第04讲 实际问题与一元二次方程（暑假预习培优讲义，6题型技巧6重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第04讲 实际问题与一元二次方程（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 列一元二次方程解应用题六步标准解题法 2 知识点02 五大必考基础模型（核心公式） 2 知识点03 培优通用解题技巧（中考提分专用） 3 剖题型·讲技巧 题型1 传播问题 4 题型2 增减率问题 5 题型3 面积平移问题 6 题型4 栅栏围栏封闭问题（中考高频几何题型） 7 题型5 利润问题 10 题型6 循环交往赛事问题（极易混淆） 11 释疑惑·重难拓展 题型1 变式传播问题（非1初始传染源） 12 题型2 动态几何动点面积压轴 13 题型3 双重限制利润综合题 15 题型4 双层等宽镶边易错模型 17 题型5 含参数一元二次方程实际应用 19 题型6 二次函数衔接培优铺垫 22 知中考·真题探源 24 练好题·提分培优 26 课标要点 1.建模能力：结合真实生活情境，提取数量关系，自主建立一元二次方程模型，理解方程是刻画现实数量关系的核心数学工具。 2.运算应用：熟练选用因式分解、公式法、配方法解一元二次方程，掌握方程解的双重检验方法，能舍去不符合现实意义的增根。 3.模型掌握：吃透传播、增长率、循环赛事、销售利润、几何面积五大必考应用型模型，熟记固定等量关系式。 4.素养目标：培养数学建模、逻辑推理、运算求解、分类讨论四大核心素养，适配中考中档、压轴题型作答要求。 5.培优拓展要求：掌握含参数应用型方程、动态几何面积、双条件限制利润、复合变化率综合题型，学会根的分类取舍、范围讨论。 知识点01 列一元二次方程解应用题六步标准解题法 口诀：审、设、列、解、验、答，缺一不可，中考按步骤给分 1.审：精读题干，区分已知量、未知量，圈画关键词，锁定核心等量关系； 2.设：分为直接设元、间接设元，未知数必须带单位，优先设变化量简化计算； 3.列：依托等量关系，列出标准一元二次方程； 4.解：择优解方程，优先因式分解法，其次公式法，少用配方法应试解题； 5.验（重难点）：双重检验 ①代数检验：数值是否为方程实数根； ②实际检验：长度、人数、售价不为负；下降率≤1，符合题干限制条件； 6.答：规范作答，匹配单位，多解题目写明舍去原因。 知识点02 五大必考基础模型（核心公式） 模型1：传播裂变问题 适用场景：病毒传染、细胞分裂、信息转发 基础式（初始1个传染源）：两轮传播总数： 通用式（初始个传染源，传播轮）： 备注：为每一个个体每轮传染数量，取值为正整数。 模型2：增长率/下降率问题 设原有基数，单次变化率，变化次后总量 连续增长： 连续下降： 易错点：下降率，不可大于100%。 模型3：循环交往赛事问题 1.单循环（无顺序、不重复）：握手、小组赛、两两对接，总次数： 2.双循环（有顺序、双向）：互送礼品、主客场比赛，总次数： 模型4：销售利润问题 基础公式：单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售数量 通用设元模板：设涨价/降价元，销量随价格反向增减，列式求解即可。 模型5：几何图形面积问题 1.道路平移模型：横竖小路平移至边缘，种植区域为新矩形，长宽减去道路宽度； 2.镶边边框模型：等宽边框，长宽均加减（双向加宽）； 3.动点面积模型：用运动时间表示线段长，结合三角形、矩形面积公式列方程。 知识点03 培优通用解题技巧（中考提分专用） 1.优选间接设元：不直接设售价、总长，优先设涨价、路宽、运动时间，简化方程系数，降低计算难度； 2.双根分类取舍：两根均为正数时，结合题干限制：物美价廉取降价大值、销量达标取合规数值； 3.关键词定位法：圈画达到、一共、剩余、盈利、相等五大关键词，快速锁定等量关系； 4.参数逆向解题：已知方程解求参数，先代根求参数，再核验参数对应解符合实际情境。 题型1 传播问题 方法技巧 题干特征：1人始发，每轮传染人数相同，两轮后统计总人数 答题步骤：设每人每轮传染人→列→解方程→舍去负根→作答。 【典例1】（2026·山东东营·二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·广西桂林·三模）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【变式1-3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 题型2 增减率问题 方法技巧 增加降减，次数为幂；基数在前，括号包裹；两年平方，多年次方。 【典例2-1】（2026·吉林长春·三模）根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·重庆·二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·重庆武隆·一模）某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 【变式2-3】（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 题型3 面积平移问题 方法技巧 园内横竖道路，无需分段计算面积，整体平移小路，直接计算空白区域长宽乘积，规避分段列式出错。 【典例3】（25-26九年级下·云南昭通·期中）某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（   ）. A． B． C． D． 【变式3-1】在一块宽，长的长方形空地上，修建3条宽度相等的小路（阴影部分）如图所示，剩余空白区域为花坛部分．已知花坛部分总面积为，求小路宽度是多少米？若设小路宽度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【变式3-3】（25-26九年级下·山东淄博·期中）智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． (1)求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 (2)为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 题型4 栅栏围栏封闭问题（中考高频几何题型） 方法技巧 题型特征：利用围墙、墙体一侧，用总长固定栅栏围矩形场地，墙体无需栅栏，分单面靠墙、双面靠墙两类 核心列式模板 1.单面靠墙（最常考）：设垂直围墙边长为，栅栏总长为，平行围墙边长：，面积： 2.双面靠墙：设一边长为，另一边长：，面积： 硬性取舍规则（必考易错） 1.平行围墙边长必须小于墙体总长，超出墙体长度的根直接舍去； 2.边长恒为正数：，双向限定取值； 培优变式：中间加隔断栅栏，有几道隔断，多几倍边长，例：一道隔断，总长拆分为。 【典例4-1】（2026·广西崇左·二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【典例4-2】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长． (1)若矩形生物园的面积是，求边的长； (2)矩形生物园的面积能否达到，请说明理由． 【变式4-1】为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 【变式4-2】小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． (2)如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 【变式4-3】学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 题型5 利润问题 方法技巧 设价格变化量→表示新售价、单件利润→表示变动后销量→总利润列式解方程。 【典例5-1】（2026·甘肃临夏·模拟预测）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【典例5-2】某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【变式5-1】（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·山西临汾·三模）某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【变式5-3】根据以下素材，完成任务． 素材1 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔月份销售个，月份销售个． 素材2 此种头盔的进价为元个，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． 问题解决： (1)任务1：求该品牌头盔销售量从月份到月份的月平均增长率 (2)任务2：为使月销售利润达到元，且尽可能让利给顾客，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 题型6 循环交往赛事问题（极易混淆） 方法技巧 区分口诀：有序双向乘本身，无序对半再相乘 题型类别 核心特征 等量公式 典型题干关键词 单循环（无序） 两者互动只发生1次，无先后顺序 握手、小组赛、两两通话、两两合影 双循环（有序） 两者互动双向2次，有先后、主客顺序 互发消息、互赠贺卡、主客场比赛、往返车票 培优变式考点：新增外来人员参与循环，总数量要叠加外来人数，不可直接用列式。 【典例5-1】（2026·云南昆明·模拟预测）我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·广东清远·一模）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·广东东莞·二模）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数． 【变式5-3】（2026·河北唐山·二模）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 题型1 变式传播问题（非1初始传染源） 方法技巧 常规题型忽略初始人数，高频易错：初始2人患病，三轮传染后共128人，方程： 核心考点：初始基数不为1，必须前置相乘，幂次对应传播轮次。 1.有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆永川·期中）每年秋冬季都是流感的高发季，有3人患了流感，经过两轮传染后共有243人患流感，每轮传染平均一个人传染____________人． 3．（25-26九年级下·北京·阶段检测）在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 4．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 题型2 动态几何动点面积压轴 方法技巧 题干：矩形、直角三角形边上动点，给定速度，设运动时间，用含式子表示边长，结合面积公式列方程。 分类讨论：点在线段上、点在延长线上两种情况，舍去超出线段取值范围的解，九年级期末必考压轴。 5．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 6．如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 7．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 8．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 9．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 题型3 双重限制利润综合题 方法技巧 题干附加限制：①总利润达标；②售价≤定价上限/销量≥最低标准 解题流程：解出方程两解→逐条核验双重条件→保留唯一合规解。 10．（2026·辽宁阜新·二模）阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件饰品商家需多付元快递费． (1)求出每件饰品的成本； (2)三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件饰品的售价． 11．（2026·辽宁朝阳·二模）在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； (2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 12．（2026·广东深圳·模拟预测）APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 题型4 双层等宽镶边易错模型 方法技巧 图片四周镶等宽边框，路宽为，新矩形长=原长+，新宽=原宽+，极易错写为加。 13．（25-26九年级下·重庆铜梁·自主招生）匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．      素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知： ①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克； ②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）； ③冷库每天支出费用200元； ④草莓最多保存16天．    问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若，则种植面积为___________平方米． (2)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润总销售额收购总成本冷库总费用） (3)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (4)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为___________元． 16.根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 题型5 含参数一元二次方程实际应用 方法技巧 题干含字母参数，结合边长、售价正数取值范围，列不等式求解参数取值范围，适配中考填空压轴。 17．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 18．为了调节学习节奏、缓解学业压力，让学生走出校园、拓展实践课堂，开展春游、研学、劳动实践．将课堂延伸至自然与社会，促进学生的身心健康发展．安徽省各地市均把首个春假定于2026年4月1日至4月3日，与清明假期连休形成天小长假．为欢迎学生游客的到来，某景区在景点内的一块长为米，宽为米的长方形空地上布置了如图所示的牡丹、木绣球、郁金香、月季四种花卉的花圃（四块区域的宽相同，即），并将剩余部分修建成如图所示的宽度不一的通道（边缘宽度为米，中间宽度为米）． (1)若，求四块花圃的总面积； (2)为使区域能容纳更多的游客，要使通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时边缘通道的宽（即的值）； 19．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 20．某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 21.每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 题型6 二次函数衔接培优铺垫 方法技巧 同一利润问题两组解，对比高价少销、低价多销两种方案，判断最优销售方案，衔接九下二次函数利润最值考点，提前铺垫预习。 22．综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：∵，由，得；∴代数式的最大值是7． (1)求道路的宽是多少米？ (2)设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． (3)请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 23．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 24．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 一、单选题 1．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    5．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 三、解答题 6．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 7．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 8．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 一、单选题 1．（2026·云南西双版纳·一模）清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南永州·二模）某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 7．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 二、填空题 8．（2026·山西吕梁·二模）太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒元销售，一天能售出盒，销售单价每上涨元，日销售量就减少盒．要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？设销售单价为，可列方程：___________． 9．如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 三、解答题 10．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 11．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 12．（2026·湖南长沙·三模）为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 13．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 14．（2026·广东东莞·一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 15．如图,校园中有两面互相垂直的围墙,在美化校园的活动中,学校想借助围墙（两边足够长）,用长的篱笆围成一个小花园． 小明设计了两种方案： 方案一：如图,围成矩形花园，和需用篱笆围成； 方案二：如图,围成一个由以为直径的半圆和矩形两部分构成的花园,半圆（实线部分）和需用篱笆围成． (1)方案一围成的花园面积能否达到25？若能求出的长；若不能说明理由； (2)方案二围成的花园面积能否达到25？若能求出的长；若不能说明理由． 16．综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决 (1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． (3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 17．（2026·安徽合肥·模拟预测）综合实践： “耕读园”劳动实践基地设计方案 项目主题：“耕读园”花圃设计 项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50米，宽为40米的矩形花圃设计项目．以下为项目学习小组对花圃设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型方案． 驱动问题一 (1)项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ． ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824平方米． 驱动问题二 (2)请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100平方米的矩形花坛，如图所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米． 驱动问题三 (3)若篱笆总长为30米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长 ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽边两种围法）都可以围出面积为100平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15米．甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 18．如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； (3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 实际问题与一元二次方程（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 列一元二次方程解应用题六步标准解题法 2 知识点02 五大必考基础模型（核心公式） 2 知识点03 培优通用解题技巧（中考提分专用） 3 剖题型·讲技巧 题型1 传播问题 4 题型2 增减率问题 5 题型3 面积平移问题 7 题型4 栅栏围栏封闭问题（中考高频几何题型） 10 题型5 利润问题 14 题型6 循环交往赛事问题（极易混淆） 17 释疑惑·重难拓展 题型1 变式传播问题（非1初始传染源） 19 题型2 动态几何动点面积压轴 21 题型3 双重限制利润综合题 29 题型4 双层等宽镶边易错模型 32 题型5 含参数一元二次方程实际应用 37 题型6二次函数衔接培优铺垫 42 知中考·真题探源 46 练好题·提分培优 50 课标要点 1.建模能力：结合真实生活情境，提取数量关系，自主建立一元二次方程模型，理解方程是刻画现实数量关系的核心数学工具。 2.运算应用：熟练选用因式分解、公式法、配方法解一元二次方程，掌握方程解的双重检验方法，能舍去不符合现实意义的增根。 3.模型掌握：吃透传播、增长率、循环赛事、销售利润、几何面积五大必考应用型模型，熟记固定等量关系式。 4.素养目标：培养数学建模、逻辑推理、运算求解、分类讨论四大核心素养，适配中考中档、压轴题型作答要求。 5.培优拓展要求：掌握含参数应用型方程、动态几何面积、双条件限制利润、复合变化率综合题型，学会根的分类取舍、范围讨论。 知识点01 列一元二次方程解应用题六步标准解题法 口诀：审、设、列、解、验、答，缺一不可，中考按步骤给分 1.审：精读题干，区分已知量、未知量，圈画关键词，锁定核心等量关系； 2.设：分为直接设元、间接设元，未知数必须带单位，优先设变化量简化计算； 3.列：依托等量关系，列出标准一元二次方程； 4.解：择优解方程，优先因式分解法，其次公式法，少用配方法应试解题； 5.验（重难点）：双重检验 ①代数检验：数值是否为方程实数根； ②实际检验：长度、人数、售价不为负；下降率≤1，符合题干限制条件； 6.答：规范作答，匹配单位，多解题目写明舍去原因。 知识点02 五大必考基础模型（核心公式） 模型1：传播裂变问题 适用场景：病毒传染、细胞分裂、信息转发 基础式（初始1个传染源）：两轮传播总数： 通用式（初始个传染源，传播轮）： 备注：为每一个个体每轮传染数量，取值为正整数。 模型2：增长率/下降率问题 设原有基数，单次变化率，变化次后总量 连续增长： 连续下降： 易错点：下降率，不可大于100%。 模型3：循环交往赛事问题 1.单循环（无顺序、不重复）：握手、小组赛、两两对接，总次数： 2.双循环（有顺序、双向）：互送礼品、主客场比赛，总次数： 模型4：销售利润问题 基础公式：单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销售数量 通用设元模板：设涨价/降价元，销量随价格反向增减，列式求解即可。 模型5：几何图形面积问题 1.道路平移模型：横竖小路平移至边缘，种植区域为新矩形，长宽减去道路宽度； 2.镶边边框模型：等宽边框，长宽均加减（双向加宽）； 3.动点面积模型：用运动时间表示线段长，结合三角形、矩形面积公式列方程。 知识点03 培优通用解题技巧（中考提分专用） 1.优选间接设元：不直接设售价、总长，优先设涨价、路宽、运动时间，简化方程系数，降低计算难度； 2.双根分类取舍：两根均为正数时，结合题干限制：物美价廉取降价大值、销量达标取合规数值； 3.关键词定位法：圈画达到、一共、剩余、盈利、相等五大关键词，快速锁定等量关系； 4.参数逆向解题：已知方程解求参数，先代根求参数，再核验参数对应解符合实际情境。 题型1 传播问题 方法技巧 题干特征：1人始发，每轮传染人数相同，两轮后统计总人数 答题步骤：设每人每轮传染人→列→解方程→舍去负根→作答。 【典例1】（2026·山东东营·二模）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 【变式1-1】（2026·广西桂林·三模）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人， ∴第一轮传播结束后，总共有人知晓， 第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为， ∵两轮传播后总共有49人知晓， ∴可列方程为 ，故选C． 【变式1-2】经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 【变式1-3】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【详解】（1）解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． （2）经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． 题型2 增减率问题 方法技巧 增加降减，次数为幂；基数在前，括号包裹；两年平方，多年次方。 【典例2-1】（2026·吉林长春·三模）根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先计算2025到2035年的间隔年数，，即共增长10年， 年平均增长率为，初始规模为万亿元， 按照平均增长率规律，年后规模为初始量， 10年后规模为， 又 2035年规模为万亿元， 可列方程为． 【典例2-2】（2026·重庆·二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位4月份用纸量为1000张，6月份用纸量下降至640张．则该单位用纸量的月平均下降率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该单位用纸量的月平均下降率为， 根据题意，得， 解得 ，（舍去）， 该单位用纸量的月平均下降率为． 【变式2-1】某商店今年1月份的销售额为200万元，经过促销第一季度（1月、2月、3月）总销售额达到798万元．设2、3月份每月销售额的平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵1月份销售额为200万元，2、3月份每月销售额的平均增长率为， ∴2月份销售额为万元，3月份销售额为万元， 由题意得：． 【变式2-2】（2026·重庆武隆·一模）某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 【答案】 【详解】解：设日平均增长率为，则， 解得(不合题意，舍去)． ∴从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为. 【变式2-3】（2026·吉林松原·模拟预测）某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店4月15日定制出2000本，16日、17日定制量持续增加，到4月17日当天的定制量达到3380本，若16日、17日这两日定制量的日平均增长率相同，求这两日定制量的日平均增长率． 【答案】这两日定制量的日平均增长率是 【详解】解：设这两日定制量的日平均增长率是x．由题意得：      解得：，（不合题意舍去）     答：这两日定制量的日平均增长率是． 题型3 面积平移问题 方法技巧 园内横竖道路，无需分段计算面积，整体平移小路，直接计算空白区域长宽乘积，规避分段列式出错。 【典例3】（25-26九年级下·云南昭通·期中）某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设小道的宽为米，则个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形， ∴根据矩形的面积公式可列出关于的一元二次方程：． 【变式3-1】在一块宽，长的长方形空地上，修建3条宽度相等的小路（阴影部分）如图所示，剩余空白区域为花坛部分．已知花坛部分总面积为，求小路宽度是多少米？若设小路宽度是，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设小路的宽为，由题意得： ． 【变式3-2】如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【答案】1 【详解】设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 故答案为：1． 【变式3-3】（25-26九年级下·山东淄博·期中）智慧农业是以物联网、大数据、人工智能为核心的新型农业形态，通过农业传感器和北斗导航系统、智能农机装备和智能机器人实现精准高效地作业．智慧农业领域某品牌的智能机器人今年1月份销售量为3万台，随着智慧农业的不断推广，销量不断增长，该品牌智能机器人的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万台． (1)求从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率 (2)为了降低成本和提高采摘效率，小明家的果园也引进了一台智能机器人帮助采摘某种水果．如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为， 则 解得（不合题意，舍去） 答：从1月份到3月份该品牌智能机器人销售量的月平均增长率为． （2）解：设道路宽度为． 依题意得， 解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 题型4 栅栏围栏封闭问题（中考高频几何题型） 方法技巧 题型特征：利用围墙、墙体一侧，用总长固定栅栏围矩形场地，墙体无需栅栏，分单面靠墙、双面靠墙两类 核心列式模板 1.单面靠墙（最常考）：设垂直围墙边长为，栅栏总长为，平行围墙边长：，面积： 2.双面靠墙：设一边长为，另一边长：，面积： 硬性取舍规则（必考易错） 1.平行围墙边长必须小于墙体总长，超出墙体长度的根直接舍去； 2.边长恒为正数：，双向限定取值； 培优变式：中间加隔断栅栏，有几道隔断，多几倍边长，例：一道隔断，总长拆分为。 【典例4-1】（2026·广西崇左·二模）如图，一养殖户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18m的住房墙，另外围建猪舍的建筑材料可以建造的围墙总长为32m，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个2m宽的门（门不占用建筑材料），所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为140m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为14m，宽为10m时，猪舍面积为 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为， 由题意得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 【典例4-2】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长． (1)若矩形生物园的面积是，求边的长； (2)矩形生物园的面积能否达到，请说明理由． 【详解】（1）解：设边的长为，则有，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴当时，，不符合题意，舍去； ∴； 答：边的长为． (2)不能，理由如下： 由（1）可知：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴矩形生物园的面积不能达到． 【变式4-1】为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 【详解】（1）解：； （2）解：设，则，依题意得： ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 答：边的长为． 【变式4-2】小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． (2)如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 【详解】（1）解：①由题意得，，而， ∴ ∴米； ②由题意得，， 解得，． ， ∴， ∴不符合题意， 的长为23米． （2）解：养蜂场的面积不能达到230平方米，理由如下： 由题意得， ， ∵ ∴， ∴， 由题意得， 整理得， ， ∴该方程无实数根， ∴养蜂场的面积不能达到230平方米． 【变式4-3】学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（门不用栅栏，处使用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为x米． (1)的长为 米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【详解】（1）解：由题意得：米； （2）解：由题意得：， 解得：， 又∵， ∴， ∴或； (3)解：假设该实验田的面积能为240平方米， ∴， ∴， ∴， 方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 题型5 利润问题 方法技巧 设价格变化量→表示新售价、单件利润→表示变动后销量→总利润列式解方程。 【典例5-1】（2026·甘肃临夏·模拟预测）某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 【典例5-2】某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价5元或11元 【详解】解：设每件应降价元， 由题意得：， 整理得：， 解得或（均符合题意）， 答：每件应降价5元或11元． 【变式5-1】（2026·黑龙江·三模）某零售商购进一批单价为16元的玩具，以每件20元的价格销售时，每月能卖360件；销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若每件涨价1元，则销售量就减少30件．为使每月获得1920元的利润，设每件需涨价x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设每件涨价元， ∴涨价后每件售价为元，每件利润为元， ∵每件涨价1元，销售量就减少30件， ∴涨价元后，销售量为件， 结合总利润为1920元，可得方程． 【变式5-2】（2026·山西临汾·三模）某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 【变式5-3】根据以下素材，完成任务． 素材1 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔月份销售个，月份销售个． 素材2 此种头盔的进价为元个，当售价为元个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元个，则月销售量将减少个． 问题解决： (1)任务1：求该品牌头盔销售量从月份到月份的月平均增长率 (2)任务2：为使月销售利润达到元，且尽可能让利给顾客，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，由题意，得： ， 解得：，， ∵尽可能让利给顾客，∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 题型6 循环交往赛事问题（极易混淆） 方法技巧 区分口诀：有序双向乘本身，无序对半再相乘 题型类别 核心特征 等量公式 典型题干关键词 单循环（无序） 两者互动只发生1次，无先后顺序 握手、小组赛、两两通话、两两合影 双循环（有序） 两者互动双向2次，有先后、主客顺序 互发消息、互赠贺卡、主客场比赛、往返车票 培优变式考点：新增外来人员参与循环，总数量要叠加外来人数，不可直接用列式。 【典例5-1】（2026·云南昆明·模拟预测）我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵总比赛场数为21， ∴列方程得． 【典例5-2】（2024·广东清远·一模）2024年8月20日，巴黎奥运表彰大会在北京隆重举行，在庆功聚会上，每2位参与者都热情地握了一次手以表达友谊，据统计，所有人共握手79800次，设有x人参加这次聚会，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵设有人参加聚会， ∴每个人需要和除自身外的人握手， 又∵每两人之间仅握手1次，上述计算中每一次握手被重复计算了1次， ∴总握手次数为，结合题意总握手次数为次， 可得方程．故选C． 【变式5-1】（2026·广东东莞·二模）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）某次校友聚会上，所有参加聚会的校友之间都相互握手问候，据统计共握手45次，求参加聚会的校友人数． 【答案】参加聚会的有10人． 【详解】解：设参加这次聚会的校友人数为x人， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：参加聚会的有10人． 【变式5-3】（2026·河北唐山·二模）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】10 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为 场， 设比赛组织者应邀请个队参赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 比赛总场数为， 由此可得方程：， 解得 （不符合题意，舍去）， 比赛组织者应邀请10个队参赛． 题型1 变式传播问题（非1初始传染源） 方法技巧 常规题型忽略初始人数，高频易错：初始2人患病，三轮传染后共128人，方程： 核心考点：初始基数不为1，必须前置相乘，幂次对应传播轮次。 1.有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·重庆永川·期中）每年秋冬季都是流感的高发季，有3人患了流感，经过两轮传染后共有243人患流感，每轮传染平均一个人传染____________人． 【答案】8 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，则第一轮传染后，患病人数为人，第二轮传染后，患病人数为，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：每轮传染平均一个人传染8人． 故答案为：8． 3．（25-26九年级下·北京·阶段检测）在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【答案】6 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 4．（25-26九年级上·云南楚雄·期末）冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【答案】3人 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 题型2 动态几何动点面积压轴 方法技巧 题干：矩形、直角三角形边上动点，给定速度，设运动时间，用含式子表示边长，结合面积公式列方程。 分类讨论：点在线段上、点在延长线上两种情况，舍去超出线段取值范围的解，九年级期末必考压轴。 5．（2026·河南洛阳·三模）如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（     ） A．1.5 B．3 C．1.5或3 D．3或4 【答案】C 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 6．如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：， ∴，， ∴； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 综上所述，或． 7．如图，在中，，，，，垂足为．甲虫由点以的速度沿向点爬行，同时乙虫由点以的速度沿向点爬行，当乙虫到达目的地点时，甲乙两虫停止爬行． （1）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 【答案】 5 或 7 或 6+ 【详解】（1）解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q， 根据题意，得，， 当即时，点P在线段上，连接， 此时 ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得； 当即时，此时点P在线段上， ∴ ， ∵甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形， ∴， ∴， 解得；不满足范围，舍去， 综上所述，在秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形是等腰三角形． （2）设运动x秒时，甲虫所在位置为点P，乙虫所在位置为点Q，根据题意，得，， 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 解得，； 当点P在上时，此时 ， 根据题意，得， 即 ， 整理，得， 解得， 故，（时间不能为负，舍去）； 此时， 综上所述，在5秒或7秒或秒时，甲、乙两虫所在位置与点组成的三角形的面积等于． 8．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以相同的速度向点D移动，当点P到达点B时，点P、Q均停止运动，设运动时间为t秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点P和点Q的距离可能是吗？若能，求出运动时间t，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或7 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形． （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形，理由如下： 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）解：点和点的距离可以是，理由如下： 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 9．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． (1)当运动秒时，线段_______，_______（用含有的代数式表示）； (2)求当为何值时，四边形是菱形； (3)如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在上． 【答案】(1)， (2) (3)1或3 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； （3）解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在上． 题型3 双重限制利润综合题 方法技巧 题干附加限制：①总利润达标；②售价≤定价上限/销量≥最低标准 解题流程：解出方程两解→逐条核验双重条件→保留唯一合规解。 10．（2026·辽宁阜新·二模）阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件饰品商家需多付元快递费． (1)求出每件饰品的成本； (2)三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件饰品的售价． 【答案】(1)每件产品的成本为元 (2)三月份每件饰品的售价为元 【详解】（1）解：当售价为元时，线下月销量（件）， 设每件产品的成本为元， 则， 解得：，                 答：每件产品的成本为元； （2）解：设三月份每件产品的售价为元， 则线下月销量为：（件）， 则线下月利润为：（元）， 线上月利润为（元）， 可得：， 解得：或，             ， （舍去）， 答：三月份每件饰品的售价为元． 11．（2026·辽宁朝阳·二模）在篮球联赛中，辽宁男篮已经在赛场连续九胜，保持本赛季不败记录，这也激起了辽宁男篮球迷购买球队相关物品的热情．某网店直接从工厂购进辽宁队A、B两款公仔玩偶，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 A款公仔玩偶 B款公仔玩偶 进货价（元/件） 44 55 销售价（元/件） 59 67 (1)网店用1430元购进A、B两款公仔玩偶共30件，求两款公仔玩偶分别购进多少件； (2)为了回报球迷，网店打算把B款公仔玩偶调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售12件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售6件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元？ 【答案】(1)购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． (2)将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 【详解】（1）解：设购进A款公仔玩偶x件，购进B款公仔玩偶件， 由题意得：， 解得：， 则（件）； 答：购进A款公仔玩偶20件，购进B款公仔玩偶件． （2）解：设将B款公仔玩偶销售价定为每件y元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：将B款公仔玩偶销售价定为每件60元或64元时，才能使B款公仔玩偶平均每天销售利润为270元． 12．（2026·广东深圳·模拟预测）APEC会议预计于2026年11月在深圳举行，这是中国第三次担任此会议的东道主，为让学生更加了解此次会议，学校想要组织学生手工制作联名产品帆布袋，需要购入原材料帆布袋和染料．已知购入4个帆布袋和2套染料共需104元，6个帆布袋和5套染料共需196元． (1)求帆布袋与染料的单价； (2)制作1个成品帆布袋需要1个帆布袋原材料，1套染料可以制作5个帆布袋，不计其余耗材及人工成本；该成品原定售价30元，平均每周可卖出100个；若单个售价每上涨1元，每周销量减少5个．若文创中心想要每周获利1125元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)每个帆布袋单价为 16 元，每套染料单价为 20 元 (2)售价应定为 35 元 【详解】（1）解：设每个帆布袋单价为x元，每套染料单价为y元． 根据题意列二元一次方程组， 解得， 答：每个帆布袋单价为16元，每套染料单价为20元； （2）解：每套染料可制作5个帆布袋，单个帆布袋分摊染料成本（元）， 单个成品帆布袋总成本：（元）， 设单个售价上涨m元， 则由题意可列方程， 解得， 此时售价：（元）， 答：售价应定为35元． 题型4 双层等宽镶边易错模型 方法技巧 图片四周镶等宽边框，路宽为，新矩形长=原长+，新宽=原宽+，极易错写为加。 13．（25-26九年级下·重庆铜梁·自主招生）匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长，宽，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 匾额原长为 ，宽为 ，且在四周加宽度为的外框， ∴制成后的总长度为，总宽度为 ， ∵制成后的总面积为， ∴根据矩形面积公式可列方程：． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 【答案】1 【详解】解：设小路的宽度为，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：， 解得或（舍去）， ∴小路的宽度为． 15．（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过6米，且不小于2.5米．      素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知： ①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克； ②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）； ③冷库每天支出费用200元； ④草莓最多保存16天．    问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若，则种植面积为___________平方米． (2)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润总销售额收购总成本冷库总费用） (3)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ (4)请写出此次收购的草莓一次性出售的最大利润为___________元． 【答案】(1)12000 (2)符合要求 (3)在第10天出售 (4)900 【详解】（1）解：根据题意得：种植区域的纵向长度为；种植区域的横向长度为， 所以，种植面积， 当时， （平方米）． （2）解：当中间部分种植面积是，则有： 整理得：， 解得，，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 答：小路的宽为3米符合要求； （3）解：设草莓存放了天，根据题意得： ， 整理得： 解得，（超出最大保存期限，舍去） 答：在第10天出售； （4）解：设总利润为，则： ， ∵，即， ∴， ∴当时，取得最大值900． 16.根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 【答案】(1)； (2)10 (3)不能 【详解】（1）解：根据题意无盖收纳盒的底面长；底面宽； （2）解：∵无盖收纳盒的底面长；底面宽；底面积为， ∴， 解得或， ∵底面宽，即， ∴舍去， ∴， 答：裁去小正方形的边长x的值为10． （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴收纳盒的高为，，， ∵书本为，宽为，厚度为， ∴书本的最大边长大于收纳盒的最大边长， ∴书本不能完全放入该收纳盒内． 题型5 含参数一元二次方程实际应用 方法技巧 题干含字母参数，结合边长、售价正数取值范围，列不等式求解参数取值范围，适配中考填空压轴。 17．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 18．为了调节学习节奏、缓解学业压力，让学生走出校园、拓展实践课堂，开展春游、研学、劳动实践．将课堂延伸至自然与社会，促进学生的身心健康发展．安徽省各地市均把首个春假定于2026年4月1日至4月3日，与清明假期连休形成天小长假．为欢迎学生游客的到来，某景区在景点内的一块长为米，宽为米的长方形空地上布置了如图所示的牡丹、木绣球、郁金香、月季四种花卉的花圃（四块区域的宽相同，即），并将剩余部分修建成如图所示的宽度不一的通道（边缘宽度为米，中间宽度为米）． (1)若，求四块花圃的总面积； (2)为使区域能容纳更多的游客，要使通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时边缘通道的宽（即的值）； 【答案】(1)总面积为 (2)边缘通道的宽为3米 【详解】（1）解：，牡丹和月季的花圃长为，木绣球和郁金香之间的距离为， 所以四块花圃的面积总和： 当时，面积为 （2）解：由（1）得过道面积为： 整理得：，解得（舍） 答：边缘通道为3米． 19．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成A，B两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），A礼盒中有个肉松青团，B礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，A，B两种礼盒的销量分别为盒、盒，A，B两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得： 解得， ∴每个红豆青团的价格为（元）， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：由题意得，降价后，肉松青团单价为（元），红豆青团单价为（元）， 则每盒A礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒B礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 20．某江心生态岛位于城市两江交汇处，是当地最大的江心绿岛，游客可选择乘坐游船登岛，或在岛外乘坐观光车进入岛内游玩．据了解，四月份游船票价和观光车票价之比为，其中乘坐游船的人数为万人，乘坐观光车人数为万人，游船票与观光车票销售总额为万元． (1)求四月份游船票价和观光车票价每张多少元？ (2)为了庆祝五一劳动节，景区管理处决定，五月份降低游船票价和观光车票价．游船票价在四月份的基础上降低，观光车票价比四月份降低元，这样乘坐游船登岛的人数和四月一样，乘坐观光车登岛的人数比四月增加了，游船票和观光车票的销售总额比四月份销售总额减少了万元，求的值． 【答案】(1)四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； (2)． 【详解】（1）解：设四月份游船票价为元，观光车票价为元. 将单位统一为元，0.8万人人，1万人人，60万元元． 根据题意列方程得：， 解得， 因此，． 答：四月份游船票价每张50元，观光车票价每张20元； （2）解：根据题意，五月份游船票价为元，乘坐游船人数为0.8万人，观光车票价为元，乘坐观光车人数为万人，总销售额为 万元，单位统一为万元， 列方程得：， 化简得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：a的值为50． 21.每年的农历五月初五是端午节，有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．现该食品店牛角粽已售完，食品店决定对剩余的三角粽打折出售．已知按原价出售，每天售出个三角粽，每降价元，每天多售出个． (1)求牛角粽的单价； (2)求现该食品店一天售出三角粽的数量（用含的代数式表示）； (3)若现该食品店一天实际销售额为元，求． 【答案】(1)5元 (2)个 (3)5或 【详解】（1）解：设购买一个牛角粽需元，则购买一个三角粽需元， 由题意得， 解得（舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个牛角粽需元． （2）解：打折时，每个三角粽售价为元， 降价量为元， 多售出个， 总共售出个． （3）解：由（2）可列方程， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：或． 题型6 二次函数衔接培优铺垫 方法技巧 同一利润问题两组解，对比高价少销、低价多销两种方案，判断最优销售方案，衔接九下二次函数利润最值考点，提前铺垫预习。 22．综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：∵，由，得；∴代数式的最大值是7． (1)求道路的宽是多少米？ (2)设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． (3)请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 【答案】(1)6米 (2) (3)12500；250 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：道路的宽是6米； （2）解：根据题意可得， （3）解：， ， ， ∴当时，的最大值是， 此时每个车位月租金为（元）． 23．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 24．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 一、单选题 1．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 2．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 3．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 二、填空题 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    【答案】 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 5．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 三、解答题 6．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【详解】解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 7．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 8．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某款文创产品的成本价是每件20元，日销售量（件）与每件售价（元）的函数关系如图所示． (1)求与的函数表达式； (2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的售价为多少元？ 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将点和点的代入得：， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能的让利于顾客， ， 即该款文创产品每件的售价为35元． 一、单选题 1．（2026·云南西双版纳·一模）清晨，在泸沽湖升腾起的轻柔薄雾中，摩梭人摇着船，唱着山歌，带着远方的客人沉浸式体验“人在画中游”的诗情画意．图中画作描绘的正是“雾锁泸沽湖，舟行入画屏”的静谧美景．设计师要给画作四周安装上一个宽度相等的空白画框，制成一个矩形的工艺品．该工艺品的长为，宽为，中间画作的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设空白画框的宽度为，则中间画作的长为，宽为，根据题意得： ． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种草坪，要使草坪的面积为．设道路的宽为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由平移的性质可知，草坪正好是一个长方形，其长为，宽为， 则可列方程为． 3．（2026·湖南永州·二模）某文创公司的月收入逐月攀升，今年月份收入万元，经过两个月后，月份收入达到万元，设该文创公司收入的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵1月份收入为万元，月平均增长率为, ∴2月份收入为万元, ∴3月份收入为万元, 又∵已知3月份收入为万元, ∴可列方程为. 4．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 【详解】解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 6．（2026·重庆·二模）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（    ）个人患流感． A．8 B．9 C．648 D．729 【答案】D 【分析】先列方程求出每轮平均传染人数，那么第一轮后患病总人数为，第二轮新增患病人数为，根据“经过两轮传染后共有81个人患流感”，列出方程解得后再计算第三轮传染后的总患病人数． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， ， 整理得， 解得或， ∵传染人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 则第三轮传染后总患病人数为（人）． 7．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，过点作于，则， 设秒后，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∵点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动， ∴，， ， 在中，， ， 解得：，， 经过或时，、两点之间的距离是． 故答案为：A． 二、填空题 8．（2026·山西吕梁·二模）太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒元销售，一天能售出盒，销售单价每上涨元，日销售量就减少盒．要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？设销售单价为，可列方程：___________． 【答案】 【详解】解：设销售单价为元，则销售单价上涨了元， 日销售量就减少盒，每盒的利润为元， 根据销售利润销量每盒的利润， 可得：． 9．如图，在等腰中，，过点C作交于点D，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点D开始沿线段向点C以的速度移动，连接，．则P，Q两点同时出发______秒时，是等腰三角形． 【答案】或或6 【详解】解：，，， ， 设，两点同时出发秒时，是等腰三角形， 由题意得：，，且， ∴在 中，， 点在上，为中点， ， ∴在中，， 分三种情况讨论：①当时，，即 ， 解得或， ， ； ②当时，，即， 解得， ， ∴； ③当时，，即， 解得或， ， ； 综上所述，的值为或或． 三、解答题 10．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】停车场内车道的宽度为 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为． 11．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【详解】（1）解：设，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． (2)不能，理由如下： 设，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 12．（2026·湖南长沙·三模）为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 【详解】（1）解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得 解得． 答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元； （2）解：由题意，得 ， 解得，． 当或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意． 答：a的值为2或7． 13．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚． (1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率； (2)从5月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，已知徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，5月销售利润达8400元？ 【详解】（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意，可得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为． （2）设该款徽章降价元，则每枚的利润为元，月销售量为枚， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款徽章降价8元时，5月销售利润达8400元． 14．（2026·广东东莞·一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； (2)不能；理由 根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 15．如图,校园中有两面互相垂直的围墙,在美化校园的活动中,学校想借助围墙（两边足够长）,用长的篱笆围成一个小花园． 小明设计了两种方案： 方案一：如图,围成矩形花园，和需用篱笆围成； 方案二：如图,围成一个由以为直径的半圆和矩形两部分构成的花园,半圆（实线部分）和需用篱笆围成． (1)方案一围成的花园面积能否达到25？若能求出的长；若不能说明理由； (2)方案二围成的花园面积能否达到25？若能求出的长；若不能说明理由． 【详解】（1）解：设的长为． 根据题意，得，即． 解得． ∴的长为； （2）解：不能，理由如下： 设的长为． 根据题意，得, 即． ， ∴方程无实数根， ∴不能． 16．综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决 (1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． (3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 【答案】(1)， (2)符合要求，理由见解析 (3)20元 【详解】（1）解：种植园区的长为米，宽为米； （2）解：符合要求． 理由如下， ， 整理得，， 解得，，． 道路宽度不超过7米，且不小于3米， ，即道路设置的宽度符合要求； （3）解：设每平方米草莓的月利润应该下调元， ， 整理得，， 解得，，． 让客户得到实惠， 每平方米草莓的月利润应该下调20元． 17．（2026·安徽合肥·模拟预测）综合实践： “耕读园”劳动实践基地设计方案 项目主题：“耕读园”花圃设计 项目情境：为了迎接校园丰收节，同学们参与一块长为50米，宽为40米的矩形花圃设计项目．以下为项目学习小组对花圃设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形花圃两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型方案． 驱动问题一 (1)项目小组设计出来的四种方案中小路面积的大小关系？ ①直观猜想：我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 和 ． ③一般验证：若小路宽为米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 和 ． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1824平方米． 驱动问题二 (2)请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置劳动标志等元素，将在花圃靠墙（墙足够长）的位置，用篱笆围成三边，形成面积为100平方米的矩形花坛，如图所示（墙为一边，篱笆围另外三边）．设矩形垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米． 驱动问题三 (3)若篱笆总长为30米，为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长 ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示关于的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若米长的篱笆恰好用完，且存在两种不同方案（即墙作为长边或作为宽边两种围法）都可以围出面积为100平方米的矩形，并且两种方案中垂直于墙的边长（宽）之和小于15米．甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”．你认为他们俩的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)①四种方案中小路面积相等；②89平方米；89平方米；③；； (2)两条小路的宽度是米； (3)①或； ②甲，乙都错误，理由如下： 由题意得：， ∴， 设方程的两个根为，则，且， ∴， ∴，， ∴， ∴甲，乙说法都错误． 【分析】（1）①根据题意直接得出猜想； ②分别用两种不同的方法求解即可； ③分别用两种不同的方法表示即可； （2）先得出小路的面积，列出方程求解即可； （3）①分别用两种不同的方法表示即可； ②由题意得到，设方程的两个根为，则，且，求得的取值范围，可得结论． 【详解】（1）解：①我认为四种方案中小路面积相等； ②甲方案小路面积：（平方米）， 乙方案小路面积：（平方米）； ③若小路宽为米， 甲方案小路面积为：， 甲方案小路面积为：； （2）解：∵草坪面积1824平方米， ∴小路面积为：（平方米）， ∴， 解得：， ∴两条小路的宽度是米； （3）解：①方法1： ∵面积为100平方米， ∴， ∴； 方法2：∵篱笆总长为30米，宽，长， ∴， ∴； ②略 18．如图，在直角梯形中，，，，．点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t． (1)求的长； (2)当四边形为平行四边形时，求四边形的周长； (3)在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2) (3)存在，满足条件的的值为秒或秒 【详解】（1）解：如图，过点作于， ，， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ∴根据勾股定理得，， ； （2）解：当四边形是平行四边形， 则点在上，点在上， 如图， 由运动知，，， ， ， 此时，，，根据勾股定理得，； 四边形的周长为； （3）解：①当点在线段上时，即：时， 如图， ， ； ②当点在线段上时，即：时， 如图， ，， ， 或（舍）， 即：满足条件的的值为秒或秒． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $