专题22 指数函数 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题22 指数函数 一、知识梳理 1. 指数函数的定义 一般地，形如且a≠1,x∈R)的函数叫作指数函数，其中x是自变量，y是因变量。 注：（1）指数函数的底数a必须满足a＞0且a≠1 （2）指数函数的解析式必须满足：的系数是1；a的指数是单项式x 2. 指数函数的图象与性质 指数函数且a≠1)的图象与性质见表 底数 图象 性质 定义域 ①R ②R 值域 ③(0,+∞) ④(0,+∞) 定点 图象都过定点⑤(0,1) 图象都过定点⑥(0,1) 单调性 在R上单调⑦递减 在R上单调⑧递增 函数值的变化 时，时， 时，时 二、题型精练 题型1 指数函数的概念 【典例1】．下列函数中，是指数函数的是（ ） A. B. C. D. 题型2 指数函数的图象 【典例1】．在直角坐标系中，若0<a<1，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 题型3 指数函数的性质 【典例1】．指数函数经过点（2,16)，则a的值是 ( ) A. B. C.2 D.4 【典例2】．若a>1，则函数的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 三、知识检测 1. 已知函数，则下列结论正确的是 ( ) A.当x<0时，f(x)<1 B.当时， C.当x>0时，f(x)>1 D.当时， 2. 若，则等于 ( ) A. B.2 C. D .-2 3. 函数 ( ) A.{x|x≠1} B.{x|x>-1} C.{x|x>1} D.{x|x>-1且x≠1} 4. 函数在[-1,0]上的最大值与最小值之差为 ( ) A.-3 B.3 C.2 D.-2 5. 若指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ( ) A. B. D. 6. 若，则实数m的取值范围是 ( ) A. B.m<0 C.0<m 7. 若函数是指数函数，则实数a的取值范围是（ ） A.a>0，且a≠2 B.a≥0，且a≠2 C.a>1，且a≠2 D.a≥1 8. 函数是指数函数，则有 ( ) A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且a≠1 9. 若指数函数的图象过点（3,8)，则的解析式为 ( ) A. B. C. D. 10. 设指数函数 ( ) A.在区间(-∞,+∞)内为增函数 B.在区间(-∞,+∞)内为减函数 C.在区间(-∞,0)内为增函数 D.在区间(0,+∞)内为增函数 11. 若，则实数a的取值范围是 12. 已知a,b∈R，则的充要条件是 13. 若点关于原点对称的点为，则m= ,n= 14. 函数的定义域是 ，值域是 . 15. （填“＞”“＜”“=”） 16. 若，则a的取值范围是 17. 求不等式的解集. 18若x满足，求x的取值范围. 19. 设a>1，函数在区间［1,2］上的最大值和最小值之差为2，求实数a的值 20. 求函数的定义域. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 指数函数 一、知识梳理 1. 指数函数的定义 一般地，形如且a≠1,x∈R)的函数叫作指数函数，其中x是自变量，y是因变量。 注：（1）指数函数的底数a必须满足a＞0且a≠1 （2）指数函数的解析式必须满足：的系数是1；a的指数是单项式x 2. 指数函数的图象与性质 指数函数且a≠1)的图象与性质见表 底数 图象 性质 定义域 ①R ②R 值域 ③(0,+∞) ④(0,+∞) 定点 图象都过定点⑤(0,1) 图象都过定点⑥(0,1) 单调性 在R上单调⑦递减 在R上单调⑧递增 函数值的变化 时，时， 时，时 二、题型精练 题型1 指数函数的概念 【典例1】．下列函数中，是指数函数的是（ ） A. B. C. D. 答案： D 分析： 指数函数的定义：形如 （，）的函数，且自变量  在指数位置，系数为 1。 详解： A. ，系数为 2，不是标准指数函数 ❌ B. ，系数为 ，不是标准指数函数 ❌ C. ，系数为 2，不是标准指数函数 ❌ D. ，底数  且 ，系数为 1，符合定义 ✅ 题型2 指数函数的图象 【典例1】．在直角坐标系中，若0<a<1，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 答案：A 分析：已知 ，则 。 函数  是指数函数，底数 ，所以图象是单调递增的，且过定点 。 · 当  时，； · 当  时，（但大于 0）。 图象形状：从左下向右上延伸，经过点 ，在  轴上方。 详解： 已知 ，则 。 函数  是指数函数，底数 ，所以图象是单调递增的，且过定点 。 · 当  时，； · 当  时，（但大于 0）。 图象形状：从左下向右上延伸，经过点 ，在  轴上方。 题型3 指数函数的性质 【典例1】．指数函数经过点（2,16)，则a的值是 ( ) A. B. C.2 D.4 答案：D 分析： 函数  经过点 ，代入得 ，且 ，所以 。 详解： 【典例2】．若a>1，则函数的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B 分析： 函数  是指数函数 （）向下平移 3 个单位。 原函数  过点 ，单调递增，经过第一、二象限。 向下平移 3 个单位后，过点 ，图象整体下移，仍经过第一、三、四象限，不经过第二象限。 详解： · 当  时，，在  轴负半轴。 · 当  时，，所以 ，在第三象限。 · 当  时，，，可能为正或负，因此经过第一、四象限。 · 第二象限要求  且 ，但  时 ，不可能为正。 因此图象不经过第二象限，选 B。 三、知识检测 1. 已知函数，则下列结论正确的是 ( ) A.当x<0时，f(x)<1 B.当时， C.当x>0时，f(x)>1 D.当时， 答案： B 分析：  是底数为 （）的指数函数，在  上单调递减。 详解： A. 当  时，如 ，，所以  错误 ❌ B. 函数单调递减，所以  ✅ C. 当  时，如 ，，所以  错误 ❌ D. 与 B 相反，错误 ❌ 2. 若，则等于 ( ) A. B.2 C. D .-2 答案：B 分析： 代入 ，利用指数幂运算 。 详解： 3. 函数 ( ) A.{x|x≠1} B.{x|x>-1} C.{x|x>1} D.{x|x>-1且x≠1} 答案：D 分析： 函数  需满足： 1. 分母  有意义且不为零 ⇒  2. 分子中  无意义，所以  要求  详解： 因此选 D。 4. 函数在[-1,0]上的最大值与最小值之差为 ( ) A.-3 B.3 C.2 D.-2 答案：C 分析： 函数  在  上单调递减。 在区间  上，最大值在左端点  处取得，最小值在右端点  处取得。 详解： 差值： 5. 若指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 ( ) A. B. D. 答案：A 分析： 指数函数  在  上单调递减，需底数满足 。 详解： 先解右边： 再解左边： 所以： 6. 若，则实数m的取值范围是 ( ) A. B.m<0 C.0<m 答案：A 分析： 比较指数幂大小，需考虑底数  的正负、是否为 0 或 1。 设 ，则不等式为： 详解： 当  时，指数越大值越大，所以 ，不满足。 当  时，两边相等，不满足。 当  时，指数越大值越小，所以 ，满足。 当  时，，，相等，不满足。 当  时，偶次根（如 ）无意义（实数范围内），不成立。 所以需 ，即： 7. 若函数是指数函数，则实数a的取值范围是（ ） A.a>0，且a≠2 B.a≥0，且a≠2 C.a>1，且a≠2 D.a≥1 答案：C 分析： 指数函数  要求底数  且 。 这里 ，所以： 详解： 8. 函数是指数函数，则有 ( ) A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且a≠1 答案：C 分析： 指数函数定义要求  中系数为 1，且底数 ，。 这里 ，要使它成为指数函数，需系数 ，且 ，。 详解： 得  或 。 但  时底数 ，指数函数要求底数 ，故舍去。 所以 。 9. 若指数函数的图象过点（3,8)，则的解析式为 ( ) A. B. C. D. 答案：B 分析： 设指数函数为 （，），代入点  得 ，所以 。 详解： 所以： 10. 设指数函数 ( ) A.在区间(-∞,+∞)内为增函数 B.在区间(-∞,+∞)内为减函数 C.在区间(-∞,0)内为增函数 D.在区间(0,+∞)内为增函数 答案：B 分析： 指数函数  的底数为 ，满足 ，因此函数在  上单调递减。 详解： · 底数  ⇒ 函数在  上单调递减。 · 所以 A、C、D 均错误，B 正确。 11. 若，则实数a的取值范围是 答案： 分析： 底数 ，指数函数  单调递减，因此不等式方向会反转。 详解： 因为底数小于 1，函数递减，所以： 12. 已知a,b∈R，则的充要条件是 答案：  的充要条件是 。 分析： 指数函数  在  上单调递增，因此 。 详解： 因为底数 2 > 1，函数  是增函数，所以： 因此充要条件是 。 13. 若点关于原点对称的点为，则m= ,n= 答案：，。 分析： 点  关于原点对称的点为 。 关于原点对称的点坐标互为相反数，所以： 详解： 因此 ，。 14. 函数的定义域是 ，值域是 . 答案： 定义域为 ，值域为 。 分析： 函数  是指数函数，定义域为全体实数，值域为正实数。 详解： · 定义域：（指数函数的自变量可取任意实数）。 · 值域：（指数函数恒大于 0）。 15. （填“＞”“＜”“=”） 答案： 分析： 底数 ，指数函数  在  上单调递增。 因为 ，所以 。 详解： 底数大于 1，指数越大函数值越大，因此填 。 16. 若，则a的取值范围是 答案： 分析： 设 ，不等式为： 需考虑  的取值范围，特别是  必须使  有意义，即 。 详解： 由  有意义，得 。 若 ，则两边都为 0，不满足大于。 若 ，比较  与 ： · 当  时，指数越大值越小，所以  成立。 · 当  时，两边相等，不成立。 · 当  时，指数越大值越大，所以 ，不成立。 所以需 ，即： 17. 求不等式的解集. 答案：解集为 。 分析： 将两边化为同底数幂，再利用指数函数的单调性比较指数。 详解： 原不等式变为： 因为底数 ，指数函数单调递增，所以： 因此解集为 。 18若x满足，求x的取值范围. 答案： ，即 。 分析： 将两边化为同底数幂，再利用指数函数单调性。 详解： 所以： 底数 3 > 1，函数单调递增，比较指数： 19. 设a>1，函数在区间［1,2］上的最大值和最小值之差为2，求实数a的值 答案：。 分析： 由于 ，函数  在  上单调递增，因此在区间  上，最小值在  处取得，最大值在  处取得。 详解： 最大值与最小值之差为： 由题意： 得  或 ，又 ，所以 。 20. 求函数的定义域. 答案： 定义域为 。 分析： 函数  需满足： 1. 分母不为零：； 2. 根号内非负且不为零：。 详解： 因为底数 ，指数函数单调递减，所以： 因此定义域为 。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $