专题21 实数指数 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 专题21实数指数 一、知识梳理 1、整数指数 (1)n次幂的概念 一般地，an∈N）称为a的n次幂，a称为幂的底数，n称为幂的指数.并且规定 a'=a.在上述定义中，n是正整数，所以这样的幂称为正整数指数幂」 (2)正整数指数幂的运算满足法则 1)a"a"=am*n, D(a 3)am =am-n(m>0,a≠0)】 4(ab)"=a"b" (3)正整数指数幂推广到整数指数幂 规定：a-1la0:a产诗a0.neN) 由上面规定的零指数幂和负整数指数幂的意义，我们就把正整数指数幂推广到整数指 数幂，并且正整数指数幂的运算法则，对整数指数幂运算仍然成立： 2、分数指数 (1)n次方根的定义 如果x”=a(n>1,n∈)，则x称为a的n次方根 (2)n次方根的个数 1)正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，表示为Vā，-Vā；负数的偶次方根没有 意义. 2)正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，表示为ā. 11 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3)0的任何次方根都是0，记作0=0. (3)n次算术根 正数a的正n次方根称为a的n次算术根 (4)根式 当a有意义的时候，后称为根式，n称为根指数根式具有性质： (a=a; 2》音0为奇数时，SG-a:当m为藏时，G=a-(200 (5)将整数指数幂推广到正分数指数幂 当a0时，定义：a=a °=(ar(n,m∈N,且丹为即约分数) m (6)将整数指数幂推广到有理数指数幂 m 1)当a>0时，定义：a”=1 m n,m∈N,且m为既约分数). Q n 2)实数指数幂的运算法则 a"ab-a"-B;(a")B-a;(ab)"-a"b". 其中a心>0，b>0,a,B为任意实数. 二、题型精练 题型1求n次方根 【典例1】，(1)16的平方根为，27的5次方根为 (2)已知x=6,则x= (3)若x-2有意义，则实数x的取值范围是 22 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 答案： (1)16的平方根为±4，-27的5次方根为-27。 (2)若x=6,则x=V6。 (3)若x-2有意义，则x≥2。 分析： (1)平方根有两个，5次方根是奇次根，负数有实数根。 (2)开7次方，奇次根。 (3)偶次根号内需非负。 详解： ()16的平方根：±√16=±4。 -27的5次方根：-27=-27。 (2)x=6→x=76(唯一实数根)。 (3)x-2有意义需x-2≥0→x≥2。 【典例2】.有下列说法：①-27=3； ②16的4次方根是±2： ③81=±3； ④(x+y2=x+yI ⑤若x<2,则x-28+(x-23=2-2. 其中正确的是 (填正确说法的序号) 答案： 正确的是②④⑤。 分析： 逐个判断每个说法的正确性，注意偶次根式取算术根，奇次根式可正可负，根式化简 33 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职·精品 A职教 JP.ZXX K COM jiao.xkw.com 后需考虑绝对值。 详解： $$\textcircled 1 \sqrt [ 3 ] { - 2 7 } = - 3 ，$$ 不是3， ②16的4次方根为 $$\pm \sqrt [ 4 ] 1 6 = \pm 2 ， \square$$ $$\textcircled 3 \sqrt [ 4 ] { 8 1 } = 3 \left( \sqrt [ 4 ] { 8 1 }$$ 表示算术根，取正值)，不是 ±3， × $$\sqrt [ n ] \left( x + y \right) ^ { 2 } = | x + y | ， 且$$ ⑤若 x<2， $$\sqrt [ 8 ] \left( x - 2 \right) ^ { 8 } = | x - 2 | = 2 - x \left( \sqrt [ 3 ] { x - \sqrt [ 3 ] { 2 } } \right) ^ { 3 } = x - \sqrt [ 0 ] 2$$ 相加得： $$\left( 2 - x \right) + \left( x - \sqrt [ 0 ] { 2 } \right) = 2 - \sqrt [ 0 ] 2$$ 因此正确的是②④⑤。 题型2分数指数幂与根式的互化 【典例1】.将下列各分数指数幂写成根式的形式： $$\left( 1 \right) a ^ { \frac { 2 } { 5 } } ； \left( 2 \right) a ^ { - \frac { 3 } { 2 } } ； \left( 3 \right) a ^ { \frac { 3 } { 5 } }$$ 答案： $$\left( 1 \right) a ^ { \frac { 2 } { 5 } } = \sqrt [ 5 ] { a ^ { 2 } }$$ $$\left( 2 \right) a ^ { - \frac { 3 } { 2 } } = \frac { 1 } { \sqrt [ 0 ] { a } }$$ $$\frac { 1 } { a ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right)$$ $$\left( 3 \right) a ^ { \frac { 3 } { 5 } } = \sqrt [ 5 ] { a ^ { 3 } }$$ 分析： 分数指数幂与根式的互化规则： $$a ^ { \frac { m } { n } } = \sqrt [ n ] { a ^ { n } } \left( a > 0 ， n \in { N ^ { * } } \right)$$ 44 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究! 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 负指数表示倒数： ak-1 详解： (a-d a a-d 【典例2】·将下列各根式写成分数指数幂的形式： (1)8;2)a;(3)写a￥0) 答案： @g6 ②a=a 1 =a5(a≠0) 分析： 根式化分数指数幂的规则： 分母在根号内时，可用负指数表示倒数。 55 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型3利用根式的性质化简求值 【典例1】.化简下列各式 (4)-2℉+(-25：(2)-25+(2； 答案： (1)-4 (2)4 分析： 奇次根式可开负数，偶次根式先取绝对值再运算。 注意 a与(Va” 的区别。 详解： (①)-25=-2，-25=-2，所以： -2+(-2)=-4 (2-25=-2=2,(2)5=2,所以： 2+2=4 【典例2】·化简下列各式 x+2 答案：[x+24=|x+2|。 分析： 偶次根式开方后取绝对值，因为Va”=|a|(当n为偶数时)。 详解： x+2=|x+2| (当x≥-2时为X+2,当X<-2时为-x-2) 题型4指数幂的运算 66 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例1】，计算下列各式 (10(3迈2亚)3迈 答案： (1)2916 (2)1 分析： 利用幂的运算性质：am”=am）,am,a”=am+n,以及分数指数幂与根式的互化。 详解： (①) 3吃.25 先化简括号内： 次29 所以原式： 132 32.23 =3232.23 5=3,2=729×4=2916 (2) -1 因为 3 35 ,所以： 3 代入原式： 77 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3× 指数相加： 2.1.5- 83 =0 3412121212 因此： =1 【典例2】·计算下列各式 写029 48 答案：结果为103 分析： 将带分数化为假分数，并利用分数指数幂的运算法则计算。 详解： 11 -4 2 50.12= 1 =10=100 3 64 42-16 原式： 5 9,37 +100+ 1648 通分48： 80,4800,22+37=80+4800+27+37_494=103 484848'48 48 48 88 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 三、知识检测 1.-8的值是（) A.2 B.-2 C.±2 D.-8 答案：B 分析： 奇次根式下负数可开奇次方根，8=-8=-2。 详解： -8=-2=-2 2.下列运算正确的是() A.a2.a3=a5 B.(3a3=9a3 C.Va-a D.(-2a23=-8a6 答案：D 分析： 逐个运用幂的运算法则判断。 详解： Aa2a3=a2+3=a,不是aX B.3a3=33.a3=27a3,不是9a3X C.a=|a|,不是a(当a为负时不成立)义 D.-2a2)3=(-2)3.(a23=-8a6☑ 3.把根式aVa化成分数指数幂是（) A(-a月 99 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com B.1如 C.q 答案：D 分析： 根式a√a可写为 11+13 a·a2=a2=a2。 注意a≥0，因为根号下非负。 详解： aYa-ad-ai 4.已知x=6,则x等于 () A..6 B.6 C.-6 D.±6 答案：B 分析： x=6,两边开5次方（奇次根），得x=6。 因为5是奇数，所以实数范围内只有一个解（正数开奇次方仍为正）。 详解： x=6 3 5.42可化为 () A.8 8 c哈 D2 答案：C 1010 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 分析： 42=2=2-月 3 8 3 详解，4 1 111 3 42 V4238 6.化简[(-32]的结果是 13 3 B.V3 3 C.- D.-3 3 答案：A 分析： 先算内层：3}=3，再算32==3。 详解： 3=337=1=3 V33 7.xx的值等于() A.x B.x2 C.x3 D.x5 答案：C 分析： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：X·x2=x+2=x2。 详解： xx2=x2+2=x2 8.（-3°的值等于() A.-3 B.0 C.1 D.3 答案：C 1111 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 分析： 任何非零实数的零次幂等于1。 详解： -3)°=1 9.(兮的值等于() A.-81 D.81 答案：D 分析： 负指数表示倒数： 3 =34=81。 详解： -4 =34=81 10.16的四次方根是（). A.±4 B.2 C.2 D.4 答案：B 分析： 164表示16的4次方根，即满足x4=16的实数X。 因为24=16，（-2)4=16，所以为±2。 详解： 416=±2 11.abeR,下列各式恒成立的是(). A./(a2+b22=a2+b2 B.Y(a+b)2=a+b 1212 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com C.(Va+b)3=a+b D.Vai-Vb4-a-b 答案：A 分析： 逐个判断，注意偶次根式开方后取绝对值。 详解： Aa2+b2≥0，所以a2+b2=|a2+b21=a2+b2☑ B.a+b2=|a+b|,不是a+b(除非a+b≥0)义 C.a+bP不等于a+b(因为x+y}≠x+y)X D.a=|a|,b=|b1,所以左边=a|-|b|,不等于a-b义 因此选A。 12.下列结论错误的是（). A.(VaP=a(n为奇数) B.a”=(a≠0，n∈N,) C.a°=1 bg"=1na0,m,n∈N】 答案：C 分析：a°=1成立的前提是a≠0,0°无意义。 详解： A.a”=a对n为奇数时恒成立，且a∈R☑ B.an=1 ,a≠0，正确☑ C.a°=1缺少条件a≠0,0°无意义X 1313 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com ,Q0,正确☑ an 13.①)（-x3(-x4= (2)(x3)2÷(-x)2= 答案： ()x=-x2 (2)x 分析： 利用幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；幂的乘方，指数相乘；同底数幂相除， 指数相减。 详解： ①) (-x月(-x4=(-x月+4=(-x)=-x (2) x32=x3x2=x-x2=x2 所以： x6÷x2=x6-2=x4 14.(1)（-2x2)3= (2)(3x2(-2x)4= 答案： (1)-8x6 (2)144x6 1414 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 分析： 利用幂的运算法则：积的乘方等于每个因式乘方再相乘，同底数幂相乘指数相加。 详解： (①) -2x2)3=(-2)3.(x23=-8x6 (2) 3x2=9x2,(-2x)4=16x9x2.16x4=144x2+4=144x 15号x号x- 答案：4 分析： 利用负指数化为倒数，积的乘方展开，再合并同类项。 详解： 相乘： 9.1x0=1x8 4x29x 4 因此结果为： 4 16.计算下列式子： 3×5×27 答案：3 分析： 将根式化为分数指数幂，再合并同底数幂的指数。 详解： 1515 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 0=393=3127=(37-3 相乘： 3i×3×3=3r号-3-3 号13 17.求下列各式的值： (1)-83:(2)V-107:;3)3-πH:(4)a-b. 答案： (1)-8 (2)10 (3)|3-π1=π-3 (41a-b1 分析： 利用根式性质：奇次根a=a,偶次根Va=|a|。 详解： ()-8=-8(奇次根，直接等于底数) (2)-10=|-101=10(偶次根取绝对值) (3)[3-π4=|3-π|，因为π≈3.14>3，所以3-π<0，绝对值=-3 (4a-b2=|a-b1 18.计算下列各式的值： (1)-43:2)3-π5；(3)(1+V2+1-2:(4)2x+y. 答案： 1616 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 SAI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com (1)-4 (2)π-3 (3)1+9V2+|1-9V2|=(1+V2)+(V2-1)=2V2 (④12x+y 分析： 利用根式性质：奇次根{ a=a,偶次根a=|a|。 详解： (1)-43=-4(奇次根直接等于底数) (②3-π5=|3-π，因为π>3，所以3-π<0，绝对值=π-3 (3)1+2=1+V2 1-2=11-2|=2-1(因为1-2<0) 两者相加： 1+V2+V2-1=2V2 ④2x+y=|2x+y| 19已知x+x之3，求： (1)x+x1 (2)x2+x2 答案： (1)x+x1=7 (2)x2+x2=47 分析： 利用完全平方公式： 1717 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com *2 可求X+x。再对结果平方可得x2+x2。 详解： (1) +x=3=gx+x4+2=9=x+x=7 (2) x+x1=72=49x2+x2+2=49→x2+x2=47 1818 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 专题21 实数指数 1、 知识梳理 1、整数指数 （1）n次幂的概念 一般地，）称为a的n次幂，a称为幂的底数，n称为幂的指数.并且规定a.在上述定义中，n是正整数，所以这样的幂称为正整数指数幂. （2）正整数指数幂的运算满足法则 1); 2); 3) 4) （3）正整数指数幂推广到整数指数幂 规定： 由上面规定的零指数幂和负整数指数幂的意义，我们就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则，对整数指数幂运算仍然成立. 2、分数指数 （1）n次方根的定义 如果 n∈N)，则x称为a 的n次方根 （2）n次方根的个数 1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，表示为；负数的偶次方根没有意义. 2）正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，表示为 3)0的任何次方根都是0，记作0. （3）n次算术根 正数a的正n次方根称为a的n次算术根. （4）根式 当有意义的时候，称为根式，n称为根指数.根式具有性质： 1) 2）当n为奇数时当n为偶数时 （5）将整数指数幂推广到正分数指数幂 当a>0时，定义： ，且为即约分数） （6）将整数指数幂推广到有理数指数幂 1）当a>0时，定义：且为既约分数）. 2）实数指数幂的运算法则 其中a>0,b>0,α,β为任意实数. 二、题型精练 题型1 求n次方根 【典例1】．(1)16的平方根为 ，-27的5次方根为 。 （2）已知，则x= . （3）若有意义，则实数x的取值范围是 【典例2】．有下列说法： ②16的4次方根是±2； ③ ④ ⑤若 x<2，则 其中正确的是 .（填正确说法的序号） 题型2 分数指数幂与根式的互化 【典例1】．将下列各分数指数幂写成根式的形式： 【典例2】. 将下列各根式写成分数指数幂的形式： 题型3 利用根式的性质化简求值 【典例1】．化简下列各式 (1； 【典例2】. 化简下列各式 题型4 指数幂的运算 【典例1】．计算下列各式 (1) (2) 【典例2】. 计算下列各式 三、知识检测 的值是 ( ) A.2 B.-2 C.±2 D.-8 2．下列运算正确的是 ( ) A. B. D. 3．把根式化成分数指数幂是 ( ) A. D. 4．已知，则x等于 ( ) A. B. 5．可化为 ( ) A.8 B. C. D. 6．化简的结果是 ( ) A. B. C. D.-3 7．的值等于 ( ) . A.x B. C. D. 8．的值等于( ) A.-3 B.0 C.1 D.3 9．的值等于（ ） A.-81 B. C. D.81 10．16的四次方根是 ( )． A.±4 B.±2 C.2 D.4 11．a,b∈R，下列各式恒成立的是 ( ) . A. B. C. D. 12. 下列结论错误的是 ( ) ． A. （n为奇数） B. C. D. 13. (1) ; (2) · 14.(1) ; (2) · 15. 16．计算下列式子： 17. 求下列各式的值： (1);(4) 18. 计算下列各式的值： 19. 已知，求： (1) (2) 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $