2025-2026学年惠州正弘学校高二数学下学期端午假期作业

**基本信息** 这份高二下学期端午假期作业通过基础选择、综合多选、应用解答三层设计，覆盖复数、导数、概率统计等核心知识点，从单一概念到综合应用，培养数学抽象、逻辑推理与数据分析素养，适配高考复习基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|复数、导数切线、充要条件等单一概念|单选题1-8题直接考查定义与基本运算，夯实基础| |综合|排列组合、二项式定理、统计案例等综合概念|多选题9-17题通过多选项辨析强化知识关联与逻辑推理| |应用|概率分布、函数导数应用、数列综合等|解答题18-26题结合实际情境（如阅读时间调查），培养数学建模与数据分析能力|

2025--2026学年惠州正弘学校高二下学期端午假期作业 一、单选题： 1.若复数满足，则(    ) A. B. C. D. 2.曲线在点处的切线方程为(    ) A. B. C. D. 3.设，则“”是“”的(    ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4.命题“”为真命题的充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 5.已知命题，命题，，则(    ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 6.将名同学分配到三个班，每班至少名同学，则不同的分配方法有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7.某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是(    ) A. B. C. D. 8.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传这四个项目，每人限报其中一项，记事件为“四名同学所报项目各不相同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题： 9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(    ) A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种 B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种 C. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有种 D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种 10.关于的二项展开式，下列说法正确的有(    ) A. 展开式各项系数的和为 B. 展开式中奇数项的二项式系数和为 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为 11.下列说法正确的是(    ) A. 若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为 B. 已知数据的极差为，方差为，则数据的极差为，方差为 C. 数据，，，，的第百分位数是 D. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖” 12.下列说法中正确的是(    ) A. 用最小二乘法得到的经验回归直线必过样本点的中心 B. 回归分析中，越大，残差的平方和越小，模型拟合效果越好 C. 若样本点，，，都在直线上，则样本相关系数 D. 若一个袋内装有大小相同的个白球和个黑球，从中任取个球，记为取出的个球中白球的个数，则 13.根据变量与的对观测数据，求得相关系数，线性回归方程，则下列说法正确的是(    ) A. 与正相关且相关性较弱 B. 与负相关且相关性很强 C. 每增加个单位时平均减少 D. 若，则 14.设全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 集合的真子集个数为 15.已知复数，则(    ) A. B. C. D. 表示的点在第一象限 16.设等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. B. C. D. 17.记等差数列的前项和为，若，，则(    ) A. 的前项和为 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为 三、解答题： 18.某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分分，得分及以上者获奖为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下： 成绩 学生人数 选修阅读课程人数 根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 不选阅读课程 合计 在上述样本的获奖学生中随机抽取名学生，设人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 19.为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间单位：小时，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． 求的值 为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望 以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取名学生这名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名 20.为了切实加强学校体育工作,促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平.某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试,得到如下表格: 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩(分) 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为,.经计算,=1690,=33050. (1)求; (2) 规定体质测试成绩低于50分为不合格,从这10名学生中任取3名,记体质测试成绩不合格的人数为X,求X的分布列; (3)经统计,高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(,),用,的值分别作为,的近似值,若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试,记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数为Y,求Y的数学期望E(Y). 附:若~N(,),则P(-+)0.6827,P(-2+2)0.9545,P(-3+3)0.9973. 21.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是． 甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率； 在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率． 22.已知是函数的一个极值点． 求的单调区间； 求在区间上的最大值． 23.已知函数． 求的单调区间 求证：对任意，． 24.已知函数． 讨论的单调性； 若有三个零点，求的取值范围． 25.已知等差数列满足，且，，成等比数列． 求的通项公式； 设的前项和为，若，求数列的前项和． 26.已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列． 求数列的通项公式； 设数列满足，求数列的前项和 2025--2026学年惠州正弘学校高二下学期端午假期作业答案和解析 1.【答案】 解：由，得，． 2.【答案】 【解析】解：因为，所以，所以在点处切线斜率为，则在点处的切线方程为，所以切线方程为． 3.【答案】 解：由得或，由“”能推出“或”，但“或”推不出“”，即“”是“”的充分不必要条件． 4.【答案】 解：要求命题“”为真命题的充分不必要条件， 只需要求的真子集即可，由选项可知，只有满足题意， 5.【答案】 解：对于命题，当时，，故是假命题，则为真命题， 对于命题，当时，，故是真命题，是假命题，综上可得，和都是真命题． 6.【答案】 【解析】解：名同学分成三组，当为，，时，， 当为，，时，，所以． 7.【答案】  【解析】解：设事件为“随机抽取的学生是男生”，事件为“随机抽取的学生是女生”，事件为“随机抽取的学生喜欢篮球”．由题意得：，， ，． 根据全概率公式，． 8.【答案】 解：由题意可得：，， 所以， 9.【答案】 【解析】解：对于，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故 A正确； 对于，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故 B正确； 对于，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故 C错误； 对于，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻， 则不同排法共有种，故 D正确． 10.【答案】  解：，当时，，所以展开式各项系数的和为，故A正确； ，展开式的奇数项的二项式系数和为，故B正确； ，，当时，不是整数，所以不存在常数项，故C不正确；，令，得，此时展开式中含项的系数是，故D正确； 11.【答案】 【解析】解：选项A：对于样本点，预测值， 残差为，故A错误；选项B：数据线性变换时，极差变为原极差的倍， 方差变为原方差的倍，故B正确；选项C：数据共个，第百分位数位置， 则第百分位数是，故C正确；选项D：正态分布中，越小，曲线越“瘦高”，越大，曲线越“矮胖”，故D错误． 12.【答案】 解：对于，回归直线必过样本点的中心，A正确； 对于，越大，残差的平方和越小，模型拟合效果越好，B正确； 对于，样本点都在直线上，说明负相关程度最强，此时，C错误； 对于，的可能取值为，，，，则 ；；；； 的分布列如下： ，D正确； 13.【答案】 解：因为相关系数，线性回归方程，则与负相关且相关性很强；因为线性回归方程的斜率为，则每增加个单位时平均减少；故A错，BC正确； 因为回归方程过中心点，若，则，故D错． 14.【答案】  解：因为全集，集合，，所以，，，因此选项A、C正确，选项B不正确， 因为集合的元素共有个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确， 15.【答案】  解：选项，，故A错误； 选项，，故B正确； 选项，，故C正确； 选项，，所以表示的点的坐标为，位于第一象限，故D正确． 16.【答案】  解：设等差数列的公差为，由题意可得，解得， ，． 17.【答案】  解：设等差数列的公差为，，，则，解得 数列的前项和为：，故A正确； 因为，所以是递增数列，故B正确 ，当时，取得最小值，故C错误； ，则，解得或舍去， 要使，则的最小值为，故D正确． 18.【答案】解：根据条件得 零假设为创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联，根据列联表中数据计算得到，． 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于． 由题意可知的可能取值为，，， 则，，， 所以，随机变量的分布列为： 所以．  19.【答案】解：，． 由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，三组的频率之比为， 人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人； 则所有可能的取值为， ；； ；； 的分布列为： 数学期望． 用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内随机抽取名学生， 周平均阅读时间在内的概率， 设周平均阅读时间在内的学生有名， 则， 令，解得， 所以当或，最大． 所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有名或名． 20.【答案】解：(1)=(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56. (2)因为体质测试不合格的学生有3名, 所以X的可能取值为0,1,2,3. 因为P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (3)因为=56,=(+++++++++)=169, ​​​​​​​所以=56,=13. 因为P(30X82)=P(-2+2)0.9545, 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545, 因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]的人数为Y~B(100,0.9545), 所以E(Y)=1000.9545=95.45. 21.【答案】解：设“甲恰有两轮通过测试”为事件， 则； 设“选中甲”为事件，“选中乙”为事件，“通过测试”为事件， 根据题意得，，，， 则， 所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率． 22.【答案】解：， 是函数的一个极值点        ，   ， ， 令，解得或；令，解得． 所以函数的减区间为，增区间为． 由， 又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 函数在的极大值为，又， 函数在区间上的最大值为．  23.【答案】解：的定义域为 因为， 所以当时， 当时，． 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 证明：由知在上单调递减， 所以对任意，，即． 24.【答案】解：求导得，定义域为， 当时，，在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 由当时，在上单调递增，不符题意，故， 的极大值为，极小值为， 要使有三个零点，则 ，即，解得：，的取值范围为． 25.【答案】解：设等差数列的公差为，因为所以． 又因为，，成等比数列，所以， 即，解得，．所以． 根据等差数列的前，项和公式可得， 所以， 所以．  26.【答案】解：设的公比为， 因为，且，，成等差数列，所以，即 解得，所以； 由， ．  1 学科网（北京）股份有限公司 $