专题24 等差数列与等比数列的应用（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 等差数列与等比数列的应用 【复习目标】 了解数列的实际应用。 【考点1 数列应用题解题通用步骤】 中职技能高考数列实际应用题核心解题四步法： 1. 审题：通读题干，提炼题目核心条件与所求问题，根据变化规律判定数列类型：均匀增减、固定差值变化为等差数列；百分比增减、复利迭代、倍数变化为等比数列.同时明确题目求解目标为单项值、前n项和或项数. 2. 建模：结合题意提取核心参数，确定数列首项、对应项数，等差数列确定公差，等比数列确定公比.根据求解目标，选择对应的数列通项公式或前n项和公式，搭建数学解题模型. 3. 求解：统一题目单位，将已知参数精准代入所选公式，规范运算求解未知量.涉及增长率、降低率的题型，先将百分数转化为小数再计算，严格按照代数运算规则化简、求值. 4. 检验：结合实际生活意义检验结果：确保项数为正整数，产量、金额、数量等结果为正数，符合题干实际逻辑.验证无误后，整理规范步骤，写出完整答句，标注对应单位. 【考点2 等差数列常见实际应用模型】 1. 核心规律：均匀增减、每次增加/减少固定量，对应等差数列. 2. 常见场景：阶梯收费、逐年等额增长、设备折旧、植树总数、楼层高度、匀速增量问题. 3. 应用公式： （1）求第n期数量（末项）：___________; （2）求n期总量（总和）：. 【考点3 等比数列常见实际应用模型】 1. 核心规律：成倍增减、增长率/降低率固定、复利变化，对应等比数列. 2. 常见场景：银行复利、产值增长率、细胞分裂、病毒繁殖、折旧率、人口变化、翻倍增长问题. 3. 应用公式： （1）求第n期数量（末项）：（为变化倍率）; （2）求n期总量（总和）：时，. 【考点4 技能高考高频辨析要点】 1. 固定增减量→_______数列；固定增减率→_______数列. 2. 求“第几年、第几次、第n个”对应_______公式；求“累计总和、一共、总共”对应_______公式. 3. 复利问题必为_______模型，单利等额计息问题必为_______模型. 【即时训练】 一、单项选择题 1．某企业新员工首月工资3000元，后续每个月固定加薪80元，按月薪资依次递增，求该员工第5个月的工资为（ ） A. 3320元 B. 3240元 C. 3160元 D. 3080元 2．工厂生产零件，第一天使用原材料60kg，后续每天使用的原材料比前一天多4kg，原材料用量均匀递增，则5天一共使用原材料（ ） A. 380kg B. 340kg C. 320kg D. 300kg 3. 某车间首月产量100台，每月产量按照固定比例增长10%，逐月产量成倍递增，则第3个月的产量为（ ） A. 100台 B. 110台 C. 121台 D. 133台 4．某人每年年末固定存入10000元，银行年利率10%，按复利方式计息，连续存款3年，则三年本息总和为（ ） A. 33100元 B. 32000元 C. 31000元 D. 30500元 5．下列实际变化规律的数列模型判断正确的是（ ） A. 每年固定存款2000元→等比数列 B. 每年存款递增5%→等差数列 C. 设备每年固定折旧300元→等差数列 D. 商品每次降价20%→等差数列 6．现有两组变化数据，第一年基数均为100，甲组每年固定增加10个单位，乙组每年按8%的比例递增，对比两组数据，第3年两组数据大小关系为（ ） A. 甲组大 B. 乙组大 C. 相等 D. 无法判断 二、多项选择题 7. 某门店收费规则：首月服务费50元，从第二个月开始，每月服务费比上一个月固定增收5元，收费金额逐月均匀增加，下列说法正确的是（ ） A. 首项 B. 公差 C. 第4月收费65元 D. 前4个月总收费230元 8. 某企业购入一台电子设备，入账价值为 元.该设备采用固定折旧率法计提折旧，每年按上一年年末账面价值的 进行折旧（即每年的剩余价值均为上一年价值的 ）.若将该设备每年年末的账面净值视为一个数列 ，关于该数列及其相关计算，下列说法正确的有（ ） A. 该数列 是一个首项为 ，公比为 的等比数列 B. 该数列 的通项公式为 C. 该设备第 年年末的账面净值为 元 D. 该设备前 年年末的账面净值之和为 元 三、填空题 9. 某培训机构首期招生80人，后续每一期都比上一期固定扩招15人，则第4期招生____人，前4期累计招生____人. 10. 在理想实验环境下，某绿植的初始高度为 50 cm ，经观测，该绿植每周结束时的高度均比上一周增加 20% .若将该绿植每周结束时的高度视为一个等比数列 ，则该生长变化数列的公比为 ______，经过2 周后该绿植的高度为 ______ cm . 11. 机器首次运维费用120元，后续每一次运维的费用都比上一次增加20元，则第5次运维费用____元，前5次运维总费用____元. 12. 某收藏家花了10万元买了件古董，一年后该古董的价值上涨了10%，若以后该古董每年均按10%的固定比例溢价增值，那么3年后该古董的价值为_________万元. 四、解答题 13. 修路队开展修路工程，第一天修路100米，为加快进度，后续每天修路长度比前一天固定多6米，连续施工10天.求： （1）第10天修路的长度； （2）10天累计修路的总长度. 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且. (1) 求； (2) 求数列所有项的和. 1.（2025年湖北省技能高考第32题）用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒层. （1）求第n层垒乒乓球的个数及这n层共垒乒乓球的个数； （2）求当时，n的最小值； （3）若 ，当为整数时，求n的取值. （参考公式：① ； ② .） 2.（2023年湖北省技能高考第29题）如图所示，某种生物的细胞分裂时，第 1 次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分裂成 8 个，……. 按照这样的规律，1 个细胞第 6 次分裂得到的细胞个数为______. 3.（1999年湖北省高职统考第11题）某企业在连续四年中,每年上缴的利税成等比数列,第一年上缴160万元,第四年上缴540万元,则四年上缴利税总额为（ ） A.760万元 B.1080万元 C.1300万元 D.1400万元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题24 等差数列与等比数列的应用 【复习目标】 了解数列的实际应用。 【考点1 数列应用题解题通用步骤】 中职技能高考数列实际应用题核心解题四步法： 1. 审题：通读题干，提炼题目核心条件与所求问题，根据变化规律判定数列类型：均匀增减、固定差值变化为等差数列；百分比增减、复利迭代、倍数变化为等比数列.同时明确题目求解目标为单项值、前n项和或项数. 2. 建模：结合题意提取核心参数，确定数列首项、对应项数，等差数列确定公差，等比数列确定公比.根据求解目标，选择对应的数列通项公式或前n项和公式，搭建数学解题模型. 3. 求解：统一题目单位，将已知参数精准代入所选公式，规范运算求解未知量.涉及增长率、降低率的题型，先将百分数转化为小数再计算，严格按照代数运算规则化简、求值. 4. 检验：结合实际生活意义检验结果：确保项数为正整数，产量、金额、数量等结果为正数，符合题干实际逻辑.验证无误后，整理规范步骤，写出完整答句，标注对应单位. 【考点2 等差数列常见实际应用模型】 1. 核心规律：均匀增减、每次增加/减少固定量，对应等差数列. 2. 常见场景：阶梯收费、逐年等额增长、设备折旧、植树总数、楼层高度、匀速增量问题. 3. 应用公式： （1）求第n期数量（末项）：; （2）求n期总量（总和）：. 【考点3 等比数列常见实际应用模型】 1. 核心规律：成倍增减、增长率/降低率固定、复利变化，对应等比数列. 2. 常见场景：银行复利、产值增长率、细胞分裂、病毒繁殖、折旧率、人口变化、翻倍增长问题. 3. 应用公式： （1）求第n期数量（末项）：（为变化倍率）; （2）求n期总量（总和）：时，. 【考点4 技能高考高频辨析要点】 1. 固定增减量→等差 数列；固定增减率→等比 数列. 2. 求“第几年、第几次、第n个”对应 通项 公式；求“累计总和、一共、总共”对应 前n项和 公式. 3. 复利问题必为等比 模型，单利等额计息问题必为等差 模型. 【即时训练】 一、单项选择题 1．某企业新员工首月工资3000元，后续每个月固定加薪80元，按月薪资依次递增，求该员工第5个月的工资为（ ） A. 3320元 B. 3240元 C. 3160元 D. 3080元 【考点】等差数列的应用（薪资固定递增） 【答案】A 【解析】每月薪资固定增量，符合等差数列特征：.代入通项公式，元. 2．工厂生产零件，第一天使用原材料60kg，后续每天使用的原材料比前一天多4kg，原材料用量均匀递增，则5天一共使用原材料（ ） A. 380kg B. 340kg C. 320kg D. 300kg 【考点】等差数列的应用（原材料用量均匀递增） 【答案】B 【解析】每日用料均匀增量，符合等差数列特征：.代入求和公式，. 3. 某车间首月产量100台，每月产量按照固定比例增长10%，逐月产量成倍递增，则第3个月的产量为（ ） A. 100台 B. 110台 C. 121台 D. 133台 【考点】等比数列的应用（产量成倍递增） 【答案】C 【解析】产量每月固定比例增长，符合等比数列特征：，代入通项公式得台. 4．某人每年年末固定存入10000元，银行年利率10%，按复利方式计息，连续存款3年，则三年本息总和为（ ） A. 33100元 B. 32000元 C. 31000元 D. 30500元 【考点】等比数列的应用（复利计息） 【答案】A 【解析】复利计息为固定比例增值，符合等比数列特征：，代入求和公式得元. 5．下列实际变化规律的数列模型判断正确的是（ ） A. 每年固定存款2000元→等比数列 B. 每年存款递增5%→等差数列 C. 设备每年固定折旧300元→等差数列 D. 商品每次降价20%→等差数列 【考点】等差、等比数列的应用（模型判断） 【答案】C 【解析】解题规律：**固定增减量为等差数列，固定增减率为等比数列**.固定折旧属于固定减量，为等差数列；存款固定递增率、商品降价率均为等比模型，故只有C正确. 6．现有两组变化数据，第一年基数均为100，甲组每年固定增加10个单位，乙组每年按8%的比例递增，对比两组数据，第3年两组数据大小关系为（ ） A. 甲组大 B. 乙组大 C. 相等 D. 无法判断 【考点】等差、等比数列的应用（两组变化数据对比） 【答案】A 【解析】甲组固定增量，为等差数列：；乙组固定递增率，为等比数列：，故甲组数据更大. 二、多项选择题 7. 某门店收费规则：首月服务费50元，从第二个月开始，每月服务费比上一个月固定增收5元，收费金额逐月均匀增加，下列说法正确的是（ ） A. 首项 B. 公差 C. 第4月收费65元 D. 前4个月总收费230元 【考点】等差数列的应用（服务费固定增收） 【答案】ABCD 【解析】根据题意每月服务费均匀增加，符合等差数列特征，可得首项，公差.；前4个月总费用，四项描述均正确. 8. 某企业购入一台电子设备，入账价值为 元.该设备采用固定折旧率法计提折旧，每年按上一年年末账面价值的 进行折旧（即每年的剩余价值均为上一年价值的 ）.若将该设备每年年末的账面净值视为一个数列 ，关于该数列及其相关计算，下列说法正确的有（ ） A. 该数列 是一个首项为 ，公比为 的等比数列 B. 该数列 的通项公式为 C. 该设备第 年年末的账面净值为 元 D. 该设备前 年年末的账面净值之和为 元 【考点】等比数列的应用（固定折旧率） 【答案】 ABC 【解析】A 正确：第一年年末净值 元，公比 ，构成等比数列. B 正确：代入通项公式 ，得 . C 正确：元. D 错误：前 项和 元，而非 元. 三、填空题 9. 某培训机构首期招生80人，后续每一期都比上一期固定扩招15人，则第4期招生____人，前4期累计招生____人. 【考点】等差数列的应用（固定扩招） 【答案】125；410 【解析】招生人数每期固定增加15人，均匀增量变化为等差数列.，，. 10. 在理想实验环境下，某绿植的初始高度为 50 cm ，经观测，该绿植每周结束时的高度均比上一周增加 20% .若将该绿植每周结束时的高度视为一个等比数列 ，则该生长变化数列的公比为 ______，经过2 周后该绿植的高度为 ______ cm . 【考点】等比数列的应用（固定比例增长） 【答案】1.2；72 【解析】植株高度每周按固定比例增长，符合等比数列特征，公比，代入通项得2周后高度. 11. 机器首次运维费用120元，后续每一次运维的费用都比上一次增加20元，则第5次运维费用____元，前5次运维总费用____元. 【考点】等差数列的应用（运维费用固定增加） 【答案】200；800 【解析】运维费用每次固定增加20元，均匀增量变化为等差数列.，，. 12. 某收藏家花了10万元买了件古董，一年后该古董的价值上涨了10%，若以后该古董每年均按10%的固定比例溢价增值，那么3年后该古董的价值为_________万元. 【考点】等比数列的实际应用（固定比例溢价增值） 【答案】13.31 【解析】古董的价值每年按固定比例增值，符合等比数列特征，，公比，3年后的价值为万元. 四、解答题 13. 修路队开展修路工程，第一天修路100米，为加快进度，后续每天修路长度比前一天固定多6米，连续施工10天.求： （1）第10天修路的长度； （2）10天累计修路的总长度. 【考点】等差数列的应用（修路长度固定增量） 【答案】（1）154米；（2）1270米 【解析】每日修路长度固定增量，为等差数列模型： （1）由通项公式：（米） （2）由前n项和公式：（米） 14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且. (1) 求； (2) 求数列所有项的和. 【考点】等差、等比数列的应用（环权） 【答案】(1) ；(2) 【解析】(1) 同属后7项等比数列，根据等比中项性质：. 代入计算：，数列递增，故取正值. (2) 求后7项公比：由，数列为递增数列，故；则. 前3项成等差数列，公差：，因此. . 1.（2025年湖北省技能高考第32题）用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒层. （1）求第n层垒乒乓球的个数及这n层共垒乒乓球的个数； （2）求当时，n的最小值； （3）若 ，当为整数时，求n的取值. （参考公式：① ； ② .） 【考点】数列通项、数列求和、不等式的整数解（乒乓球垒锥） 【答案】(1) ，；(2) 的最小值为 ；(3) n的取值为 . 【解析】(1) 求 第 层个数： 前 层总和： ； (2)求 时 的最小值 先化简 ： ，由可得 当时，, 当时，, 则的最小值为； (3)求满足条件的 的取值 先计算 ： ，同理 由题意，则 （*）， 当为整数时，为整数，为3的倍数. 将（*）式两边同乘 得， 验证： 当时，； 当时，，但不为3的倍数； 当时，，为3的倍数，满足条件； 当时，; 当时，; 可以看出，当 时，左边增长速度慢于右边，恒成立， 即 时等式不成立，故只有 满足条件. 2.（2023年湖北省技能高考第29题）如图所示，某种生物的细胞分裂时，第 1 次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分裂成 8 个，……. 按照这样的规律，1 个细胞第 6 次分裂得到的细胞个数为______. 【考点】等比数列的应用（细胞分裂） 【答案】 【解析】由细胞分裂规律可得，第次分裂后细胞个数的通项公式为. 将代入通项，得. 3.（1999年湖北省高职统考第11题）某企业在连续四年中,每年上缴的利税成等比数列,第一年上缴160万元,第四年上缴540万元,则四年上缴利税总额为（ ） A.760万元 B.1080万元 C.1300万元 D.1400万元 【考点】等比数列的应用（上缴利税） 【答案】C 【解析】设等比数列首项 ，公比为 ，项数 ，. 由通项公式，代入 得， 由前项和公式，代入 得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $