一起用来描述一组数据的集中趋势和离散程度. 在平均数相同的情况下，方差和标准差越大，数据的离散程度越大；反之，数据的离散程度越小. 知识点2 一元线性回归 1．相关关系 当一个变量取某个值时，另一个变量的取值与它有关，且带有一定的随机性，则称这两个变量之间的关系为不确定性相关关系，简称相关关系. 以两个变量的取值为坐标画出的用来反应两个变量相关关系的图形称为散点图. 2．回归直线方程 研究表明，对于具有线性相关 关系的两个变量 x 和 y，其散点图可以唯一地确定一条直线，称为回归直线，其方程如下： 其中 这个方程称为 y 对 x 的回归直线方程，称为回归系数. 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西安康·期末）某小组7名学生的中考体育分数（满分为分）如下：，该组数据的众数、中位数分别为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二下·全国·课后作业）某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17.记这组数据的中位数为a，算术平均数为b，众数为c，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东·单元测试）某水果店 6 天的苹果销量（单位：）统计如下表，该水果店这 6 天苹果销量的加权算术平均数为（    ） 销量 15 20 25 天数 1 3 2 A．19.5 B．20.83 C．21.5 D．22.5 4．（23-24高二上·四川遂宁·期末）每年的4月23日是世界读书日，某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了50名学生读书的册数，统计数据如表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 3 13 16 17 1 则这50名学生读书册数的众数、中位数是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二下·全国·单元测试）对变量、由观测数据得散点图，对变量、由观测数据得散点图.由这两个散点图可以判断（ ） A．变量与负相关，与正相关 B．变量与负相关，与负相关 C．变量与正相关，与正相关 D．变量与正相关，与负相关 6．（23-24高三·山东·二模）甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下： 甲：77，76，88，90，94；乙：75，88，86，88，93， 记甲、乙两人的平均得分分别为，，则下列判断正确的是（    ） A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 7．（24-25高三下·河北·模拟预测）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系.已知小孙的工作时间x（单位：小时）与工资y（单位：元）之间的关系如下表所示. x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 若y与x的经验回归方程为，则当工作时间为9小时时，小孙的工资大约为（    ） A．75元 B．76元 C．77元 D．78元 8．（24-25高二下·全国·单元测试）已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的回归直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高二下·全国·课堂例题）若一组数据的方差，算术平均数，则这组数据的离散系数为_______. 10．（24-25高二下·全国·期末）已知施肥量与玉米产量之间的回归方程为，则当施肥量时，对玉米产量的估计值为________． 试卷第2页，共2页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．D 【分析】利用众数、中位数的定义即可求解. 【详解】将数据重新排列为， 所以该组数据的众数为，中位数为， 故选：D 2．C 【分析】根据中位数、众数、算术平均数的定义求解即可. 【详解】由题意得，，，. 则. 故选：C. 3．B 【分析】根据加权算术平均数的公式计算． 【详解】由题意，该水果店这6天苹果销量的加权算术平均数为 ． 故选：B． 4．D 【分析】利用众数，中位数的定义，即可得出答案. 【详解】由这组样本数据中出现了次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是； 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是， 所以这组数据的中位数为. 故选：D. 5．B 【分析】观察散点图的分布即可得出结论. 【详解】由散点图可知，变量与负相关，变量与正相关， 所以，与负相关. 故选：B. 6．B 【分析】根据平均值计算公式，方差计算公式求出甲、乙各自成绩的平均值及方差，方差较小者较稳定. 【详解】非高教版教材 ； ； ， 所以， 因为， 所以乙比甲成绩稳定. 故选：B. 高教版教材 ； ； ， ， 所以， 因为， 所以乙比甲成绩稳定. 故选：B. 7．B 【分析】根据题意求得样本中心，再利用样本中心在回归方程上可求得，进而将代入回归直线即可得解. 【详解】由表格数据知：，， 所以， 则线性回归方程为， 所以当当工作时间为小时时，工资大约为元. 故选：B. 8．A 【分析】根据变量与正相关，以及线性回归经过点，即可求解. 【详解】对于A：若，则， 直线经过点，且变量与正相关，故A项正确； 对于B：若，则， 直线不经过点，故B项不正确； 对于C：若，则， 直线不经过点，故C项不正确； 对于D：若，则， 直线经过点，但变量与负相关，不是正相关，故D不正确. 故选：A. 9． 【分析】由方差得出标准差，再结合算术平均数即可求解. 【详解】解：由题意计算可得标准差， 则离散系数. 故答案为： 10．882.5/ 【分析】根据回归直线方程，将代入回归直线方程即可求解. 【详解】因为施肥量与玉米产量之间的回归方程为， 则当施肥量时，． 故答案为：882.5. 题型一 集中趋势与离散程度 【典例1】（23-24高二下·全国·单元测试）某班组织演讲比赛，比赛成绩由高到低设立一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名.甲同学参加了演讲比赛，并且比赛成绩进入了前19名（比赛成绩都不相同）.该同学想知道自己能否获奖，需比较自己的成绩与前19名同学成绩的（    ） A．算术平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据中位数的定义即可求解. 【详解】甲同学想知道自己能否获奖，即自己的成绩是否排在前9名， 因此需比较自己的成绩与前19名同学成绩的中位数. 故选：C. 【典例2】（23-24高二下·全国·课后作业）已知数据6，7，8，a，10的算术平均数为8，则a的值为（    ） A．7 B．8 C．8.5 D．9 【答案】D 【分析】根据平均数的算法列式求参数即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：D. 【典例3】（2023高一下·全国·专题练习）某工厂对一批新产品的长度（单位：mm）进行检测，检测结果的频率分布直方图如图所示，据此估计这批产品的中位数为（ ） A．20 B．25 C．22.5 D．22.75 【答案】C 【分析】根据中位数的定义求解即可. 【详解】由频率分布直方图得，第一组、第二组的频率为， 第三组的频率为，所以中位数落在第三组并设为， 则有，解得. 故选：C. 【典例4】（24-25高二下·全国·课前预习）下面变量之间是相关关系的是（    ） A．出租车费与行驶的里程 B．房屋面积与房屋价格 C．人的身高与体重 D．铁的体积与质量 【答案】C 【分析】根据相关关系的概念逐项分析即可. 【详解】出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A错误， 房屋面积与房屋价格是确定的函数关系，故B错误， 人的身高会影响体重，但不是唯一因素，是相关关系，故C正确， 铁的体积与质量是确定的函数关系，故D错误． 故选：C. 【典例5】（25-26高二下·广东·单元测试）甲、乙两组数据的算术平均数分别为，，标准差分别为，，则两组数据离散程度更大的是（    ） A．甲组 B．乙组 C．两组相同 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据离散系数性质判断. 【详解】计算甲组离散系数：； 计算乙组离散系数：； 两组离散系数相等，故离散程度相同， 故选：C. 【典例6】（21-22高三·山东·模拟预测）有一组样本数据的平均数为,则该组样本数据方差为_______. 【答案】6 【分析】结合题意,利用平均数算出未知数,再根据方差公式,代入数据求出结果即可. 【详解】解：该组样本数据的平均数为, 故答案为：6 解｜题｜技｜巧 一、集中趋势——必拿分的“三个技巧” 1. 平均数（简单平均 vs 加权平均） 职高大题最爱考加权平均数（比如“根据频率分布表求平均”） 2. 中位数（找“最中间”的数） 技巧（黄金法则）：先排序（升序或降序），再数数。 奇数个：最中间的那个。 偶数个：最中间两个数的平均值（注意，职高生这里最爱丢分！一定要除以2） 3. 众数（一眼看穿） · 技巧：出现次数最多的数。 · 注意：众数可能不止一个（多峰分布），也可能没有。在分组数据里，频数最大的那一组的组中值即为众数 二、考场终极“偷懒”秘籍（针对选择题） 如果实在不会算，或者数据太多算晕了，用这招： · 比较离散程度（稳定性）：如果题目问“甲组和乙组谁的产量更稳定”，极差小的更稳定；方差越小的越稳定。 · 选项排除法：算平均数时，如果选项差距很大，没必要全算。观察数据，找一个“中间数”做基准（比如数据都在 90 左右晃，直接设xˉ=90），只算偏差部分，能省去大量乘法计算。 【变式1】（23-24高二下·全国·课后作业）学校田径运动会有15名运动员参加跳高比赛，预赛成绩各不相同，取前8名参加决赛.某同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道这15名运动员成绩的（    ） A．算术平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式2】（25-26高二下·广东·单元测试）某商场要反映不同品牌冰箱的销售情况，以确定主推品牌，应选择的统计指标是（    ） A．算术平均数 B．加权平均数 C．中位数 D．众数 【变式3】（23-24高二下·全国·课后作业）数据23，28，21，22，29，26，28的极差为（    ） A．5 B．4 C．7 D．8 【变式4】（23-24高二下·全国·课后作业）数据的标准差为________. 【变式5】（23-24高二下·全国·课堂例题）已知一组数据2，4，x，的极差为7，则x的值是6.( ) 答案 【答案】C 【分析】先将这15名运动员的成绩从大到小排列，然后根据第8名运动员的成绩是这组数据的中位数即可判断自己是否进入决赛. 【详解】将15名运动员的成绩从大到小排列，第8名运动员的成绩是这组数据的中位数， 所以为了判断自己是否能进入决赛，还需要知道这15名运动员成绩的中位数. 故选：C. 2、【答案】D 【分析】根据算术平均数、加权平均数、中位数及众数的概念求解. 【详解】“确定主推品牌”需选择销量最高的品牌，对应“出现次数最多的品牌”，需用众数判断； 算术平均数、加权平均数计算的是平均销量，中位数反映中间销量，均无法体现“销量最高”， 故选：D． 3、【答案】D 【分析】利用极差的定义即可得解. 【详解】依题意，该组数据中的最大值为29，最小值为21， 故该样本数据的极差为. 故选：D. 4、 【答案】（高教版），（人教版） 【分析】由标准差的计算即可得解. 【详解】. 解法一（对应高教版）： 方差. 则这组数据的标准差. 故答案为：. 解法二（对应人教版）： 方差. 则这组数据的标准差. 故答案为：. 5、【答案】错误 【分析】根据极差的定义即可得出结果. 【详解】若x为这组数据的最小数值， 则，解得； 若x为这组数据的最大数值， 则，解得. 综上，x的值是或6. 故答案为：错误. 题型二 一元线性回归 【典例1】（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知x与y的数据如下，且回归方程为，预测时，（   ） x 4 8 10 18 y 30 22 18 14 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】先根据回归方程过样本中心点求出，再将代入回归方程求出预测值. 【详解】由题意，，， 则回归方程过样本中心点， 所以，可得， 则回归方程为， 将代入回归方程得， ∴预测时，的值为9， 故选：B. 【典例2】（24-25高二下·全国·单元测试）两组数据x，y的对应值如下表所示： x 4 5 6 7 8 y 12 10 9 8 6 若已知x，y是线性相关的，且回归直线方程，经计算知，则a为（   ） A．17.4 B． C．0.6 D． 【答案】A 【分析】根据表格求出，代入回归直线方程即可得解. 【详解】由题中表格可知，，． ． 故选：A. 【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）回归直线方程表示的直线必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可推出点满足方程. 【详解】由，得， 即点满足方程． 故选：C. 【典例4】（24-25高二下·全国·课后作业）某车间生产一种玩具，为了确定加工玩具所需要的时间（单位：分钟），进行了次试验，数据如下： 玩具个数 2 4 6 8 加工时间/分钟 4 7 如回归直线方程的回归系数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图表中的数据求出样本中心点的坐标，即可求出的值 【详解】由标准数据可得，， ， 得. 故选：B. 【典例5】（25-26高三下·山东·模拟预测）观测两个相关变量，得到如下数据： 5 4 3 2 1 5 4.1 2.9 2.1 0.9 则两变量之间的线性回归方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据计算平均数，再计算回归方程斜率和纵截距即可得解. 【详解】由题意， ， 则回归直线斜率为， 则，故线性回归方程为. 故选：B. 解｜题｜技｜巧 易错点： 1、公式里的n忘了乘 2、超级验算技巧：回归方程必过“中心点” 3、题目如果问“预测”，预测值上面要加个“小帽子”（y^​），表示估计值，不是真实值 【变式1】（24-25高二下·江苏苏州·期末）某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据： 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中．试预测当天平均气温为℃时，小吃店的日盈利约为（   ）百元． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（24-25高二下·全国·单元测试）下表是鞋子的长度与对应码数的关系. 长度/cm 码数 如果人的身高与脚板长呈线性相关且回归直线方程.若某人的身高为，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二下·全国·课后作业）观察下列四个散点图，两个变量具有线性相关关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4】（22-23高二上·新疆喀什·阶段检测）为了研究某校男生的脚长 （单位； ）和身高 （单位： ）的关系，从该校随机抽取20名男生，根据测量数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系.设 关于 的线性回归方程为 .已知 ，， ，该校某男生的脚长为 ，据此估计其身高为（　　） A． B． C． D． 【变式5】（2024高三·专题练习）某外贸工厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据如下： 月份x 1 2 3 4 5 订单y 20 24 36 43 52 变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为：，则估计10月份该厂的订单数为（    ） 参考数据：，， 参考公式： A．93.1 B．89.9 C．83.1 D．59.9 答案 1、【答案】C 【分析】根据表格求出样本中心点，再将样本中心点代入回归方程求出，在令℃即可得解. 【详解】由表格可知，，， 将点代入回归方程中，得， 所以回归方程为， 令，则百元， 故选：. 2、【答案】C 【分析】将代入直线方程求出的值即可. 【详解】将代入直线方程，解得， 所以脚板长为，查表得估计其穿的鞋子的码数应为. 故选：C. 3、【答案】A 【分析】利用散点图判断两个变量的线性相关关系即可得解. 【详解】对于A，所有点都在一条直线附近波动，具有线性相关关系，故A正确； 对于B，散点图上的点没在一条直线附近波动，不具有线性相关关系，故B错误； 对于C，散点图上的点围成一个圈，不具有线性相关关系，故C错误； 对于D，散点图上的点聚集，没在一条直线附近波动，不具有线性相关关系，故D错误. 故选：A. 4、【答案】C 【分析】由题意，根据回归方程必过样本点，利用已知条件求出，进而得到，令，则可以估计该学生的身高. 【详解】由题知，， ， 又因为回归直线为， 所以，解得， 即回归直线方程为， 令，则该男生身高为. 故选：C. 5、【答案】A 【分析】根据给定的数据求出样本的中心点，再利用最小二乘法公式求出经验回归方程作答. 【详解】依题意，，而，， 则，， 因此经验回归方程为：，当时，， 所以估计10月份该厂的订单数为93.1. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $