第11章 磁场 第3节 带电粒子在有界匀强磁场中的运动——2027届高三物理一轮复习课件

该高中物理高考复习课件聚焦“带电粒子在有界匀强磁场中的运动”专题，依据高考评价体系梳理了轨迹分析、临界极值、多解问题三大核心考点，通过直线、平行、圆形等边界类型的权重分析，明确了“轨迹相切”“圆心角计算”等高频考查方向，归纳出几何关系构建、临界条件判断等常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“分类突破+真题示范+素养提升”的复习策略，如以2025年甘肃真题为例，解析圆形边界粒子运动的轨迹相切模型，培养学生科学思维中的模型建构与科学推理能力。提供临界极值问题的“轨迹相切条件”、多解问题的“磁场方向/电性不确定分析”等突破方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，助力学生高效冲刺高考。

第11章 磁场 第3节 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1 考点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 考点二 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题 考点三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 2 考点一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 3 带电粒子在有界磁场中的运动 1.直线边界（进出磁场具有对称性，如图所示） 2.平行边界（往往存在临界条件，如图所示） 4 3.圆形边界（进出磁场具有对称性） （1）沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 （2）不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为 ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为 。 5 4.多边形边界或三角形区域磁场 带电粒子在多边形边界或三角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问 题主要把握以下两点： （1）射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。 （2）射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。 ①当 时，可以过两磁场边界的交点，发射点 到两磁场边界的交点距离为 ，如图甲所 示。 ②当 时，不能通过两磁场边界的交点，粒子 的运动轨迹会和另一个边界相切，如图乙所示。 6 5.带电粒子在有边界的磁场中运动时，由于边界的限制往往会出现临界问题。解决带 电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突 破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关 系求解。 临界点常用的结论： （1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 （2）当速度 一定时，弧长（或弦长）越长，对应圆心角越大，则带电粒子在有界磁 场中运动的时间越长。 （3）当速度 变化时，圆心角越大，运动时间越长。 7 【视角1】　单直线边界磁场 例1 如图所示，直角坐标系xOy中，y>0区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，很多质量为m、带电荷量为+q的相同粒子在纸面内从O点沿与竖直方向成60°角方向从第一象限以不同速率射入磁场，关于这些粒子的运动，下列说法正确的是( ) D A.所有粒子在整个磁场中的运动轨迹长度都相同 B.所有粒子在整个磁场中的运动时间都相同，均为 C.所有粒子经过y轴时速度的方向可能不同 D.所有粒子从O点运动到y轴所用时间都相同，均为 8 [解析] 速度不同，在整个磁场中运动半径不同，轨迹长度不同，故A错误；由T = 可知，所有粒子在磁场中的运动周期都相同，根据对称性可知，所有从x轴离开的粒子运动所对应的圆心角为300°，故粒子运动时间t = T = ，故B错误；根据单边界磁场特点，进出边界时粒子与边界的夹角相同，可知粒子经过y轴时速度方向相同，与y轴夹角均为60°，故C错误；粒子从O点运动到y轴所用时间相同，所对应的圆心角为120°，则运动时间t' = T = ，故D正确。 9 【视角2】　平行直线边界磁场 例2 真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为+q的粒子(不计重力)从MN边界某处射入磁场，刚好没有从PQ边界射出磁场，再从MN边界射出磁场时与MN夹角为θ = 30°，则( ) D A.粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为60° B.粒子在磁场中运动的时间为 C.粒子在磁场中运动的时间为 D.粒子射入磁场时的速度大小为 10 [解析] 根据题述，粒子从MN边界某处射入磁场，刚好没有从PQ边界射出磁场，再从MN边界射出磁场时与MN夹角为30°，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹如图所示。由带电粒子运动轨迹图可知粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为30°，A错误；带电粒子在匀强磁场中运动轨迹所对应的圆心角为α = ，粒子在磁场中 运动的时间为t = ，带电粒子在匀强磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力得qvB = ，联立解得t = ，B、C错误；由几何关系可得l = r+rcos 30°，又qvB = ，联立解得v = ，D正确。 11 【视角3】　三角形边界磁场 例3 (多选)如图所示，△AOC为直角三角形，∠O = 90°，∠A = 60°，AO = L，D为AC的中点。△AOC中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在O点放置一粒子源，可以向各个方向发射质量为m、电荷量为−q、速度大小均为v0 = 的粒子。不计粒子间的相互作用及重力作用，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是( ) ABC A.粒子在磁场中运动的半径为L B.与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出 C.在AC边界上有粒子射出的区域长度为L D.所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间相等 12 [解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B = ，解得粒子在磁场中运动的半径为r = = L，故A正确；如图甲所示，当粒子恰好从A点射出时，根据几何关系可得粒子与OC成60°角入射，所以与OC成45°角入射的粒子将从AC边射出，故B正确； 13 如图乙所示，根据几何关系可知沿OC方向入射的粒子将恰好从D点射出，结合上面B项分析可知AD为AC边界上有粒子射出的区域，其长度为L，故C正确；所有粒子在磁场中运动的周期均相同，设为T，设粒子在磁场运动过程中转过的圆心角为α，则粒子运动时间为t = T，由于所有粒子的运动轨迹为半径相同的圆，从OA射出的粒子，其轨迹所截AO的长度不同，对应转过的圆心角不同，所以所有从OA边界射出的粒子在磁场中运动的时间不等，故D错误。 14 【视角4】　圆形边界磁场 例4 (多选)(2025·甘肃)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va = ，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是( ) 15 A.外圆半径等于2R0 B.a粒子返回A点所用的最短时间为 C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为 D.c粒子的速度大小为va √ √ 16 [解析] 由题意，作出a粒子运动轨迹图，如图所示 a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运 动恰好回到A点，根据a粒子的速度大小为va = ，可得Ra = R0，设外圆半径等于R'，由几何关系得∠AO'B = 270°，则R' = R0+R0，A错误；由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间tmin，a粒子做匀速圆周运动的周期T = ，在磁场中运动的时间t1 = ·T = ，匀速直线运动的时间t2 = ，故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin = t1+t2 = ，B正确；由题意，作出b、c粒子运动轨迹图，如图所示 17 因为b、c粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc = R0，洛伦兹力提供向心力有qvcB = ，联立解得vc = va，D正确。故选BD。 18 【视角5】　矩形边界磁场 例5 (多选)矩形区域OACD内存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，O点处有一粒子源，可沿OA方向发 ACD A.速度大小v≤的电子，在矩形区域内运动的时间都相等 B.速度大小<v<的电子，会从CD边离开矩形区域 C.电子在磁场中运动的最长时间为 D.CD边上距离C点小于(1−)l范围内没有电子射出 射速度大小不同的电子，电子会进入矩形区域内.已知电子的质量为m，电荷量大小为e，OA = l，OD = l。下列说法正确的是( ) 19 [解析] 当电子刚好从D点离开磁场，由洛伦兹力提供向心力可得 ev1B = m，由几何关系可得r1 = l，联立解得v1 = ，则速 度大小v≤的电子，会从OD边离开矩形区域，在磁场中偏 转角度相同且最大，均为180°，则在矩形区域内运动的时间都相等，且电子在磁场中运动的最长时间为tmax = T = T = ·，故AC正确；当电子在磁场中的运动轨迹刚好与AC边相切时，如图所示，由洛伦兹力提供向心力可得ev2B = m，由几何关系可得r2 = l，联立解得v2 = ，则速度大小<v<的电子， 20 会从CD边离开矩形区域；由图中几何关系可得DF = l，则CF = l−DF = (1−)l，可知CD边上距离C点小于(1−)l范围内没有电子射出，故B错误，D正确。 21 考点二 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题 22 1.解题关键点 （1）关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点。 （2）关注涉及临界点条件的几个结论 ①粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 ②当速度<m></m>一定时，弧长越长，圆心角越大，则粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ③当速度<m></m>变化时，圆心角越大，对应的运动时间越长。 23 2.一般思维流程 24 3.常见的几种临界情况 （1）直线边界 最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切。 最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，<m></m>为入射点，<m></m>为出射点。 25 （2）圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即： 当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨 迹对应的圆心角最大。 当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点 的圆形磁场对应的圆心角最大。 （3）解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大” “至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹， 建立几何关系求解。 26 1.刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2.时间最长或最短的临界条件： （1）当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长。 （2）当比荷相同，入射速率 不同时，圆心角越大，运动时间越长。 （3）两种具体情况：①直线边界；②圆形边界。 27 【视角1】　磁场区域的最小面积 例1 一质量为m、电量为q(q<0)的带电粒子以速度v0从y轴上的A点垂直y轴射入第一象限，第一象限某区域有磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，粒子离开第一象限时速度方向与x轴正方向夹角θ = 60°。如图所示(粒子仅受洛伦兹力)，下列说法正确的是( ) 28 A.如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 B.如果该磁场区域是圆形，则该磁场的最小面积是 C.如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 D.如果该磁场区域是矩形，则该磁场的最小面积是 √ 29 [解析] 由洛伦兹力充当向心力得qv0B = m，所以半径为r = ， 运动轨迹如图所示，若是圆形区域磁场，则以CD为直径的圆面 积最小，CD = r，故最小面积为Smin = πR2 = π， 故AB错误；若是矩形区域磁场，则以CD为长，以圆弧最高点到CD的距离h为宽，则矩形的面积最小。其中h = r−r = r，所以矩形区域磁场最小面积为Smin = rh = r2 = ，故C正确，D错误。 30 【视角2】　最长时间 例2 如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力和粒子间的相互作用力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。则粒子在磁场中运动的最长时间为( ) C A. B. C. D. [解析] 粒子在磁场中运动的半径为R = = 2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为圆磁场的直径2r，则圆心角最大为，故t = ，故选项C正确。 31 【视角3】　最大半径 例3 用磁场来约束等离子体中带电粒子的运动，主要为可控核聚变提供理论与技术支持。磁约束的基本原理是带电粒子在磁场中受的洛伦兹力，某实验小组设计了一个模拟磁约束的小实验(研究粒子的运动过程不超过1个周期)，如图，匀强磁场存在于两个中心重合的正方形区域之间，正方形ABCD边长4a，abcd边长为2a。现d点处有一粒子源能向各方向发射速率为v的正电粒子，若要把粒子束缚在图示磁场中，则( ) 32 A.若不让粒子从AB边出射，B的最小值为 B.若不让粒子从BC边出射，B的最小值为 C.若不让粒子从CD边出射，B的最小值为 D.若不让粒子从DA边出射，B的最小值为 √ 33 [解析] 要把粒子束缚在图示磁场中，且要求B最小，由洛伦兹力提供向心力有qvB = m，解得r = ，可知要求B最小，则r最大，由图根据几何关系可知−r = r，解得B的最小值都为B = 。故选A。 34 考点三 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问 题 35 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确 定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。 （1）找出多解的原因。 （2）画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。 36 【视角1】　磁场方向不确定形成多解 例1 (多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是( ) BD A.B>，垂直纸面向里 B.B>，垂直纸面向里 C.B>，垂直纸面向外 D.B>，垂直纸面向外 37 [解析] 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30° = ，可得r1 = s，由r1 = 可得B1 = ；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹如图乙所示，切点为N，由几何关系知s = +r2，得r2 = ，又r2 = ，所以B2 = ，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。 38 【视角2】　带电粒子电性不确定形成多解 例2 (多选)如图所示，左右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ'射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( ) AC A. B. C. D. 39 [解析] 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R = 知，粒子的入射速度v0越大，R越大，当粒子的轨迹和边界QQ'相切时，粒子刚好不从QQ'射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O点)， 由几何关系得R1sin 45°+d = R1，将R1 = 代入上式得v0 = ，A正确。若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O'点)，由几何关系得R2+R2cos 45° = d，将R2 = 代入上式得v0 = ，C正确。 40 【视角3】　临界状态不确定形成多解 例3 (多选)如图，xOy平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向外，磁感应强度B = 1 T的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为9 m，M点为x轴正方向上一点，OM = 3 m。现有一个比荷大小为 = 1.0 C/kg可视为质点带正电的小球(重力不计)从挡板下端N处小孔以不同的速度沿x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰就以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能经过M点，则小球射入的速度大小可能是( ) ABD A. B. C. D. 41 [解析] 因为小球通过y轴的速度方向一定是+x方向， 故带电小球圆周运动轨迹半径最小值为3 m，即 Rmin = ，解得vmin = 3 m/s；经验证，带电小球 以3 m/s速度进入磁场，与ON碰撞一次，再经四分之三圆周经过M点，如图甲所示，A项正确；当带电小球与ON不碰撞，直接经过M点，如图乙所示，小球速度沿−x方向射入磁场，则圆心一定在y轴上，作出MN的垂直平分线，交于y轴的点即得圆心位置，由几何关系解得轨迹半径最大值Rmax = 5 m，又Rmax = ，解得vmax = 5 m/s，D项正确；当小球速度大于3 m/s、小于5 m/s时，轨迹如图丙所示，由几何条件计算可知轨迹半径R = 3.75 m，由半径公式R = 得v = 3.75 m/s，B项正确；由分析易知选项C错误。 42   【视角4】　运动周期性形成多解 例4 (多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( ) BC A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 43 [解析] 若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图 根据几何关系则有R = L，qvB = m，可得v = = kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ = 60°。当粒子上下均经历一次时，如图 44 因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R = L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB = m，可得v = kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ = 0°。 通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v = kBL(n = 1，2，3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ = 60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v = kBL(n = 1，2，3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ = 0°。故可知BC正确，AD错误。 45 $