第16讲 几何图形（13类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第16讲 几何图形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 常见的几何体 题型2 立体图形的分类 题型3 几何体中的点、棱、面 题型4 正方体几种展开图的识别 题型5 正方体相对两面上的字 题型6 补一个面使图形围成正方体 题型7 含图案的正方体的展开图 题型8 常见几何体展开图的认识 题型9 由展开图计算几何体的面积 题型10 由展开图计算几何体的体积 题型11 动态认识点、线、面、体 题型12 平面图形旋转所得立体图形 题型13 求平面图形旋转所得立体图形体积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 几何图形、立体图形、平面图形、抽象、空间观念、分类。 1. 通过观察实物和模型，了解从物体外形抽象出的几何图形、立体图形、平面图形等概念。 2. 能识别常见的立体图形（如柱体、锥体、球体）与平面图形（如三角形、四边形、圆），并对其进行简单分类。 3. 初步了解立体图形与平面图形的区别与联系（立体图形中某些部分是平面图形）。 4. 经历从具体事物中抽象出几何图形的过程，发展抽象能力和空间观念。 学习重点:识别常见的立体图形与平面图形，并能从具体实物中抽象出相应的几何图形。 学习难点:理解从具体事物中抽象出几何图形的过程，以及体会立体图形与平面图形的区别与联系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【易错提醒】 - 分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体，勿将圆柱归为棱柱。 - 棱与面：棱柱的侧棱平行且相等；圆柱、圆锥的侧面是曲面，不是平面。 - 展开图：正方体展开图有11种，带“田”“凹”字形的不能折叠成立方体。 即时即练1将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 2．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 6 正八面体 6 12 正十二面体 20 12 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）和面数（F）的和与棱数（E）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【知识点】有理数加减混合运算的应用、用代数式表示数、图形的规律、几何体中的点、棱、面 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：所填数据如表所示： 正方体 8 12 正八面体 8 正十二面体 30 （2）解：∵，，，， ∴ （3）解：由，得， 所以， 所以这个多面体的面数为100． 知识点02 正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 【易错提醒】 正方体展开图易错警示：共11种，可归纳为“一四一”“二三一”“二二二”“三三”型。注意“田”“凹”“L”形不能围成正方体。展开图中相对面间隔一个或呈Z形两端，相邻面不相对。 即时即练1．下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查几何体的平面展开图，熟练掌握几何体的平面展开图是解题的关键．由平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】根据正方体的展开图可知，只有D选项的图形不能还原成一个正方体． 故选：D． 2．如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 3．如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个图案均是相邻的， A、还原正方体后，符合题意； B、<与＝是相对的两面，不符合题意； C、还原正方体后，不等号的尖尖向右，不符合题意； D、还原正方体后，<在下面，且不等号的尖尖朝前，不符合题意， 故选：A． 知识点03 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 即时即练1．画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是 ． 【答案】线动成面 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体是解答本题的关键．根据线动成面解答即可． 【详解】解：这个过程体现的数学原理是线动成面． 故答案为：线动成面． 2．已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 【答案】(1)，，，b (2)这两个圆柱的侧面积相等 【知识点】几何体中的点、棱、面、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查圆柱的计算、几何体的表面积，掌握圆柱侧面积的计算公式是解题的关键． （1）根据图作答即可； （2）根据圆柱的侧面积公式分别计算圆柱①和圆柱②的侧面积并比较大小即可． 【详解】（1）解：圆柱①的底面直径是，高是；圆柱②的底面直径是，高是b． 故答案为：，，，b． （2）解：圆柱①的侧面积是；圆柱②的侧面积是， ∴这两个圆柱的侧面积相等． 题型1 常见的几何体 【例1】端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键． 根据三棱锥的形态特征进行判断即可． 【详解】解：小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，这个粽子可以近似看作三棱锥， 故选：D． 【例2】下列几何体中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查常见几何体的识别，底面为三角形的柱体叫作三棱柱，由此直接判断即可得出答案． 【详解】解：A．选项中的图形为长方体，不合题意； B．选项中的图形为圆柱，不合题意； C．选项中的图形为三棱锥，不合题意； D．选项中的图形为三棱柱，符合题意； 故选D． 【技巧归纳】 识特征：柱体（上下底全等）、锥体（尖顶）、球（中心对称）。 【变式1-1】下列几何体中，是圆柱的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了几何体的认识，能认识常见的几何体是解题的关键． 【详解】解：由题意得 是圆柱体， 故选：C． 【变式1-2】以下图片展示了生活中的常见物品，这些物品的形状最接近圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了生活中常见的几何体，掌握圆柱体的定义即可． 【详解】解：Ａ：形状接近圆柱体，符合题意； Ｂ：形状为球体，不符合题意； Ｃ：形状为正方体，不符合题意； Ｄ：形状接近圆锥，不符合题意； 故选：A ． 题型2 立体图形的分类 【例3】将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤ ④ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握各定义是解题关键．解这类题首先要明确柱体、锥体、球体的概念，然后根据图示进行解答即可． 【详解】解：柱体包括圆柱和棱柱，所以柱体有①②③； 锥体包括圆锥和棱锥，所以锥体有⑤； 球体属于单独的一类，是有且只有一个连续曲面的立体图形，所以球体有④； 故答案为：①②③，⑤，④． 【例4】将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 【技巧归纳】 1. 按形状：柱（圆柱、棱柱）、锥（圆锥、棱锥）、球、台。 2. 按面特征：曲面（圆柱、圆锥、球）与平面（多面体）。 3. 按底面：棱柱看多边形边数，棱锥看顶点与底面。 4. 识展开图：判断能否围成立体图形，常用排除法。 【变式2-1】如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③④⑧ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、曲面的定义进行求解即可． 【详解】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧， 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧． 【变式2-2】将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤⑥/⑥⑤ ④ 【知识点】立体图形的分类 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． 根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】解：根据图形可知 柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有①②③；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有球属于单独的一类，球有④． 故答案为：①②③；①②③；④． 题型3 几何体中的点、棱、面 【例5】银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【答案】 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查立体几何的知识，解题的关键是掌握八棱柱的立体图形，根据图形，进行解答，即可． 【详解】解：八棱柱是一个有个侧面的棱柱，每个侧面都是矩形，有两个底面，每个底面都是都是一个八边形，每个底面有个顶点；每个底面有条棱，每个底面的顶点都于另一个底面对应的顶点相连； ∴八棱柱有个角；有条棱；有个面；有个顶点； 故答案为：；；；． 【例6】如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】 / 【知识点】几何体中的点、棱、面 【详解】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征是解题的关键； （1）结合已知四棱柱特征，即可求解； （2）结合六棱柱的特征，即可求解； （3）可知棱柱一定有个面，条棱和个顶点； 【解答】解：（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点； （2）六棱柱有个面，条棱，个顶点； （3）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 故答案为：（1），，；（2），，；（3），，． 【技巧归纳】 1. 欧拉公式：V - E + F = 2（顶点数－棱数＋面数），已知两个量可求第三个。 2. 分类计数：按不同类型（侧面、底面）分别计算棱数、面数。 3. 多面体展开：想象折合过程，判断顶点重合、棱对应关系，避免重复计数。 【变式3-1】已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是几棱柱？ (2)它有多少个面？多少个顶点？ (3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)七棱柱 (2)有9个面，14个顶点 (3) 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有 条棱求解可得； （2）由棱柱有个顶点，有个面求解可得； （3）将侧面长方形的底面周长乘以长方形的宽可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以这个直棱柱是七棱柱． （2）解：因为这个直棱柱是七棱柱，所以它有9个面，14个顶点． （3）解：所有侧面的面积之和为． 答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 【变式3-2】欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，直接写出答案即可； （2）分析表格中的数据，发现； （3）根据有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，得到总棱数，根据即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 10 6 棱数 6 9 15 12 面数 4 5 7 8 （2）解：分析表中的数据，能发现、、之间的关系为：， 故答案为：； （3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为个，五边形的个数为个， 有36个顶点，每个顶点处都有3条棱， 共有（条， ，解得． ． ∴该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20． 题型4 正方体几种展开图的识别 【例7】下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能折成正方体；选项C不能折成正方体． 【例8】下列图形是正方体的表面展开图的是（     ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】正方体展开图的11种不同的形状，其特征可总结为：141、222、33、132；根据上面的特征，找出不符合上面特征的形状即可，也可通过折叠进行判断，即判断哪个图形能折成正方体． 【详解】解：根据展开图特征判定，B符合题意． 【技巧归纳】 识别正方体展开图需牢记11种基本型：141型（6种）、231型（3种）、222型（1种）、33型（1种）。方法：先找“目”形或“Z”形，注意相对面间隔一个面，相邻面折后必邻。排除“田”“凹”字形。 【变式4-1】下面展开图中，能折成无盖的正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图共有11种类型,可分为1—4—1、2—3—1、2—2—2、3—3四类基本结构，遵循“隔行相对”“Z字两端为对面”等规律，且需避免出现“田”“凹”等结构．根据正方体展开图的特点求解． 【详解】解：根据正方体展开图的特点可得： A．不能折成无盖的正方体，不合题意； B．能折成无盖的正方体，符合题意； C．不能折成无盖的正方体，不合题意； D．不能折成无盖的正方体，不合题意． 【变式4-2】下列四个图形中，不属于正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的表面展开图的每个面都有对面，可得答案． 【详解】解：A图中每个面都有对面，故A不符合题意； B图中每个面都有对面，故B不符合题意； C图中每个面都有对面，故C不符合题意； D图中中间层的中间的面没有对面，故D符合题意． 题型5 正方体相对两面上的字 【例9】如图，这是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“数”字所在面相对的面上的字是（    ） A．启 B．迪 C．智 D．慧 【答案】D 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特征是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方体表面展开图的可知，“学”的对面是“启”，“智”的对面是“迪”，“慧”的对面是“数”， 故选：D． 【例10】将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．扬 B．四 C．精 D．神 【答案】C 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】此题考查正方体相对面上的字．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：与“弘”字所在面相对面上的汉字是“精”， 故选：C． 【技巧归纳】 找正方体相对面：利用展开图，同行或同列隔一个面即相对；或找“Z”两端。在立体图中，可见邻面不相对，共用棱的面相邻。常用排除法，确定一对后剩下自然成对。注意旋转后相对关系不变。 【变式5-1】诸葛亮《诫子书》中有言“非学无以广才，非志无以成学”．如图是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“成”字所在的面相对的面上的汉字是（  ） A．非 B．志 C．无 D．学 【答案】C 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查正方体的展开图，掌握正方体展开图的特点是解题关键．根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形解答即可． 【详解】解：由展开图可知“学”与“非”相对，“无”与“成”相对，“志”与“以”相对． 故选C． 【变式5-2】如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（   ） A．安 B．全 C．校 D．园 【答案】B 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的展开图，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”． 故选：B． 题型6 补一个面使图形围成正方体 【例11】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【例12】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 【技巧归纳】 补面成正方体：检查已有5个面能否形成展开图，缺的面应使整体符合141、231等标准型。所补位置与邻面有公共棱，且不造成面重叠或“田”“凹”形。试折验证：补面应与四面相邻，对面唯一。 【变式6-1】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】根据正方体的展开图得出结论即可． 【详解】解：在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体的情况如下：    共有4种添法， 故选：B 【变式6-2】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【知识点】补一个面使图形围成正方体 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 题型7 含图案的正方体的展开图 【例13】一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】 解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 【例14】一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据正方体的侧面展开图判断正方体． 根据正方体的侧面展开图的特征判断即可． 【详解】解：由图可知，正方体中圆相邻的四个面中，应为三个相邻的竖线面及一个空白面，且三条竖线均垂直于圆所在的面的边，A正确，B、C错误； 由图可知，正方体中三个竖线面中的竖线应指向统一方向，D错误； 故选：A． 【技巧归纳】 图案展开图：先确定各面相对关系，再判断图案方向是否合理。注意折合后图案朝向（如箭头、字母）应一致，相邻面图案不颠倒。可用“邻面转向法”：固定一个面，旋转相邻面判断方向是否矛盾。排除错位。 【变式7-1】如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图，解决本题的关键是根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断． 【详解】解：A选项：如下图所示，当在前面时，上面是，左面是，故A选项符合题意； B选项：当在上面时，前面应是，故B选项不符合题意； C选项：当在前面时，上面应是，故C选项不符合题意； D选项：两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式7-2】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的展开图， 先观察原正方体可知带有图案的三个面交于一点，再逐个判断即可． 【详解】解：由原正方体知带有图案的三个面交于一点，而通过折叠后A，B都不符合； 且D折叠后带有图案的面的位置正好相反，所以能得到的图形是C选项． 故选：C． 题型8 常见几何体展开图的认识 【例15】“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是 故选：D． 【例16】下列图形能围成圆锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，根据几何体的展开图的特征即可求解． 【详解】解：A.是圆柱的展开图，故该选项错误； B.是三棱锥的展开图，故该选项错误； C.是圆锥的展开图，故该选项正确； D.是正方体的展开图，故该选项错误， 故选：C． 【技巧归纳】 圆柱展开得两圆一矩形；圆锥得一圆一扇形；棱柱得两个多边形及多个矩形（侧面）；棱锥得一个多边形及多个三角形。识别关键：找底面形状及数量，侧面围成闭环。注意扇形圆心角由底面周长与母线决定。 【变式8-1】如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了几何体展开图的认识， 根据表面展开图的特点判断几何体即可． 【详解】解：侧面是三个长方形，上下两个底面是三角形，可知几何体是三棱柱． 故选：D． 【变式8-2】如图，这是一个无下底面的几何体，它的平面展开图可能为（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】此题主要考查了几何体的展开图．由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答． 【详解】解：由侧面是3个矩形，上有1个三角形， 它的平面展开图可能为  ， 故选：B． 题型9 由展开图计算几何体的面积 【例17】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【答案】(1)五棱柱 (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为5个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为五棱柱； （2）解：． 【例18】如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)该长方体的侧面积是180平方厘米 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查长方体及其展开图： （1）根据长方体的特点，作答即可； （2）根据长方体的展开图，补全图形即可； （3）根据长方体的侧面积为底面周长乘以高进行计算即可． 【详解】（1）解：长方体有6个面，12条棱； 故答案为：； （2）由图，补全表面展开图如图： （3）； 答：该长方体的侧面积是180平方厘米． 【技巧归纳】 计算表面积：先识别展开图中各面的形状（圆、矩形、扇形等），分别求面积再相加。圆柱=侧面积+2底面积，圆锥=侧面积+底面积。注意单位统一，扇形的弧长对应底面周长，半径对应母线长。 【变式9-1】如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)72． 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱； 故答案为：直三棱柱； （2）解：． 【变式9-2】如下图所示的是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正方形． (1)请写出这个包装盒的几何体名称； (2)请根据图中所标的尺寸求这个包装盒的表面积． 【答案】(1)长方体 (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积 【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体的表面积．熟练掌握长方体的展开图，长方体的表面积是解题的关键． （1）根据长方体的展开图判断作答即可； （2）根据长方体的表面积为展开图的6个面的面积的和求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，这个包装盒的几何体名称为长方体． （2）解：由图可知，这个包装盒底面的边长为， 高为， ∴这个包装盒的表面积为， ∴这个包装盒的表面积为． 题型10 由展开图计算几何体的体积 【例19】如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱； (2)表面积为；体积为． 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何体的展开图； （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的表面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的表面积为 该几何体的体积． 【例20】某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 【技巧归纳】 由展开图先还原几何体（柱、锥、球等），再套用体积公式。关键从展开图求出底面半径、高或母线：矩形一边为高，另一边为底面周长；扇形弧长对应底面周长。体积计算通常不直接用展开图，需推算几何尺寸。 【变式10-1】如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍． (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面 相对，面②与面 相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积． 【答案】(1)⑤，④ (2)这个长方体包装盒的体积为 【知识点】由展开图计算几何体的体积、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了长方体的平面展开图以及列代数式，注意根据题意分析及解答问题． （1）通过结合立体图形与平面图形的相互转化，可以知道长方体包装盒的六个面分别是那两个面一一对应； （2）根据题意和题干图列代数式，根据所给数据计算即可解答． 【详解】（1）解∶根据长方体纸盒展开图可知，①与⑤是相对的，②与④是相对的，③与⑥是相对的； 故答案为∶⑤，④； （2）解∶由长方体的宽为，长是宽的2倍可以得到长方体的长为；由图可知①与④的高相同，所以长方体的高为． 长方体的体积为∶长宽高， 答∶长方体包装盒的体积为． 【变式10-2】小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠； （1）根据长方体的展开图可得面D与面B相对，结合题意，即可求解； （2）根据题意求得，然后根据长方体的体积公式，即可求解． 【详解】（1）解：将展开图折叠成长方体后，其中面D与面B相对，要让折叠后的B在底面，则她应该剪去面D； （2）因为所有棱长的和是， 所以． 因为， 所以， 所以这个长方体收纳盒的容积为 题型11 动态认识点、线、面、体 【例21】下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体四者之间的关系是解题的关键．根据点、线、面、体四者之间的关系，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、天空划过一道流星，能说明“点动成线”，不符合题意； B、时钟的钟摆摆动留下的痕迹，能说明“线动成面”，符合题意； C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线，能说明“点动成线”，不符合题意； D、一枚硬币在桌面上旋转的轨迹，能说明“面动成体”，不符合题意； 故选：B． 【例22】朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 【答案】A 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】此题考查了点、线、面、体，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线， 故选：A 【技巧归纳】 1. 运动生形：点动成线（轨迹）、线动成面（平移或旋转）、面动成体（旋转或平移）。 2. 找旋转轴：平面图形绕轴旋转一周，轴所在位置决定几何体形状（如矩形绕边得圆柱）。 3. 分情况：不同运动方向产生不同图形，画草图辅助想象。 【变式11-1】在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是（    ） A．线动成面 B．点动成线 C．面动成体 D．点动成线、线动成面、面动成体 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是：点动成线， 故选：B． 【变式11-2】在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【答案】C 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．熟练掌握由平面图形变成立体图形的过程是面动成体是解题的关键． 根据由平面图形变成立体图形的过程是面动成体判断作答即可． 【详解】解：由题意知，这种现象说明的数学道理是面动成体， 故选：C． 题型12 平面图形旋转所得立体图形 【例23】下面图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了圆锥的认识及特点，灵活掌握圆锥的特点，是解答此题的关键． 根据一个直角三角形以一条直角边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥，据此解答即可． 【详解】解：一个直角三角形以一条直角边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥． 故选：． 【例24】陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了面动成体，解题关键在于能够通过几何直观得出选项．通过丰富的空间想象力类比选项中各花瓶的外表即可得出答案． 【详解】解：将所给图形绕直线旋转一周后的几何体与D选项的花瓶外表最为相似， 故选：D． 【技巧归纳】 1. 识旋转轴：图形绕轴旋转，轴为边界或对称轴时，得圆柱、圆锥、圆台或球。 2. 分部分旋转：将图形拆为简单图形（矩形、三角形、半圆）分别旋转再组合。 3. 找对应半径：旋转半径即点到轴距离，影响底面圆大小。 4. 画截面：过轴作截面辅助判断形状。 【变式12-1】将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，根据如图所示的平面图形绕直线旋转一周得出两个圆锥的组合体，即可作答． 【详解】 解：依题意，绕直线旋转一周，得到的立体图形是： ， 故选：C． 【变式12-2】如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？ 用线连起来． 【答案】见解析 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体：梯形绕底边旋转得中间圆柱、上下圆锥，半圆绕直径旋转得球，矩形绕边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，可得答案． 【详解】解：第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来为： ． 题型13 求平面图形旋转所得立体图形体积 【例25】如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)这个图形的侧面积是． 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了面动成体，解答此题的关键是找出旋转所得到的图形与原图形之间的数据关系． （1）根据面动成体可知将正方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱； （2）根据圆柱的高和底面周长，进行计算即可． 【详解】（1）解：将长方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：这个立体图形的侧面积为； 答：这个图形的侧面积是． 【例26】如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m的长方形玻璃隔板组成． (1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体； (2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1)圆柱；面； (2)． 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据圆柱的特征，以及点、线、面、体的关系，即可解答； （2）利用圆柱的体积公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这体现了面动成体， 故答案为：圆柱；面； （2）解：由题意得：， ∴每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积． 【技巧归纳】 1. 拆解法：将平面图形分割为矩形、三角形、半圆等，分别绕轴旋转后体积相加。 2. 公式法：圆柱V=πr2 h，圆锥 V=πr2 h，球 V= πr2 hR3。 3. 找对应量：确定旋转半径r与高h（旋转轴方向长度），代入公式。 【变式13-1】小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)圆锥；圆柱；面动成体 (2)小红的说法正确，理由见解析 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体： （1）由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体； （2）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆锥；圆柱；面动成体； （2）解：小红的说法正确，理由如下： 甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴小红的说法正确． 【变式13-2】当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同． (1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π） (2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π） 【答案】(1)或 (2) 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查点、线、面、体以及几何体的表面积，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键． （1）分绕和两边中点所在直线旋转一周和绕和两边中点所在直线旋转一周两种情况解答即可； （2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：当绕和两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：； 当绕和两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：； 故形成的几何体的表面积为或； （2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为， 得到的几何体的体积． 1．下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱； 选项B的物体形状可以抽象为球体； 选项C的物体形状可以抽象为圆锥； 选项D的物体形状可以抽象为圆柱． 2．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 3．如图是阳阳设计的抽奖盒子，他在部分面上进行了装饰．下列图形中可以作为抽奖盒的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个图案的小正方形为相邻面即可进行判断． 本题考查了正方体相邻两个面上的图案，掌握正方体的展开图是解题关键． 【详解】解：由图可知，能围成几何体的只有A选项，B、C、D各由两个带图案的小正方形为相对面，不符合题意． 故选：A． 4．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】根据几何体的特点判断解答即可． 【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能． ②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未装满，因此不可能． ③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，而圆柱体有曲面，不可能． ④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可能． ⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能． 综上，可能的是①④⑤，答案选D． 5．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 6．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 【答案】 们 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形， 所以“中”与“们”是对面． 7．下面图形中是圆柱的是_________．圆柱的底面都是_________，并且大小一样． 【答案】 ②⑤ 圆 【分析】本题考查了圆柱的认识和特征，关键是根据特征进行识别； 根据圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样；圆柱上下粗细一样解答即可． 【详解】 解：、、上下粗细不一样，不是圆柱； 、符合圆柱的特征，是圆柱； 两个底面不一样，不是圆柱． 所以上面图形中是圆柱的是②⑤；圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样． 故答案为：②⑤；圆 8．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 9．如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算． 【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥， 圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的体积为 ， 故答案为：． 10．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是______，该几何体的体积是______(结果保留)    【答案】 圆柱 或 【分析】本题考查了点、线、面、体，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解，再根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为或底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答，熟练掌握圆知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱； 将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱的底面半径为，高为，体积为； 将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱的底面半径为，高为，体积为； 故答案为：圆柱；或． 11．将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】本题主要考查了几何体的分类，柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：①是正方体，属于柱体； ②是长方体，属于柱体； ③是球，属于球体； ④是圆锥，属于锥体； ⑤是六棱柱，属于柱体； ⑥是五棱锥，属于锥体； ⑦是三棱柱，属于柱体； ⑧是圆柱，属于柱体； 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 12．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． 13．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 14．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 【答案】(1)B (2)①②③ (3)58 (4)见解析，70 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据正方体的平面展开图求解即可； （2）根据长方体的平面展开图求解即可； （3）根据长方体的长、宽、高分别为4，3，6结合图形求解即可； （4）要使外围周长最大，那么边长为6的边要尽可能在外围，边长为3的边尽可能不在外围，据此作图求解即可． 【详解】（1） 解：根据正方体的表面展开图可得，是正方体的表面展开图的是   ， 故选：B； （2）解：根据长方体的表面展开图可得， 可能是该长方体表面展开图的有①②③， 故答案为：①②③； （3）解：∵长方体的长、宽、高分别为4，3，6， ∴图B的外围周长； （4）解：如图所示，即为所求；此时外围周长为． 15．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形． （2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解． 【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形， 故答案为：． （2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为， ∴圆锥的体积为，圆柱的体积为， ∴这个几何体的体积为． 16．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 几何图形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 常见的几何体 题型2 立体图形的分类 题型3 几何体中的点、棱、面 题型4 正方体几种展开图的识别 题型5 正方体相对两面上的字 题型6 补一个面使图形围成正方体 题型7 含图案的正方体的展开图 题型8 常见几何体展开图的认识 题型9 由展开图计算几何体的面积 题型10 由展开图计算几何体的体积 题型11 动态认识点、线、面、体 题型12 平面图形旋转所得立体图形 题型13 求平面图形旋转所得立体图形体积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 几何图形、立体图形、平面图形、抽象、空间观念、分类。 1. 通过观察实物和模型，了解从物体外形抽象出的几何图形、立体图形、平面图形等概念。 2. 能识别常见的立体图形（如柱体、锥体、球体）与平面图形（如三角形、四边形、圆），并对其进行简单分类。 3. 初步了解立体图形与平面图形的区别与联系（立体图形中某些部分是平面图形）。 4. 经历从具体事物中抽象出几何图形的过程，发展抽象能力和空间观念。 学习重点:识别常见的立体图形与平面图形，并能从具体实物中抽象出相应的几何图形。 学习难点:理解从具体事物中抽象出几何图形的过程，以及体会立体图形与平面图形的区别与联系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 立体图形的认识 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【易错提醒】 - 分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体，勿将圆柱归为棱柱。 - 棱与面：棱柱的侧棱平行且相等；圆柱、圆锥的侧面是曲面，不是平面。 - 展开图：正方体展开图有11种，带“田”“凹”字形的不能折叠成立方体。 即时即练1将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 2．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 6 正八面体 6 12 正十二面体 20 12 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）和面数（F）的和与棱数（E）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 正方体 8 12 正八面体 8 正十二面体 30 知识点02 正方体的平面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有1种. 正方体展开图口诀： ①一线不过四;田凹应弃之； ②找相对面：相间，“Z”端是对面；③找邻面：间二，拐角邻面知. 【易错提醒】 正方体展开图易错警示：共11种，可归纳为“一四一”“二三一”“二二二”“三三”型。注意“田”“凹”“L”形不能围成正方体。展开图中相对面间隔一个或呈Z形两端，相邻面不相对。 即时即练1．下列图形中，不是正方体展开图的是（   ） A．B．C．D． 2．如图，在的正方形网格中，选择一个空白的小正方形，能与阴影部分组成正方体的展开图的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．如图，正方体的六个面上有三个面有图案，它的展开图可能是（      ） A．B． C． D． 知识点03 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 即时即练1．画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是 ． 2．已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如图）． (1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____； (2)试比较这两个圆柱的侧面积． 题型1 常见的几何体 【例1】端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（   ） A．长方体 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【例2】下列几何体中，是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 识特征：柱体（上下底全等）、锥体（尖顶）、球（中心对称）。 【变式1-1】下列几何体中，是圆柱的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】以下图片展示了生活中的常见物品，这些物品的形状最接近圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 题型2 立体图形的分类 【例3】将如图几何体分类，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ．（填序号） 【例4】将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【技巧归纳】 1. 按形状：柱（圆柱、棱柱）、锥（圆锥、棱锥）、球、台。 2. 按面特征：曲面（圆柱、圆锥、球）与平面（多面体）。 3. 按底面：棱柱看多边形边数，棱锥看顶点与底面。 4. 识展开图：判断能否围成立体图形，常用排除法。 【变式2-1】如图是8个立体图形．其中，是柱体的有 ，是锥体的有 ，有曲面的有 ．（填序号） 【变式2-2】将下图的立体图形分类，柱体有 ，锥体有 ，球有 ．（填序号） 题型3 几何体中的点、棱、面 【例5】银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050年），是宁夏现存古塔中最高的一座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一共有 角 条棱， 有 面， 有 个顶点． 【例6】如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有个面，条棱，个顶点，观察图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； （3）由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【技巧归纳】 1. 欧拉公式：V - E + F = 2（顶点数－棱数＋面数），已知两个量可求第三个。 2. 分类计数：按不同类型（侧面、底面）分别计算棱数、面数。 3. 多面体展开：想象折合过程，判断顶点重合、棱对应关系，避免重复计数。 【变式3-1】已知一个直棱柱，它有21条棱，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是几棱柱？ (2)它有多少个面？多少个顶点？ (3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和． 【变式3-2】欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． (1)观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 棱数 6 面数 4 (2)分析表中的数据，请写出、、之间的等量关系：___________； (3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36个顶点，每个顶点处都有3条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？ 名称 三棱锥 三棱柱 五棱柱 正八面体 图形 顶点数 4 6 10 6 棱数 6 9 15 12 面数 4 5 7 8 题型4 正方体几种展开图的识别 【例7】下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【例8】下列图形是正方体的表面展开图的是（     ） A．B．C．D． 【技巧归纳】 识别正方体展开图需牢记11种基本型：141型（6种）、231型（3种）、222型（1种）、33型（1种）。方法：先找“目”形或“Z”形，注意相对面间隔一个面，相邻面折后必邻。排除“田”“凹”字形。 【变式4-1】下面展开图中，能折成无盖的正方体的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列四个图形中，不属于正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 题型5 正方体相对两面上的字 【例9】如图，这是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“数”字所在面相对的面上的字是（    ） A．启 B．迪 C．智 D．慧 【例10】将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．扬 B．四 C．精 D．神 【技巧归纳】 找正方体相对面：利用展开图，同行或同列隔一个面即相对；或找“Z”两端。在立体图中，可见邻面不相对，共用棱的面相邻。常用排除法，确定一对后剩下自然成对。注意旋转后相对关系不变。 【变式5-1】诸葛亮《诫子书》中有言“非学无以广才，非志无以成学”．如图是正方体的一种表面展开图，则原正方体中与“成”字所在的面相对的面上的汉字是（  ） A．非 B．志 C．无 D．学 【变式5-2】如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（   ） A．安 B．全 C．校 D．园 题型6 补一个面使图形围成正方体 【例11】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例12】图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【技巧归纳】 补面成正方体：检查已有5个面能否形成展开图，缺的面应使整体符合141、231等标准型。所补位置与邻面有公共棱，且不造成面重叠或“田”“凹”形。试折验证：补面应与四面相邻，对面唯一。 【变式6-1】如图，有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使添加后的图形能折叠成一个正方体，共有（  ）种添法．    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-2】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 题型7 含图案的正方体的展开图 【例13】一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【例14】一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 图案展开图：先确定各面相对关系，再判断图案方向是否合理。注意折合后图案朝向（如箭头、字母）应一致，相邻面图案不颠倒。可用“邻面转向法”：固定一个面，旋转相邻面判断方向是否矛盾。排除错位。 【变式7-1】如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 题型8 常见几何体展开图的认识 【例15】“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【例16】下列图形能围成圆锥的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 圆柱展开得两圆一矩形；圆锥得一圆一扇形；棱柱得两个多边形及多个矩形（侧面）；棱锥得一个多边形及多个三角形。识别关键：找底面形状及数量，侧面围成闭环。注意扇形圆心角由底面周长与母线决定。 【变式8-1】如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（   ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱锥 D．三棱柱 【变式8-2】如图，这是一个无下底面的几何体，它的平面展开图可能为（   ）    A．  B．   C．   D．   题型9 由展开图计算几何体的面积 【例17】如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒的展开图． (1)这个食品包装盒的几何体名称是________； (2)根据图中所给数据，求这个食品包装盒的侧面积． 【例18】如图1，这个长方体的高为，底面是一个边长为的正方形． (1)该长方体有___________个面，___________条棱． (2)如图2是该长方体表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)该长方体的侧面积是多少平方厘米？ 【技巧归纳】 计算表面积：先识别展开图中各面的形状（圆、矩形、扇形等），分别求面积再相加。圆柱=侧面积+2底面积，圆锥=侧面积+底面积。注意单位统一，扇形的弧长对应底面周长，半径对应母线长。 【变式9-1】如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ； (2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【变式9-2】如下图所示的是一个食品包装盒的表面展开图，其底面为正方形． (1)请写出这个包装盒的几何体名称； (2)请根据图中所标的尺寸求这个包装盒的表面积． 题型10 由展开图计算几何体的体积 【例19】如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【例20】某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【技巧归纳】 由展开图先还原几何体（柱、锥、球等），再套用体积公式。关键从展开图求出底面半径、高或母线：矩形一边为高，另一边为底面周长；扇形弧长对应底面周长。体积计算通常不直接用展开图，需推算几何尺寸。 【变式10-1】如图是一个长方体包装盒的展开图，已知长方体包装盒的长是宽的2倍． (1)包装盒展开图的6个面上分别标有如图所示的序号，若将展开图重新还原成一个包装盒，则面①与面 相对，面②与面 相对；（填序号） (2)若该长方体包装盒的宽为，求这个长方体包装盒的体积． 【变式10-2】小颖设计了一个无盖的长方体收纳盒，她用若干个长方形拼成了如图所示的展开图，并标上了字母，据你所学的知识，回答下列问题： (1)小颖将展开图折叠成无盖的长方体，若她想让折叠后的B在底面，则她应该剪去哪个面？ (2)已知，所有棱长的和是，求这个长方体收纳盒的容积． 题型11 动态认识点、线、面、体 【例21】下面现象中，能说明“线动成面”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹 C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线 D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹 【例22】朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上三个均有 【技巧归纳】 1. 运动生形：点动成线（轨迹）、线动成面（平移或旋转）、面动成体（旋转或平移）。 2. 找旋转轴：平面图形绕轴旋转一周，轴所在位置决定几何体形状（如矩形绕边得圆柱）。 3. 分情况：不同运动方向产生不同图形，画草图辅助想象。 【变式11-1】在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是（    ） A．线动成面 B．点动成线 C．面动成体 D．点动成线、线动成面、面动成体 【变式11-2】在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 题型12 平面图形旋转所得立体图形 【例23】下面图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥体的是（    ） A． B． C． D． 【例24】陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 识旋转轴：图形绕轴旋转，轴为边界或对称轴时，得圆柱、圆锥、圆台或球。 2. 分部分旋转：将图形拆为简单图形（矩形、三角形、半圆）分别旋转再组合。 3. 找对应半径：旋转半径即点到轴距离，影响底面圆大小。 4. 画截面：过轴作截面辅助判断形状。 【变式12-1】将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？ 用线连起来． 题型13 求平面图形旋转所得立体图形体积 【例25】如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形是______． (2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留） 【例26】如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m的长方形玻璃隔板组成． (1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体； (2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）． 【技巧归纳】 1. 拆解法：将平面图形分割为矩形、三角形、半圆等，分别绕轴旋转后体积相加。 2. 公式法：圆柱V=πr2 h，圆锥 V=πr2 h，球 V= πr2 hR3。 3. 找对应量：确定旋转半径r与高h（旋转轴方向长度），代入公式。 【变式13-1】小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【变式13-2】当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同． (1)如图1是一张长方形纸片，长为，长为．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π） (2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π） 1．下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 2．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 3．如图是阳阳设计的抽奖盒子，他在部分面上进行了装饰．下列图形中可以作为抽奖盒的展开图的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 5．用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 6．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 7．下面图形中是圆柱的是_________．圆柱的底面都是_________，并且大小一样． 8．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 9．如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 10．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是______，该几何体的体积是______(结果保留)    11．将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 12．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 13．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 14．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． (1)下列图形中，是正方体的表面展开图的是_____． A．    B．    C．    D． (2)如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形．则下列图形中可能是该长方体表面展开图的有_____（填序号）． (3)下列、分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图的外围周长为52，请你求出图的外围周长； (4)第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并在图中用数字标注出外围各线段的长度，并求出它的外围周长． 15．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 16．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $