1.3　等式性质与不等式性质 2027届高中数学人教A版（2019）一轮复习练习

**基本信息** 本同步练以分层递进设计巩固不等式性质，通过基础辨析、情境应用到综合证明的梯度，培养运算能力、推理意识与创新意识，适配一轮复习知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|作差比较、性质辨析、命题真假|单选1-3直接考查不等式基本性质，如作差法比较大小，强化运算能力| |能力提升|范围计算、多变量关系、实际应用|单选4-6结合模拟题情境（如年龄关系），多选7-8涉及多参数范围，培养推理意识| |综合应用|证明推理、模型构建|解答题11-12综合不等式证明与范围计算，附加题13-14引入糖水不等式等生活模型，发展创新意识|

1.3　等式性质与不等式性质 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知P=a2+3a+3，Q=a+1，则P与Q的大小关系为(　　) A.P<Q B.P=Q C.P>Q D.P≤Q 2.(2026·聊城模拟)“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题为真命题的是(　　) A.若a>b>0，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则< 4.已知-3<a<-2，3<b<4，则的取值范围为(　　) A.(1，3) B. C. D. 5.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是(　　) A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 6.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则下列选项错误的是(　　) A.bc>ac B.a2>c2 C.2ac-2bc<a2-b2 D.(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 8.(2025·洛阳模拟)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　) A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3 C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·九江模拟)已知a=，b=-，c=-，则a，b，c的大小关系为　　　　　.(用“>”连接)  10.若a，b同时满足下列两个条件： ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值：　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)证明下列不等式： (1)已知a>b>1，d<c<-2.求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0；(6分) (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.(7分) 12.(15分)(1)已知-1<x<4，2<y<3，求x-y的取值范围；(6分) (2)已知-1≤x+y≤2，0≤2x-y≤3，求5x+2y的取值范围.(9分) [每小题5分，共10分] 13.(2025·莆田模拟)a克不饱和糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为> (a>b>0，m>0)，这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是(　　) A.< B.< C.log85<log1610 D.+< 14.(2025·常德模拟)记min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值.若x，y>0，M=min，则M的最大值为　　　　.  1.3　等式性质与不等式性质 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知P=a2+3a+3，Q=a+1，则P与Q的大小关系为(　　) A.P<Q B.P=Q C.P>Q D.P≤Q 答案　C 解析　因为P-Q=a2+3a+3-(a+1)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0， 所以P>Q. 2.(2026·聊城模拟)“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若a<-1，且b<-1，根据不等式的加法和乘法法则可得a+b<-2，且ab>1，即必要性成立； 当a=-3，b=-时，满足a+b<-2，且ab>1，但是b=->-1，故充分性不成立， 所以“a+b<-2，且ab>1”是“a<-1，且b<-1”的必要不充分条件. 3.(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　) A.若a>b>0，则ac2>bc2 B.若a>b>0，则a2>b2 C.若a<b<0，则a2<ab<b2 D.若a<b<0，则< 答案　B 解析　对于A，c2=0时不成立；对于B，∵a>b>0，∴a2-b2=(a+b)(a-b)>0，∴a2>b2，∴B成立；对于C，a<b<0⇒a2>ab>b2，∴C不成立；对于D，∴a<b<0，∴>，∴D不成立. 4.已知-3<a<-2，3<b<4，则的取值范围为(　　) A.(1，3) B. C. D. 答案　A 解析　因为-3<a<-2，所以4<a2<9， 而3<b<4，即<<， 故的取值范围为(1，3). 5.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是(　　) A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 答案　D 解析　用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同学的年龄，则A>0，B>0，C>0，D>0. 则A+C=B+D， ① C+D>A+B， ② B>A+D. ③ ①+②得C>B，①+③得C>2D，②+③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D， 由①得C-B=D-A， ∵C>B，∴C-B>0，∴D-A>0，∴D>A， 综上，C>B>D>A. 6.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则下列选项错误的是(　　) A.bc>ac B.a2>c2 C.2ac-2bc<a2-b2 D.(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2 答案　B 解析　因为a+b+c=0且a>b>c，所以a>0，c<0， A选项，bc-ac=(b-a)c>0，故bc>ac，A正确； B选项，不妨设a=1，b=0，c=-1，此时满足a+b+c=0且a>b>c，但a2=c2，B错误； C选项，因为a+b+c=0且a>b>c， 所以a-b>0，a+b-2c=a-c+b-c>0， a2-b2+2bc-2ac=(a+b)(a-b)+2c(b-a) =(a-b)(a+b-2c)>0， 所以2ac-2bc<a2-b2，C正确； D选项，2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2 =2(a-b)2+2(b-c)2-[(a-b)+(b-c)]2 =2(a-b)2+2(b-c)2-(a-b)2-2(a-b)(b-c)-(b-c)2=(a-b)2+(b-c)2-2(a-b)(b-c) =[(a-b)-(b-c)]2=(a+c-2b)2， 因为a+b+c=0，所以2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2=(-b-2b)2=9b2≥0， 故(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2，D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 答案　AB 解析　对于选项A，因为c>b>a，所以c+b>2a，故选项A正确； 对于选项B，因为c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以>>0，故选项B正确； 对于选项C，取a=-3，b=-2，c=-1，满足c>b>a，此时==-2，==-，<，故选项C错误； 对于选项D，当c=1，b=-1，a=-2时，=2，==-，此时>，故选项D错误. 8.(2025·洛阳模拟)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　) A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3 C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4 答案　AC 解析　1≤ab≤4，4≤≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正确； 由题意得≤≤，又1≤ab≤4，两式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B错误； 因为1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确； 因为1≤a2b2≤16，≤≤，所以两式相乘得≤ab3≤4，D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·九江模拟)已知a=，b=-，c=-，则a，b，c的大小关系为　　　　　.(用“>”连接)  答案　a>c>b 解析　由a-b=+-，且(+)2=5+2>7，故a>b； 由a-c=2-，且(2)2=8>6，故a>c； 由b-c=(+)-(+)，且(+)2=9+2>9+2=(+)2，故c>b. 所以a>c>b. 10.若a，b同时满足下列两个条件： ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值：　　　　　　.  答案　a=-1，b=2(答案不唯一) 解析　容易发现，若将①式转化为②式， 需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号， 显然应使a+b>0，ab<0， 当a<0，b>0时，要使a+b>0，则|a|<|b|， 可取a=-1，b=2； 当a>0，b<0时，要使a+b>0，则|a|>|b|， 可取a=2，b=-1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 四、解答题(共28分) 11.(13分)证明下列不等式： (1)已知a>b>1，d<c<-2.求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0；(6分) (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.(7分) 证明　(1)由a>b>1，则a-1>0，b-1>0， 故(a-1)(b-1)>0， 由d<c<-2，则c+2<0，d+2<0， 故(c+2)(d+2)>0， ∴(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0，得证. (2)方法一　∵a>b>0，c<d<0，e<0， ∴-c>-d>0， ∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0， 则-= ==>0， ∴>. 方法二　∵c<d<0，∴-c>-d>0， 又a>b>0，∴a-c>b-d>0， ∴0<<， ∵e<0，∴>，不等式得证. 12.(15分)(1)已知-1<x<4，2<y<3，求x-y的取值范围；(6分) (2)已知-1≤x+y≤2，0≤2x-y≤3，求5x+2y的取值范围.(9分) 解　(1)由不等式2<y<3，可得-3<-y<-2， 因为-1<x<4，所以-4<x-y<2，即x-y的取值范围为(-4，2). (2)设5x+2y=m(x+y)+n(2x-y)=(m+2n)x+(m-n)y， 所以解得 即5x+2y=3(x+y)+(2x-y)， 因为-1≤x+y≤2，所以-3≤3(x+y)≤6， 又0≤2x-y≤3， 所以-3≤5x+2y=3(x+y)+(2x-y)≤9， 即5x+2y的取值范围为[-3，9]. [每小题5分，共10分] 13.(2025·莆田模拟)a克不饱和糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为> (a>b>0，m>0)，这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是(　　) A.< B.< C.log85<log1610 D.+< 答案　C 解析　对于A，由>>2>0，得=>，A错误； 对于B，因为>>0，2>0，故<，则>，B错误； 对于C，由lg 8>lg 5>0，lg 2>0，得log85=<==log1610，C正确； 对于D，由lg 11>lg 7>0，得+>+=，D错误. 14.(2025·常德模拟)记min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值.若x，y>0，M=min，则M的最大值为　　　　.  答案　 解析　因为x，y>0，M=min，所以M>0，0<M≤x⇒≤，0<M≤⇒y≤，则+y≤， 又M≤+y，所以M≤+y≤， 可得M2≤2，即M≤， 当且仅当M=，即x==时等号成立， 故M的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $