专题24 等差数列与等比数列的应用（练习）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以等差数列与等比数列应用为核心，通过数学文化情境、实际问题及几何模型构建知识应用体系，培养数学眼光与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数学文化应用|8题（如《周髀算经》日影、《九章算术》衰分）|结合古代算经问题，考查等差等比基本量计算与求和|从历史问题抽象数列模型，体现概念生成与实际应用的逻辑链| |实际问题解决|4题（设备折旧、植树造林等）|以生活情境为载体，需建立数列递推关系|通过实际数据构建等差/等比模型，培养用数学语言表达现实世界的能力| |几何与数列结合|3题（分形几何边数、正方形面积等）|融合几何图形变化规律，考查数列通项与求和|从图形变化中提炼数列特征，强化数学思维的逻辑推理|

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》练习 专题24 等差数列与等比数列的应用 一、单选题 1. 某公司购置了一台价值为 230 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少 20 万元，设备使用年后，其价值将低于购进价值的 5%，设备将报废，则的最小值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 2. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则立夏日影长为（ ） A．1.5 尺 B．2.5 尺 C．3.5 尺 D．4.5 尺 3. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 3 个，现在有一个这样的细菌和 110 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ） A．4 秒钟 B．5 秒钟 C．6 秒钟 D．7 秒钟 4. 《九章算术》第三章 “衰分” 介绍比例分配问题，“衰分” 指按比例递减分配，递减比例称为 “衰分比”.现有 38 石粮食，按甲、乙、丙顺序衰分，已知甲分得 18 石，则 “衰分比” 为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 5. 《九章算术》中有一道 “良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为 2000 里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行 155 里，之后每天比前一天多行 12 里，驽马第一天行 100 里，之后每天比前一天少行 2 里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6. 我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．” 其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？” 其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论正确的是（ ） A． B．此人第三天行走了一百三十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 8. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是 9 圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（ ） A. B.的公差为 C. D. 三、填空题 9. 某剧院有排座位，从第二排起，每排都比前一排多个座位，最后一排有个座位，这个剧院一共有座位的个数是_______. 10. 为响应国家 “绿水青山就是金山银山” 的号召，某乡村在春季开展植树造林活动.计划在第一年植树亩，且从第二年开始，每年比上一年多植树亩.若该活动连续开展年，则这年累计的植树总面积为_______. 11. 《算法统宗》：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.意思：塔共 7 层，相邻两层下一层灯数是上一层 2 倍；总灯数不少于 1000 盏，则塔顶最少有__________盏灯. 12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为 1 的正三角形，将每边 3 等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第个图形的边数____；第个图形的周长____． 一、单选题 1. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如图所示的几何体，后人称之为 “三角垛”.其最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，第四层有 10 个球，……，则第三十五层球的个数为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 2. 《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.从冬至开始的13个节气依次如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 节气 冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 若《易经》中记录的冬至晷影长为寸，夏至晷影长为寸，则春分的晷影长为（ ） A.寸　 B.寸 　 C.寸　 D.寸 3. 某大型金字塔墙体如图所示，最上层码有 2 块长方体石块，第 2 层 6 块石块，第 3 层 10 块石块，以下每层都比其上一层多 4 块石块．已知总层数为奇数，其中中间一层有 310 块石块，则该建筑的总层数为（ ） A．157 B．153 C．155 D．151 4. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的 “三分损益法”：若以 “宫” 为本音，“宫” 经过一次 “损”，频率变为原来的，得到 “徵”；“徵” 经过一次 “益”，频率变为原来的，得到 “商”…… 依次损益交替变化，获得了 “宫、徵、商、羽、角” 五个音阶.据此可推得（ ） A. “徵、商、羽” 的频率成等比数列 B. “宫、徵、商” 的频率成等比数列 C. “商、羽、角” 的频率成等比数列 D. “宫、商、角” 的频率成等比数列 5. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若记第个单音的率为，则（ ） A.　 B.　 C.　 D. 6. 如图所示，正方形的边长为，连接正方形各边的中点，得第 2 个正方形，再次连接正方形各边的中点，得第 3 个正方形，…，依此进行下去，则第 6 个正方形的面积是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 二、多选题 7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.” 马主曰：“我马食半牛.” 今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.” 马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.” 打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还升、升、升粟，斗为升，则下列判断正确的是（ ） A.依次成公比为的等比数列 B.依次成公比为的等比数列 C. D. 8. 如图，将等差数列的前 6 项填入一个三角形的顶点，及各边的中点的位置，图中每个三角形顶点的三项都能构成等差数列，已知前 2026 项之和，则下列描述正确的是（ ） A．该数列为递增数列 B．数列公差 C．数列的首项为 D．数列的通项公式 三、填空题 9. 夏季高山上，从山脚起每升高，温度降低，已知山顶处的温度为，山脚处的温度为，则山顶相对于山脚的高度为________. 10. 现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到 2 张纸片；再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到 3 张纸片，……，依此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，则经过 10 次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为_________. 11. 《九章算术》：今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？题意：5 个人出钱成递增等差数列，爵位从高到低：大夫、不更、簪裹、上造、公士；共出 100 钱，公士（最低爵位）出 28 钱，则 “不更” 出的钱数是____. 12. 毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，，，，…，总结规律并以此类推下去，第 8 个图形对应的点数为____，若这些数构成一个数列，记为数列，则____． 1.（2025年湖北省技能高考第32题）用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒层. （1）求第n层垒乒乓球的个数及这n层共垒乒乓球的个数； （2）求当时，n的最小值； （3）若 ，当为整数时，求n的取值. （参考公式：① ； ② .） 2.（2023年湖北省技能高考第29题）如图所示，某种生物的细胞分裂时，第 1 次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分裂成 8 个，……. 按照这样的规律，1 个细胞第 6 次分裂得到的细胞个数为______. 3.（1999年湖北省高职统考第11题）某企业在连续四年中,每年上缴的利税成等比数列,第一年上缴160万元,第四年上缴540万元,则四年上缴利税总额为（ ） A.760万元 B.1080万元 C.1300万元 D.1400万元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》练习 专题24 等差数列与等比数列的应用 一、单选题 1. 某公司购置了一台价值为 230 万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少 20 万元，设备使用年后，其价值将低于购进价值的 5%，设备将报废，则的最小值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【考点】等差数列的应用（设备价值固定递减） 【答案】B 【解析】由题意可知，设备每年的价值构成递减的等差数列，初始价值为230万元，每年减少20万元. 首先计算设备报废的临界价值： 万元 设备使用年后的价值公式： 根据报废条件列不等式： 移项化简得：，解得： 由于为正整数，因此的最小值为11. 2. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则立夏日影长为（ ） A．1.5 尺 B．2.5 尺 C．3.5 尺 D．4.5 尺 【考点】等差数列的应用（十二节气日影长） 【答案】D 【解析】设十二节气日影长构成的等差数列为，公差为，其中为冬至日影长，为立春日影长，为春分日影长，为立夏日影长. 利用等差数列下标性质：若，则 冬至、立春、春分对应项：，解得 利用等差数列前项和性质：，前9项和：，解得 公差：， 首项：由，得 立夏日影长（第10项）：尺. 综上，答案为D. 3. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 3 个，现在有一个这样的细菌和 110 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要（ ） A．4 秒钟 B．5 秒钟 C．6 秒钟 D．7 秒钟 【考点】等比数列的应用（细菌分裂） 【答案】B 【解析】根据题意，每一秒杀死的病毒数量构成首项，公比的等比数列. 第1秒杀死1个病毒，第2秒杀死3个病毒，第3秒杀死个病毒，……，第秒杀死个病毒. 前秒累计杀死病毒总数为等比数列前项和： 病毒全部杀死需满足：，不等式化简：，即 代入验证：， 因此满足条件的最小正整数，即至少需要5秒钟. 4. 《九章算术》第三章 “衰分” 介绍比例分配问题，“衰分” 指按比例递减分配，递减比例称为 “衰分比”.现有 38 石粮食，按甲、乙、丙顺序衰分，已知甲分得 18 石，则 “衰分比” 为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】等比数列的应用（衰分） 【答案】 【解析】设衰分比为（），甲、乙、丙分得粮食成递减等比数列：.总粮食总量为38石，因此列方程：. 化简方程：，两边同时除以2得：， 解得或，因衰分比，舍去负根，故，选. 5. 《九章算术》中有一道 “良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为 2000 里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行 155 里，之后每天比前一天多行 12 里，驽马第一天行 100 里，之后每天比前一天少行 2 里，若良马和驽马第天相遇，则的最小整数值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】等差数列的应用（良马、驽马行程问题） 【答案】D 【解析】良马、驽马每日行程均为等差数列，分别计算两者前天总行程： 良马行程数列：，前项和： 驽马行程数列：，前项和： 相遇条件：两者总行程和大于等于总路程2000里 ，代入化简： ，两边同除5得： 解一元二次方程： 又，，所以，故最小取值为8. 6. 我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．” 其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第天后剩余木棍的长度为，数列的前项和为，则使得不等式成立的正整数的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】等比数列的应用（一尺之棰） 【答案】B 【解析】由题意得，剩余木棍长度构成等比数列：首项，公比. 根据等比数列求和公式，前项和： 代入不等式：，移项化简： 即，由指数函数单调性得，满足条件的最小正整数. 二、多选题 7. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？” 其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论正确的是（ ） A． B．此人第三天行走了一百三十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里 【考点】等差数列的应用（善走者） 【答案】ACD 【解析】由题意，每日行走路程构成等差数列，，. 求公差：由，代入得：，解得，A正确. 第三天路程：里，B错误. 前七天总路程：里，C正确. 前八天总路程：里，D正确. 综上，本题所有选项结论均正确，无错误选项. 8. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是 9 圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，设数列为等差数列，它的前项和为，且，，则（ ） A. B.的公差为 C. D. 【考点】等差数列的应用（天坛圜丘坛地面石板） 【答案】BD 【解析】设等差数列首项为，公差为.由题意得：； 根据等差数列性质，可得，即. 联立方程组：，两式相减得：，解得，故B正确； 代入得：，故A错误； 逐项验证选项：，， ，故C错误； 计算前9项和：根据等差数列性质，故D正确. 综上本题选BD. 三、填空题 9. 某剧院有排座位，从第二排起，每排都比前一排多个座位，最后一排有个座位，这个剧院一共有座位的个数是_______. 【考点】等差数列的应用（剧院座位） 【答案】1020 【解析】由题意，剧院每排座位数构成等差数列， 已知项数，公差，末项. 根据等差数列通项公式：，，， 根据等差数列前项和公式：，即剧院总座位数为1020个. 10. 为响应国家 “绿水青山就是金山银山” 的号召，某乡村在春季开展植树造林活动.计划在第一年植树亩，且从第二年开始，每年比上一年多植树亩.若该活动连续开展年，则这年累计的植树总面积为_______. 【考点】等差数列的应用（植树造林） 【答案】1900亩 【解析】由题意，每年植树亩数构成等差数列，首项，公差，项数. 等差数列前项和公式： 代入数据计算得 ，即10年累计植树1900亩. 11. 《算法统宗》：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.意思：塔共 7 层，相邻两层下一层灯数是上一层 2 倍；总灯数不少于 1000 盏，则塔顶最少有__________盏灯. 【考点】等比数列的应用（塔灯） 【答案】 【解析】由题意，从塔顶到最底层每层灯数构成等比数列，顶层灯数为，公比，，等比数列求和公式：，代入数据得：. 由题意总灯数不少于1000盏，列不等式：，即，解得：.为正整数，最小取. 12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为 1 的正三角形，将每边 3 等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第个图形的边数____；第个图形的周长____． 【考点】等比数列的应用（分形几何） 【答案】； 【解析】边数规律推导： 第1个图形边数：； 第2个图形边数：每条边分裂为4条边，边数； 第3个图形边数：；…… 每一次变换，边数变为原来的4倍，因此 每个图形的边数构成首项为3，公比为4的等比数列，通项公式：； 周长规律推导： 第1个图形周长：，第2个图形周长：； 第3个图形周长：；…… 每一次变换，单条边长变为原来的，边数变为原来的4倍，因此 每个图形的周长构成首项为3，公比为的等比数列，通项公式：. 一、单选题 1. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如图所示的几何体，后人称之为 “三角垛”.其最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，第四层有 10 个球，……，则第三十五层球的个数为（ ） A. 　 B. 　 C. 　 D. 【考点】等差数列的应用（三角垛） 【答案】 【解析】第层球数为前个正整数的和，通项公式为： 代入计算：，故选. 2. 《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.从冬至开始的13个节气依次如表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 节气 冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 若《易经》中记录的冬至晷影长为寸，夏至晷影长为寸，则春分的晷影长为（ ） A.寸　 B.寸 　 C.寸　 D.寸 【考点】等差数列的应用（二十四节气的晷影长） 【答案】C 【解析】设各节气晷影长构成等差数列（），其中冬至对应第1项：，夏至对应第13项：，春分对应第7项. 根据等差数列等差中项性质： 代入数据计算：，即春分的晷影长为72.4寸，故本题选C. 3. 某大型金字塔墙体如图所示，最上层码有 2 块长方体石块，第 2 层 6 块石块，第 3 层 10 块石块，以下每层都比其上一层多 4 块石块．已知总层数为奇数，其中中间一层有 310 块石块，则该建筑的总层数为（ ） A．157 B．153 C．155 D．151 【考点】等差数列的应用（金字塔墙体） 【答案】C 【解析】由题意，每层石块数构成等差数列，首项，公差. 设总层数为奇数，则数列中间项为第项，即. 根据等差数列通项公式：，代入数值： 化简求解：，，得 总层数：. 4. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的 “三分损益法”：若以 “宫” 为本音，“宫” 经过一次 “损”，频率变为原来的，得到 “徵”；“徵” 经过一次 “益”，频率变为原来的，得到 “商”…… 依次损益交替变化，获得了 “宫、徵、商、羽、角” 五个音阶.据此可推得（ ） A. “徵、商、羽” 的频率成等比数列 B. “宫、徵、商” 的频率成等比数列 C. “商、羽、角” 的频率成等比数列 D. “宫、商、角” 的频率成等比数列 【考点】等比数列的应用（三分损益法） 【答案】 【解析】设宫的频率为：徵：，商：，羽：，角： 验证徵、商、羽三组频率的比值：，，不符合等比数列定义； 验证宫、徵、商三组频率的比值：，，不符合等比数列定义； 验证商、羽、角三组频率的比值：，，不符合等比数列定义； 验证宫、商、角三组频率的比值：，，符合等比数列定义. 因此选. 5. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若记第个单音的率为，则（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【考点】等比数列的应用（十二平均律） 【答案】D 【解析】由题意可知，数列为等比数列，且公比. 根据等比数列通项公式： 因此可得：，故本题选D. 6. 如图所示，正方形的边长为，连接正方形各边的中点，得第 2 个正方形，再次连接正方形各边的中点，得第 3 个正方形，…，依此进行下去，则第 6 个正方形的面积是（ ） A.　 B.　 C.　 D. 【考点】等比数列的应用（正方形面积递推） 【答案】C 【解析】第1个正方形边长为2，面积. 连接正方形各边中点得到新正方形，新正方形面积为原正方形面积的， 因此各正方形面积构成首项、公比的等比数列. 等比数列通项公式：，代入得：， 即第6个正方形的面积为，故本题选C. 二、多选题 7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.” 马主曰：“我马食半牛.” 今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.” 马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.” 打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还升、升、升粟，斗为升，则下列判断正确的是（ ） A.依次成公比为的等比数列 B.依次成公比为的等比数列 C. D. 【考点】等比数列的应用（牛马羊食苗） 【答案】BD 【解析】单位换算：5斗升，由题意得总赔偿金额：. 判断数列类型：由“羊食半马，马食半牛”可得，，即，，因此是公比的等比数列，B正确，A错误. 根据等比数列求和公式：，，C错误. 再由等比数列通项可得：，D正确. 综上，本题选BD. 8. 如图，将等差数列的前 6 项填入一个三角形的顶点，及各边的中点的位置，图中每个三角形顶点的三项都能构成等差数列，已知前 2026 项之和，则下列描述正确的是（ ） A．该数列为递增数列 B．数列公差 C．数列的首项为 D．数列的通项公式 【考点】等差数列的应用（数项填图） 【答案】BC 【解析】设等差数列首项，公差，则通项： 根据图形中三个点构成等差数列的条件： 成等差：，对等差数列天然成立； 成等差：，代入通项： 展开：，化简得； 由此可得数列是常数列，，公差，故B 正确，A 错误. 等差数列前项和公式： 已知，则，，，代入： ，代入可得：， 解得，故C 正确. 由，通项：，故D 错误. 综上，正确选项为 BC. 三、填空题 9. 夏季高山上，从山脚起每升高，温度降低，已知山顶处的温度为，山脚处的温度为，则山顶相对于山脚的高度为________. 【考点】等差数列的应用（高度与温差） 【答案】 【解析】山脚温度，山顶温度，温差： 每升高降温，设共有个降温段，列方程：，解得. 总高度.故答案为. 10. 现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到 2 张纸片；再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到 3 张纸片，……，依此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，则经过 10 次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为_________. 【考点】等差数列的应用（正方形剪纸） 【答案】 【解析】初始状态：1 张正方形，边数总和为. 规律推导：沿只过多边形的一个顶点剪一刀，原多边形被分成两个多边形，新增 3 条边，边数总和为. 设原多边形边数为 ，剪开后新增 3 条边，总边数变化：，即每剪 1 次，边数总和，构成以3为公差的等差数列. 计算：剪 10 次后，代入等差数列的通项公式可得：. 11. 《九章算术》：今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？题意：5 个人出钱成递增等差数列，爵位从高到低：大夫、不更、簪裹、上造、公士；共出 100 钱，公士（最低爵位）出 28 钱，则 “不更” 出的钱数是____. 【考点】等差数列的应用（“不更” 出钱） 【答案】 【解析】设等差数列为，大夫，不更，簪裹，上造，公士；公差，5 项和：； 末项，代入得：，解得. 不更为. 12. 毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，，，，…，总结规律并以此类推下去，第 8 个图形对应的点数为____，若这些数构成一个数列，记为数列，则____． 【考点】等差数列的应用（小石子排列） 【答案】； 【解析】已知数列： 作差得二级数列： 二级数列为首项4、公差3的等差数列，通项： 累加法求通项：， ， 求第8个图形点数：； 化简求和通项：，数列是首项、公差的等差数列 前21项和：. 1.（2025年湖北省技能高考第32题）用乒乓球垒一个正三棱锥（如图所示），从上往下，第一层个，第二层个，第三层个，共垒层. （1）求第n层垒乒乓球的个数及这n层共垒乒乓球的个数； （2）求当时，n的最小值； （3）若 ，当为整数时，求n的取值. （参考公式：① ； ② .） 【考点】数列通项、数列求和、不等式的整数解（乒乓球垒锥） 【答案】(1) ，；(2) 的最小值为 ；(3) n的取值为 . 【解析】(1) 求 第 层个数： 前 层总和： ； (2)求 时 的最小值 先化简 ： ，由可得 当时，, 当时，, 则的最小值为； (3)求满足条件的 的取值 先计算 ： ，同理 由题意，则 （*）， 当为整数时，为整数，为3的倍数. 将（*）式两边同乘 得， 验证： 当时，； 当时，，但不为3的倍数； 当时，，为3的倍数，满足条件； 当时，; 当时，; 可以看出，当 时，左边增长速度慢于右边，恒成立， 即 时等式不成立，故只有 满足条件. 2.（2023年湖北省技能高考第29题）如图所示，某种生物的细胞分裂时，第 1 次由 1 个分裂成 2 个，第 2 次由 2 个分裂成 4 个，第 3 次由 4 个分裂成 8 个，……. 按照这样的规律，1 个细胞第 6 次分裂得到的细胞个数为______. 【考点】等比数列的应用（细胞分裂） 【答案】 【解析】由细胞分裂规律可得，第次分裂后细胞个数的通项公式为. 将代入通项，得. 3.（1999年湖北省高职统考第11题）某企业在连续四年中,每年上缴的利税成等比数列,第一年上缴160万元,第四年上缴540万元,则四年上缴利税总额为（ ） A.760万元 B.1080万元 C.1300万元 D.1400万元 【考点】等比数列的应用（上缴利税） 【答案】C 【解析】设等比数列首项 ，公比为 ，项数 ，. 由通项公式，代入 得， 由前项和公式，代入 得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $