专题20 函数的应用 《数学》人教版基础模块上册《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题20 函数的应用 一、知识梳理 1. 函数应用的实质 把实际问题抽象为数学问题，建立相应的数学模型，从而解决实际问题． 2. 解函数应用题的一般步骤 （1）审题：仔细读题，弄清题目中相关量及其数学含义． （2）建模：建立相应的函数模型，并确定自变量的取值范围． （3）求解：利用函数知识和方法，分析、解决问题． （4）检验：对结果进行验证或评估，检验结果的合理性，得出符合条件的结论并作答． 3. 常见的函数模型 一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等． 二、题型精练 题型1 一次函数的应用 【典例1】．据调查，某停车场在某日的存车量为500辆／次，其中大型客货车存车费是每辆一次5元，小型普通汽车存车费是每辆一次2元，若小型普通汽车存车数为x辆／次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数解析式是 ( ) A.y=3x+1000(0≤x≤500) B.y=3x+2500(0≤x≤500) C.y=-3x+1000(0≤x≤500) D.y=-3x+2500(0≤x≤500) 题型2 分段函数的应用 【典例1】．某快递公司在省内邮寄包裹，在1千克内收费5元，超过1千克的部分按每千克2元收费，超重部分不足1千克的按1千克收费，则快递费与邮寄包裹重量之间的函数解析式为 题型3 二次函数的应用 【典例1】．如果要利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，用60m长的篱笆材料围成矩形养鸡场，则该矩形养鸡场的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大？ 三、知识检测 1. 若弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，可使弹簧伸长0.5cm，挂n kg重物与弹簧的长度L 之间的函数关系式为 ( ) A.L=0.5n B.L=10+0.5n C.L=10±0.5n D.L=10-0.5n 2. 用100m的材料围出一块矩形菜地，则矩形的长为 m时，此矩形菜地的面积最大( ) A.20 B.25 C.40 D.50 3. 已知一个正方形的边长是4，若其边长增加x，则面积增加y，则y与x的函数关系为( ) A. B. C. D. 4. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.乙比甲先到终点 D.甲的速度比乙快 5. 某城市为节约水资源，鼓励居民节约用水，作出如下规定：每月每户用 水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月每户用水超过8吨，超出部分加倍收费．某居民某月缴纳水费20元，则该居民本月实际用水 ( ) A.9吨 B.10吨 C.11吨 D.13吨 6. 利用一根16m长的铝合金材料，做一个“目”字形的矩形窗框（中间有两条横档），则窗框的高与宽比值为＿ 时，窗户的透光效果最好. ( ) A.1.5 B.2 C.0.5 D.1 7. 已知等腰三角形的周长是24，若底边长y是一腰长x的函数，则它们之间的函数解析式为( ) A.y=24-2x(0<x≤12) B.y=24-2x(0<x<12) C.y=24-2x(6<x≤12) D.y=24-2x(6<x<12) 8. 一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x 的函数解析式为（默认y>x) ( ) A.y=10-x(0<x<5) B.y=10-2x(0<x<10) C.y=20-x(0<x<5) D.y=20-2x(0<x<10) 9. 某商品的进货价为每件40元，当售价为50元／件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为 ( ) A.45元 B.55元 C.65元 D.70元 10. 已知从甲地到乙地通话m min的电话费（单位：元）由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)确定，其中m>0,[m]表示大于或等于m的最小整数（如[3]=3,[3.8]=4,[3.1]=4).若从甲地到乙地某次通话时间为5.5min，则电话费为（ ） A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元 11. 采购某种商品，要支付固定手续费500元，商品单价为每千克280元，则采购费用y（元）与采购量x（千克）之间的函数关系为 . 12. 发射炮弹时，炮弹飞行x秒到达的高度为y米，且满足关系，若炮弹在第5秒与第13秒时的高度相同，则炮弹到达最高处的时间是第 秒. 13. 某商场出售一种商品，每天可卖400件，每件获利10元，若这种商品每件每涨价1元，每天的销售量比涨价前少20件，为了获得最大的经济效益，每件应涨价＿元． 14. 一艘游艇在静水中的速度是45km/h，若一条河流中水的流速是5km/h，该游艇顺水行驶60km所用的时间是 ． 15.在RtΔABC中，∠ABC为直角，AB=3,BC=4，点M是线段AC上的动点，设点M到边BC的距离为x，ΔMBC的面积为y，则y关于x的函数解析式为 . 16. 某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 17. 用长8m的铝材，做一个“日”字形窗框，当此窗框的高和宽各为多少时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ 18某城市为鼓励居民节约用电，采取阶梯电价的收费方式，居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分，按每度0.8元收费；超过150度的部分按每度1.2元收费．某居民当月的用电量x（度）与应付电费y（元）的函数图象如图所示． （1）该市居民用电的基础电价是多少？ （2）某居民8月份的用电量为210度，应付电费多少元？ （3）当x∈(100,150]时，求y与x的函数解析式. 19. 某度假区酒店有客房300间，当每间客房每日租金为40元时，每天都客满．若每间客房每日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间．如不考虑其他因素，那么该度假区酒店将每间房的租金提高到多少时，每天客房的租金收入最高？ 20. 某学院营销专业创业小组的学生购进一批服装，每件进价是60元，在销售过程中他们发现，当每件的售价为75元时，日销售量为85件，当每件的售价为90元时，日销售量为70件．假设日销售量P（件）与每件售价x（元）之间的函数关系为P=kx+b.（每件售价不低于进价，且货源充足） （1）求P与x之间的函数解析式； （2）设每天的利润为y（元），若不考虑其他费用，当每件售价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 函数的应用 一、知识梳理 1. 函数应用的实质 把实际问题抽象为数学问题，建立相应的数学模型，从而解决实际问题． 2. 解函数应用题的一般步骤 （1）审题：仔细读题，弄清题目中相关量及其数学含义． （2）建模：建立相应的函数模型，并确定自变量的取值范围． （3）求解：利用函数知识和方法，分析、解决问题． （4）检验：对结果进行验证或评估，检验结果的合理性，得出符合条件的结论并作答． 3. 常见的函数模型 一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等． 二、题型精练 题型1 一次函数的应用 【典例1】．据调查，某停车场在某日的存车量为500辆／次，其中大型客货车存车费是每辆一次5元，小型普通汽车存车费是每辆一次2元，若小型普通汽车存车数为x辆／次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数解析式是 ( ) A.y=3x+1000(0≤x≤500) B.y=3x+2500(0≤x≤500) C.y=-3x+1000(0≤x≤500) D.y=-3x+2500(0≤x≤500) 答案：D 分析： 设小型车数量为  辆，则大型车数量为  辆。 总收入 = 小型车收入 + 大型车收入 = 。 详解： 定义域 。 题型2 分段函数的应用 【典例1】．某快递公司在省内邮寄包裹，在1千克内收费5元，超过1千克的部分按每千克2元收费，超重部分不足1千克的按1千克收费，则快递费与邮寄包裹重量之间的函数解析式为 答案： 设包裹重量为  千克（），快递费  元，则： 其中  表示向上取整（不足 1 千克按 1 千克计）。 分析： 1 千克内固定收费 5 元，超过 1 千克的部分按每千克 2 元收费，且不足 1 千克按 1 千克计，即超重部分重量向上取整。 详解： · 当  时，。 · 当  时，超重部分为  千克，按向上取整计费，即  千克，费用为  元，总费用： 其中  表示不小于该数的最小整数。 示例： ·  kg，超重 0.2 kg，按 1 kg 计，费用  元。 ·  kg，超重 1 kg，费用  元。 ·  kg，超重 1.1 kg，按 2 kg 计，费用  元。 题型3 二次函数的应用 【典例1】．如果要利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，用60m长的篱笆材料围成矩形养鸡场，则该矩形养鸡场的长、宽各为多少时，养鸡场的面积最大？ 答案：当长为  m，宽为  m 时，养鸡场面积最大，最大面积为  m²。 分析： 利用已有墙面作为矩形的一边（长边），则只需要围三边。设宽为  m，则长为  m（因为两边宽用去  m 篱笆）。 面积 ，是开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得。 详解： 设宽为  m，则长为  m。 面积： 对称轴： 所以宽为  m，长为： 最大面积： 因此，当长  m、宽  m 时，面积最大为  m²。 三、知识检测 1. 若弹簧原长10 cm，每挂1kg重物，可使弹簧伸长0.5cm，挂n kg重物与弹簧的长度L 之间的函数关系式为 ( ) A.L=0.5n B.L=10+0.5n C.L=10±0.5n D.L=10-0.5n 答案：B 分析： 弹簧原长 10 cm，每挂 1 kg 重物伸长 0.5 cm，挂  kg 重物总伸长量为  cm，所以弹簧长度 。 详解： 其中 。 2. 用100m的材料围出一块矩形菜地，则矩形的长为 m时，此矩形菜地的面积最大( ) A.20 B.25 C.40 D.50 答案：B 分析： 100m 材料围矩形，设长为  m，则宽为  m。 面积 ，是开口向下的二次函数，最大值在顶点  m 处取得。 详解： 对称轴 ，此时面积最大。 3. 已知一个正方形的边长是4，若其边长增加x，则面积增加y，则y与x的函数关系为( ) A. B. C. D. 答案：B 分析： 原正方形边长为 4，面积 。 边长增加  后为 ，新面积为 。 面积增加量 ，且 （增加量不能为负）。 详解： 定义域 。 4. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.乙比甲先到终点 D.甲的速度比乙快 答案： D 分析： 从图中可看出： · 甲、乙从同一地点出发，时间起点相同 ⇒ 同时出发。 · 终点相同 ⇒ 路程相同。 · 甲到达终点所用的时间比乙短 ⇒ 甲的速度更快。 详解： A. 甲比乙先出发 ❌（从图中看同时出发） B. 乙比甲跑的路程多 ❌（两人路程相同） C. 乙比甲先到终点 ❌（甲先到终点，因为甲用时更少） D. 甲的速度比乙快 ✅（相同时间内甲的路程更长） 5. 某城市为节约水资源，鼓励居民节约用水，作出如下规定：每月每户用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月每户用水超过8吨，超出部分加倍收费．某居民某月缴纳水费20元，则该居民本月实际用水 ( ) A.9吨 B.10吨 C.11吨 D.13吨 答案：A 分析： · 不超过 8 吨：每吨 2 元，最多收费  元。 · 该居民缴费 20 元 > 16 元，所以用水量超过 8 吨。 · 超出部分按每吨 4 元收费（加倍，即 2×2=4 元/吨）。 · 超出费用：20 - 16 = 4 元，对应超出水量  吨。 · 总用水量：8 + 1 = 9 吨。 详解： 6. 利用一根16m长的铝合金材料，做一个“目”字形的矩形窗框（中间有两条横档），则窗框的高与宽比值为＿ 时，窗户的透光效果最好. ( ) A.1.5 B.2 C.0.5 D.1 答案：B 分析： “目”字形窗框包含两条横档，因此铝合金材料总长 = 4条宽 + 2条高（横档算作宽方向的支撑）。 设宽为  m，高为  m，则材料总长： 窗户面积 ，用  表示，则 ，开口向下，最大值在对称轴  处取得。 此时 ，高与宽之比 ，即比值为 2。 详解： 设宽 ，高 ，由题意： 面积： 对称轴 。 则 ，比值 。 7. 已知等腰三角形的周长是24，若底边长y是一腰长x的函数，则它们之间的函数解析式为( ) A.y=24-2x(0<x≤12) B.y=24-2x(0<x<12) C.y=24-2x(6<x≤12) D.y=24-2x(6<x<12) 答案：D 分析： 等腰三角形两腰相等，设腰长为 ，底边长为 ，周长 ，所以 。 需满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，即  且 （自动成立）。 由  得 。 又 。 因此 。 详解： 8. 一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x 的函数解析式为（默认y>x) ( ) A.y=10-x(0<x<5) B.y=10-2x(0<x<10) C.y=20-x(0<x<5) D.y=20-2x(0<x<10) 答案： A 分析： 矩形周长 ，所以 ，即 。 又 ，所以 ，且 。 因此定义域为 。 详解： 9. 某商品的进货价为每件40元，当售价为50元／件时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为 ( ) A.45元 B.55元 C.65元 D.70元 答案：D 分析： 设每件商品提高  元，则售价为  元，销量为  件。 每件利润为  元。 月利润： 这是开口向下的二次函数，最大值在对称轴  处取得。 详解： 对称轴： 定价： 10. 已知从甲地到乙地通话m min的电话费（单位：元）由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)确定，其中m>0,[m]表示大于或等于m的最小整数（如[3]=3,[3.8]=4,[3.1]=4).若从甲地到乙地某次通话时间为5.5min，则电话费为（ ） A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元 答案：C 分析： 通话时间 ， 表示不小于  的最小整数，即 。 代入公式  计算。 详解： 11. 采购某种商品，要支付固定手续费500元，商品单价为每千克280元，则采购费用y（元）与采购量x（千克）之间的函数关系为 . 答案：，其中 。 分析： 采购费用 = 固定手续费 + 商品总价。 固定手续费 500 元，商品单价 280 元/千克，采购  千克的总价为  元。 详解： 定义域：。 因此函数关系为 。 12. 发射炮弹时，炮弹飞行x秒到达的高度为y米，且满足关系，若炮弹在第5秒与第13秒时的高度相同，则炮弹到达最高处的时间是第 秒. 答案：第 9 秒。 分析： 炮弹飞行高度  是开口向下的二次函数（炮弹先上升后下降），对称轴在最高点。 已知第 5 秒与第 13 秒高度相同，说明这两个时刻关于对称轴对称，因此对称轴为  秒。 详解： 对称轴： 即炮弹在  秒时到达最高处。 13. 某商场出售一种商品，每天可卖400件，每件获利10元，若这种商品每件每涨价1元，每天的销售量比涨价前少20件，为了获得最大的经济效益，每件应涨价＿元． 答案：每件应涨价 5 元。 分析： 设每件涨价  元（），则每件利润为  元，销售量减少  件，每天销售量为  件。 总利润： 这是开口向下的二次函数，最大值在对称轴处取得。 详解： 对称轴： 因此每件涨价  元时利润最大。 14. 一艘游艇在静水中的速度是45km/h，若一条河流中水的流速是5km/h，该游艇顺水行驶60km所用的时间是 ． 答案：顺水行驶 60 km 所用的时间是 1.2 小时（即 1 小时 12 分钟）。 分析： 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 =  km/h。 时间 = 路程 ÷ 速度 =  小时。 详解： 填：1.2 小时（或 1 小时 12 分钟）。 15.在RtΔABC中，∠ABC为直角，AB=3,BC=4，点M是线段AC上的动点，设点M到边BC的距离为x，ΔMBC的面积为y，则y关于x的函数解析式为 . 答案：，其中 。 分析： 在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 3，BC = 4。 点 M 在 AC 上，M 到 BC 的距离为 x，即 M 到直角边 BC 的垂线长度。 因为 AB ⊥ BC，所以 AB 是△ABC 中 BC 边上的高，且 AB = 3。 点 M 在 AC 上运动时，M 到 BC 的距离 x 随位置变化，但 △MBC 的底边 BC 长度恒为 4，高为 x，因此面积 。 当 M 与 A 重合时，x = 3；当 M 与 C 重合时，x = 0，所以 。 详解： 16. 某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 答案： 设每件定价为  元，售出件数为  件，则函数解析式为： 定义域为 （或根据实际意义可扩展）。 分析： 已知两个点：定价 80 元时售出 30 件，即 ；定价 120 元时售出 20 件，即 。 设一次函数 ，代入两点求  和 。 详解： 代入两点： 相减得： 代入第一式： 所以： 定义域通常取 ，但一次函数可在这两点间线性关系成立。 17. 用长8m的铝材，做一个“日”字形窗框，当此窗框的高和宽各为多少时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ 答案：当窗框的高为  m，宽为  m 时，透光面积最大，最大面积为  m²。 分析： “日”字形窗框中间有一横档，因此铝材总长 = 2条高 + 3条宽（两条竖框加两条横档？要仔细数）。 通常“日”字形窗框由两条竖边、三条横边组成（上、中、下），所以总长 = 。 设宽为 ，高为 ，则面积 ，由  得 ，代入面积公式得二次函数，求最大值。 详解： 设宽为  m，高为  m。 由题意： 窗户面积： 这是开口向下的二次函数，最大值在对称轴处： 代入求高： 最大面积： 因此高为  m，宽为  m 时，面积最大为  m²。 18某城市为鼓励居民节约用电，采取阶梯电价的收费方式，居民当月用电量不超过100度的部分，按基础电价收费；超过100度不超过150度的部分，按每度0.8元收费；超过150度的部分按每度1.2元收费．某居民当月的用电量x（度）与应付电费y（元）的函数图象如图所示． （1）该市居民用电的基础电价是多少？ （2）某居民8月份的用电量为210度，应付电费多少元？ （3）当x∈(100,150]时，求y与x的函数解析式. 答案： (1) 基础电价为 0.5 元/度。 (2) 8 月份用电 210 度，应付电费 162元。 (3) 当  时，。 分析： (1) 从图象可知，前 100 度电费为 50 元，所以基础电价  元/度。 (2) 210 度分为三部分：100 度（基础价）、50 度（0.8 元/度）、60 度（1.2 元/度）。 (3) 在 100～150 度之间，电费 = 前 100 度的费用 + 超过 100 度的部分按 0.8 元/度计费。 详解： (1) 基础电价  元/度。 (2) 210 度电费： (3) 当  时， 前 100 度费用 50 元，超过部分  度按 0.8 元/度计费： 19. 某度假区酒店有客房300间，当每间客房每日租金为40元时，每天都客满．若每间客房每日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间．如不考虑其他因素，那么该度假区酒店将每间房的租金提高到多少时，每天客房的租金收入最高？ 答案： 当每间客房每日租金提高到 50 元 时，每天客房的租金收入最高。 分析： 设每间客房每日租金增加  个 2 元，则租金为  元，出租房间数为  间。 每天租金总收入： 这是开口向下的二次函数，最大值在对称轴处取得。 详解： 对称轴： 此时租金： 出租房间数： 最大收入： 因此将租金提高到 50 元 时，收入最高为 12500 元。 20. 某学院营销专业创业小组的学生购进一批服装，每件进价是60元，在销售过程中他们发现，当每件的售价为75元时，日销售量为85件，当每件的售价为90元时，日销售量为70件．假设日销售量P（件）与每件售价x（元）之间的函数关系为P=kx+b.（每件售价不低于进价，且货源充足） （1）求P与x之间的函数解析式； （2）设每天的利润为y（元），若不考虑其他费用，当每件售价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 答案： (1) ，定义域为 （实际销售中 ）。 (2) 当每件售价为 110 元 时，每天利润最大，最大利润为 2500 元。 分析： (1) 已知两点  和 ，代入  求 。 (2) 利润 ，是开口向下的二次函数，求顶点。 详解： (1) 代入两点： 相减得 ，代入得 。 所以： 定义域：进价 60 元，销量非负，，故 。 (2) 利润： 对称轴： 最大利润： 因此售价 110 元时，最大利润 2500 元。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $