暑假培优：平行线的性质与三角板的角度计算、平行线中的材料阅读类问题专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以平行线性质为核心，通过三角板动态变换与材料阅读问题，系统构建"静态性质-动态探究-实际应用"的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线与三角板角度计算|3例+3变式（含苏、粤、陕等地期中真题）|辅助线添加（作平行线）、旋转角度公式推导、多解临界状态分析|以三角板固定角为基础，通过平移/旋转构建动态角度关系，从特例感知到一般规律猜想| |平行线材料阅读问题|3例+3变式（含晋、桂、赣等地期中/期末真题）|信息提取转化、模型抽象（如凹透镜折射→平行线角度模型）、辅助线构造|结合实际情境（弹弓/光学实验），将文字信息转化为几何图形，应用平行线性质解决复杂角度问题|

暑假培优：平行线的性质与三角板的角度计算、平行线中的材料阅读类问题专项训练 暑假培优：平行线的性质与三角板的角度计算、平行线中的材料阅读类问题专项训练 考点目录 平行线的性质与三角板的角度计算 平行线中的材料阅读类问题 考点一 平行线的性质与三角板的角度计算 例1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么； 【拓展探究】 (1)如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，的度数为 ； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 (2)如图3，在图1基础上，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，试探究：在旋转的过程中，当三角板的一条边与三角板的一条边平行时，请直接写出符合条件的的值． 例2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【问题背景】 综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动． 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，． 【探索发现】 (1)如图2，老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则__________．（填写度数） (2)如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线，上，且使直角顶点与重合（以下称为点），求的度数； 【迁移运用】 (3)如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系； 【拓展创新】 (4)在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒（）． ①固定三角板的位置不变，三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），当__________时，与三角板的某条边平行； ②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）【问题情境】 在数学综合与实践课上，小滨和小波借助“两条平行线和直角三角尺”开展数学活动． 素材提供：三角板与三角板，其中，，， (1)【操作发现】 如图，小滨把三角板的顶点放在直线上，若，则_________． (2)【实践探究】 小滨和小波将三角板与三角板按如图所示摆放，点在直线上，点在直线上，小滨将三角板向左平移．在三角板向左平移过程中（初始状态三点共线），连接，记，．当点在右侧时，试探究与的数量关系． (3)【思维拓展】 小滨和小波一起将两块三角板旋转，如图，小滨将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的的值． 变式1．（25-26七年级下·四川成都·期中）成都市石室联合中学某数学兴趣小组的同学用一副三角板和两条平行线进行如下探究：三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，点落在三角板的边上． (1)求图1中的度数； (2)如图2，若三角板在原位置固定不动，将三角板沿着直线向右平移，线段、交于点，当点落在三角板的边上时停止运动，求证：； (3)在图2基础上，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点同时以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，且，当与平行时，请直接写出的值． 变式2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）【问题情境】 在数学实践课上，老师给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图放置，其中在直线上． (1)如图， °． (2)【操作探究】如图，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分，平分 ， °； (3)【操作探究】如图，在图基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与PM重合时，两三角板都停止转动在旋转过程中，当PC、、三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间； (4)【拓广探究】如图，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数 °． 变式3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1，将两块直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放，示意图2中点、、三点共线． (1)若将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当与重合时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当时，请求出的值． (2)若将三角板绕点顺时针旋转，且，三角板保持不动． ①在三角板旋转的过程中，当三角板的边垂直于三角板的斜边，请求出的度数． ②如图3，射线和射线分别是与的角平分线，在三角板旋转的过程中，当三角板的斜边与三角板的边平行时，直接写出与两角平分线的夹角的度数． 考点二 平行线中的材料阅读类问题 例1．（25-26七年级下·山西临汾·月考）综合与探究 问题情境：如图1是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋形成的平面示意图如图2所示，弹弓的两边可近似看成是平行的，即．各活动小组探究与，之间的数量关系．智慧小组得到． （1）请你帮智慧小组完成其证明过程． 实践探究：（2）善思小组受此问题的启发，在图3中继续探究角度关系，请你帮助善思小组完成以下问题： ①尺规作图：过点作直线的平行线．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ②设，，，请探究，，之间的数量关系． 拓广探究：（3）如图4，，，分别平分，．若，请直接写出的度数． 例2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： (1)探究一：在图①中，试猜想，和之间存在什么数量关系，并说明理由． (2)探究二：在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)探究三：在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，请直接写出的度数． 例3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 变式1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）添加辅助线在解决平行线相关问题时，起到了桥梁作用，它能够帮助我们构建新的几何关系，揭示隐藏的角度、线段或平行性，从而简化复杂问题，引导我们找到解决问题的关键路径．我们常见的辅助线添加方法有：构造与已知平行线平行的新线，利用平行线性质得出新的关系；又或者延长线段至相交，形成新的三角形，便于应用学过的定理．请利用辅助线完成以下问题的探究： (1)【探究1】如图所示，，与相交于点，是的平分线． 若，，则_________． 若，，求． (2)【探究2】已知：，试求的度数． (3)【探究3】利用探究1、探究2的结论，解答下面的问题： 如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，求．（用含有、的代数式表示）． 变式2．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作， ． ，， ， ． ． ． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 变式3．（25-26七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： (1)如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作， ， ， ， ． 运用猜想： (2)如图2，已知，请直接写出的度数； 拓展探究： (3)已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，若，求度数．（用含n的代数式表示） 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：平行线的性质与三角板的角度计算、平行线中的材料阅读类问题专项训练 暑假培优：平行线的性质与三角板的角度计算、平行线中的材料阅读类问题专项训练 考点目录 平行线的性质与三角板的角度计算 平行线中的材料阅读类问题 考点一 平行线的性质与三角板的角度计算 例1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么； 【拓展探究】 (1)如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，的度数为 ； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 (2)如图3，在图1基础上，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，试探究：在旋转的过程中，当三角板的一条边与三角板的一条边平行时，请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)①；②或，理由见解析 (2)的值为9或12或21或27或30． 【分析】（1）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （2）分五种情况讨论，逐一解答即可． 【详解】（1）解：①当时， ； ②当时，如图， ； 当时，如图， ， 综上，或； （2）解：当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 综上，的值为9或12或21或27或30． 例2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【问题背景】 综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动． 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，． 【探索发现】 (1)如图2，老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则__________．（填写度数） (2)如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线，上，且使直角顶点与重合（以下称为点），求的度数； 【迁移运用】 (3)如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系； 【拓展创新】 (4)在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒（）． ①固定三角板的位置不变，三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），当__________时，与三角板的某条边平行； ②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值． 【答案】(1) (2) (3) (4)①秒或27秒或36秒；②的值为8秒或17秒或23秒或32秒 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过点作，得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可； （3）由，得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （4）①根据题意分情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可； ②根据题意分情况讨论，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ； （3）解：如图，延长，交于点，交于点， ， ， 由题意得，，， ， ， ， ， ； （4）①解：如图，当时， ， ， ； 如图，当时， ， ， ； 当时，此时正好旋转了半周， ， 符合条件的值为9秒或27秒或36秒； ②解：如图，当平分，且时， 则，，，，， ， 平分， ， ， 解得， 符合条件的值为8秒． 如图，当平分时， ， ， ，， 平分， ， ， 解得， 符合条件的值为17秒． 如图，当平分时， 则，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得， 符合条件的值为23秒， 如图，当平分，且时， ， 平分， ， ， 解得 综上所述，符合条件的值为8秒或17秒或23秒或32秒． 例3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）【问题情境】 在数学综合与实践课上，小滨和小波借助“两条平行线和直角三角尺”开展数学活动． 素材提供：三角板与三角板，其中，，， (1)【操作发现】 如图，小滨把三角板的顶点放在直线上，若，则_________． (2)【实践探究】 小滨和小波将三角板与三角板按如图所示摆放，点在直线上，点在直线上，小滨将三角板向左平移．在三角板向左平移过程中（初始状态三点共线），连接，记，．当点在右侧时，试探究与的数量关系． (3)【思维拓展】 小滨和小波一起将两块三角板旋转，如图，小滨将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（）由图可得，根据平行线的性质列出方程解答即可求解； （）延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； （）分且在的上方、、和且在的下方四种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当且在的上方时，延长交于点，交于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，延长交于，交于点，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得； ③当时，作直线分别交于点，如图， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得； ④当且在的下方时，延长交于点，设交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，若边与三角板的一条边平行时，的值为或或或． 变式1．（25-26七年级下·四川成都·期中）成都市石室联合中学某数学兴趣小组的同学用一副三角板和两条平行线进行如下探究：三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，点落在三角板的边上． (1)求图1中的度数； (2)如图2，若三角板在原位置固定不动，将三角板沿着直线向右平移，线段、交于点，当点落在三角板的边上时停止运动，求证：； (3)在图2基础上，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点同时以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，且，当与平行时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)当与平行时，或 【分析】（1）过点D作，则，即可得到，，最后根据计算即可； （2）过点D作，过点作，根据拐点模型得到，，即可得到； （3）根据，，分情况讨论，分别画出图形，再根据与平行列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点D作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由三角板可得，，，， 如图，过点D作，过点作， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：当时，如图所示，此时与相交，不可能平行； 当时，如图所示，此时直线与交于点， 此时，， 由（1）中图形同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示，此时直线与交于点， 此时，， 由（1）中图形同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当与平行时，或． 变式2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）【问题情境】 在数学实践课上，老师给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图放置，其中在直线上． (1)如图， °． (2)【操作探究】如图，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分，平分 ， °； (3)【操作探究】如图，在图基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与PM重合时，两三角板都停止转动在旋转过程中，当PC、、三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间； (4)【拓广探究】如图，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数 °． 【答案】(1) (2) (3)旋转时间为15秒或秒 (4)或 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，旋转的性质，轴对称图形的性质，平行线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）可求出，再由平角的定义可得答案； （2）由角平分线的定义得到，设，则，，则可得到，求出即可得到答案； （3）分①当平分时， ②当平分时， ③当平分时，三种情况分别建立方程求解即可； （4）分图①和图②两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分∠ ∴， 设， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角， ∵当转到与重合时，两三角板都停止转动， ∴秒， 分三种情况讨论： ①当平分时，根据题意可列方程， 解得，，符合题意； ②当平分时，根据题意可列方程， 解得，，符合题意； ③当平分时，根据题意可列方程， 解得，，不符合题意舍去， 所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角； （4）解：如图①， ∵与关于对称， ∴， 若，则， ∴ ， ∴， ∴旋转角度数为：； ②如图②， 若，则 ∴ ∴旋转角度数为：； 综上，当时，旋转角的度数为或． 变式3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1，将两块直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放，示意图2中点、、三点共线． (1)若将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当与重合时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，当时，请求出的值． (2)若将三角板绕点顺时针旋转，且，三角板保持不动． ①在三角板旋转的过程中，当三角板的边垂直于三角板的斜边，请求出的度数． ②如图3，射线和射线分别是与的角平分线，在三角板旋转的过程中，当三角板的斜边与三角板的边平行时，直接写出与两角平分线的夹角的度数． 【答案】(1)或 (2)①、或;②的度数为或 【分析】本题考查了三角形的旋转，线段平行的性质和判定，一元一次方程和角平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）需要分情况讨论，画出对应的示意图，列出一元一次方程即可求解； （2）①需要分三种情况讨论，根据垂直的判定和性质，然后即可求解； ②需要分三种情况讨论，根据平行的判定和性质，然后即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：，解得：， 即当秒与重合时停止旋转， 当时，需要分两种情况： 第一种情况，如图：， 即， 解得：； 第二种情况，如图：，，解得：； 综上所述：当或时，； （2） 解：①作，如图：， ∴， 由题可得：， ∴， ∴， 第一种情况，当时，即令， ∴， ∵， ∴， ∵目前为，使得，需要令绕点顺时针旋转， 即三角板绕点顺时针旋转时，； 第二种情况，当时，即和重合， ∵， ∴三角板绕点顺时针旋转时，； 第三种情况，当时，即和重合， ∵，， ∴， ∴三角板绕点顺时针旋转时，； 综上所述，当三角板的边垂直于三角板的斜边时，、或； ②第一种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合，和重合， ∴， ∴； 第三种情况，当三角板绕点顺时针旋转时，即和重合，和重合， ∴， ∴； 综上所述，当三角板的斜边与三角板的边平行时，的度数为或； 考点二 平行线中的材料阅读类问题 例1．（25-26七年级下·山西临汾·月考）综合与探究 问题情境：如图1是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋形成的平面示意图如图2所示，弹弓的两边可近似看成是平行的，即．各活动小组探究与，之间的数量关系．智慧小组得到． （1）请你帮智慧小组完成其证明过程． 实践探究：（2）善思小组受此问题的启发，在图3中继续探究角度关系，请你帮助善思小组完成以下问题： ①尺规作图：过点作直线的平行线．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） ②设，，，请探究，，之间的数量关系． 拓广探究：（3）如图4，，，分别平分，．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3） 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线有关的计算，作一个角等于已知角，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．过拐点作平行线是解决此类问题的技巧． （1）作，则，根据平行线的性质得出，，即可证明； （2）① 根据作一个角等于已知角的方法作，根据同位角相等，两直线平行，可得；②根据平行线的性质得出，，进而即可求解； （3）过点P作，过点F作，则，，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图，作， 则， ，， ， ， ， ． （2）解：①如图，直线即为所求； ②如图： ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：过点P作，过点F作，如图所示： ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26七年级下·广西南宁·期中）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： (1)探究一：在图①中，试猜想，和之间存在什么数量关系，并说明理由． (2)探究二：在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． (3)探究三：在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先得到，设，可得，由于，可证，然后可求的度数； （3）过点P作，设，则，可得，设，得到，则，然后，由平行可得，最后求得，代入求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点P作，如图①， 则， ，， ∴， ∴． （2）解：过点P作，如图②所示： ∵平分，， ∴， ∵平分， ∴设， 由（1）得：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点P作，如图③所示： 设，则， ∴， 由对顶角相等得：， 设， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴，即， 由条件可知， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 例3．（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点作，首先得到，设，可得，由于，可证，然后可求的度数； （3）过点作，设，则，可得，设，得到，则，然后，由于平行的可得，最后求得，代入求解即可． 【详解】（1），   理由如下：过点作，如图①， ， ，， ， ．   （2）过点作，如图②所示： 平分，， ， 平分， 设， 由（1）得：， ， 即， ，， ， ，， ， ；    （3）过点作，如图③所示： ， 设，则， ， 由对顶角相等得：， 设， ， ， ， 由（1）得：， ， 即， ，， ， ，， ， ， ， 解得： ． 变式1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）添加辅助线在解决平行线相关问题时，起到了桥梁作用，它能够帮助我们构建新的几何关系，揭示隐藏的角度、线段或平行性，从而简化复杂问题，引导我们找到解决问题的关键路径．我们常见的辅助线添加方法有：构造与已知平行线平行的新线，利用平行线性质得出新的关系；又或者延长线段至相交，形成新的三角形，便于应用学过的定理．请利用辅助线完成以下问题的探究： (1)【探究1】如图所示，，与相交于点，是的平分线． 若，，则_________． 若，，求． (2)【探究2】已知：，试求的度数． (3)【探究3】利用探究1、探究2的结论，解答下面的问题： 如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，求．（用含有、的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）作，则，由平行线的性质可得，，再由对顶角的性质、角平分线的定义即可求解； （2）作，，，先根据证明，再由证明，由证明，进而可证，再由得出即可求解； （3）作，，，则，根据平行线的性质证明，，，进而可证，由角平分线的定义可得，，进而可得，，再由，，可得，即． 【详解】（1）解：如图，作， ，， ， ，， ， ， ， ， 是的平分线， ， 故答案为：； 如图，同作， ，， ， ，， ， ， ， ， 是的平分线， ； （2）解：如图，作，，， ， ， ，， ， ， ； ， ，， ， 同理，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 变式2．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作， ． ，， ， ． ． ． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【答案】探究二：，见解析；探究三：；探究四：图形见解析；思维拓展： 【分析】本题考查平行线的判定与性质； 探究二：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究三：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究四：根据探究三的结果反方向画图即可； 探究三：过点、分别作作的平行线，根据探究的结果求解即可． 【详解】解：探究二：，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究三: ，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究四: 若，如图点符合条件， 思维拓展: ，证明如下： 过点作，点作，如图， ．， ∵， ， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式3．（25-26七年级下·广西玉林·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： (1)如图1，已知点A是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作， ， ， ， ． 运用猜想： (2)如图2，已知，请直接写出的度数； 拓展探究： (3)已知，点A、B在上，C、D在上，且点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在直线与之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，求的度数． ②如图4，点B在点A的右侧，若，求度数．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)360度 (3)①45度；② 【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”可得结果； （2）过作，利用“两直线平行，同旁内角互补”可以求得结果； （3）①过作，利用角平分线的概念求得，，再利用“两直线平行，内错角相等”导角即可；②过作，利用角平分线的概念求得，，再利用平行线的性质求角即可． 【详解】（1）解：， ，（两直线平行，内错角相等）； ， ； （2）过作， ， ， ， ， ， ， ； （3）①过作， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ； ②如图，过作， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $