【甘肃专用】第15练 二项式定理 《数学》拓展模块下册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第15练二项式定理，通过三阶分层设计（基础选择、中档填空、提升解答）构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，适配同步教学“基础+适度提升”需求，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（系数之和、二项式系数）|选择题1直接考查展开式系数之和，降低认知门槛，强化概念理解| |中档|综合运算（特定项系数、杨辉三角）|填空题12结合杨辉三角历史情境，提升数学文化感知与运算准确性| |提升|问题解决（条件选择、多问综合）|解答题15设置条件选择情境，需推理分析不同条件下的n值与特定项，发展逻辑推理与创新意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块下册（高教版第三版） 第八章 排列组合 第 15 练 二项式定理 1、 选择题 1．已知的展开式的各项系数之和为81，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在的二项展开式中，只有第6项的系数最大，则含项的系数为（    ） A．45 B．252 C．210 D．120 3．已知，当的展开式中项系数为3时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为（    ） A．55 B． C．30 D． 5．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6．展开式的常数项为（   ） A． B． C． D． 7．在的二项展开式中，最大的二项式系数的值是（   ） A．6 B．4 C．10 D．12 二、填空题 8．已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 9．已知，那么______，______.（用数字作答） 10．在的展开式中，的系数为___________. 11．的展开式中常数项是______（用数字作答）． 12．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答） 三、解答题 13．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等. (1)求展开式中二项式系数最大的项. (2)求的展开式中的常数项. 14．在的二项展开式中，只有第6项的系数最大，求： (1)的值； (2)二项展开式中所有项的系数之和； (3)含项的系数． 15．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中倒数第3项的二项式系数为15； 条件②：展开式中只有第4项的二项式系数最大； 条件③：展开式中各项的二项式系数和比系数和多63． 问题：已知二项式，其中，若______， (1)求n的值； (2)求展开式中含的项； (3)设二项展开式中各项的系数为，其中，求．（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块下册（高教版第三版） 第八章 排列组合 第 15 练 二项式定理 1、 选择题 1．已知的展开式的各项系数之和为81，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将二项式展开，代入特殊值，即可求解. 【详解】根据题意，将展开， ， 当时， 原式， 又展开式的各项系数之和为81， ， . 故选：B. 2．在的二项展开式中，只有第6项的系数最大，则含项的系数为（    ） A．45 B．252 C．210 D．120 【答案】D 【分析】根据二项式系数的性质求出，再根据二项式展开式求解即可. 【详解】在的二项展开式中，只有第6项的系数最大， 所以，解得. 的二项展开式通项为. 令，解得，进而含项的系数为. 故选：D. 3．已知，当的展开式中项系数为3时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理结合柯西不等式即可求解. 【详解】由二项式定理可得系数为：. 所以，解得. 由柯西不等式可得，， 整理得.即. 当且仅当时，等号成立.所以的最大值为. 故选：. 4．的展开式中的系数为（    ） A．55 B． C．30 D． 【答案】C 【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 令，有， 令，有， 则， 故的展开式中的系数为. 故选：C. 5．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中的系数. 【详解】展开式的通项为， 则的展开式中含项为， 即的系数为. 故选：A. 6．展开式的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】展开式的通项为，， 令，即，得展开式的常数项为. 故选：C. 7．在的二项展开式中，最大的二项式系数的值是（   ） A．6 B．4 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质，结合二项展开通项公式即可得解. 【详解】因为的二项展开式共有5项， 所以二项式系数最大的项为第3项，其二项式系数为. 故选：A 二、填空题 8．已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 【答案】16 【分析】利用二项式系数的增减性，与二展展开式中项的系数即可得解. 【详解】因为， 所以二项式系数的最大值为，则， 含项为，则， 所以. 故答案为：16 9．已知，那么______，______.（用数字作答） 【答案】 1 【分析】把代入已知等式可求出，再把代入已知等式可求出，再结合的值可求得结果. 【详解】把代入已知等式，得， 把代入已知等式，得， 所以， 故答案为 1;． 10．在的展开式中，的系数为___________. 【答案】5 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可解得. 【详解】由题，展开式的通项公式为， 令，解得， 则系数为， 故答案为： 11．的展开式中常数项是______（用数字作答）． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中常数项为． 故答案为：． 12．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答） 【答案】455 【分析】由图观察计算可知第n行第个数为，进而可以求出结果. 【详解】由题图可知，第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，…，观察可得第n行第个数为，所以第15行第13个数为． 故答案为：455. 三、解答题 13．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等. (1)求展开式中二项式系数最大的项. (2)求的展开式中的常数项. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由二项式系数关系及组合数性质得，进而写出二项系数最大项即可； （2）由（1）知二项式为，分别求出前后两个二项式的常数项，即可得结果. 【详解】（1）依题意，由组合数的性质得. 所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为. （2）由（1）知，， 因为二项式的展开式的通项为， 所以的常数项为，的常数项为， 所以的展开式中的常数项为. 14．在的二项展开式中，只有第6项的系数最大，求： (1)的值； (2)二项展开式中所有项的系数之和； (3)含项的系数． 【答案】(1) (2)1024 (3)120 【分析】（1）根据展开式中第六项系数最大求解即可； （2）利用赋值法求解所有项的系数之和即可； （3）利用通项公式求解指定项系数即可； 【详解】（1）因为二线展开式中第6项的系数最大，所以二项式展开式共有11项； 所以 （2）由（1）可知二项式为， 所以令，则， 即二项展开式中所有项的系数之和为1024； （3）由通项公式：, 令，解得； 所以， 所以含的系数为120． 15．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中倒数第3项的二项式系数为15； 条件②：展开式中只有第4项的二项式系数最大； 条件③：展开式中各项的二项式系数和比系数和多63． 问题：已知二项式，其中，若______， (1)求n的值； (2)求展开式中含的项； (3)设二项展开式中各项的系数为，其中，求．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）选择条件①结合即可求出结果；选择条件②结合二项式系数的性质即可求出结果；选择条件③结合即可求出结果；     （2）求出展开式的通项公式，令，进而可求出结果； （3）因为展开式各项的系数与展开式各项的系数完全相同，构造，进而令和，从而可求出结果. 【详解】（1）选择条件①： 展开式中倒数第3项的二项式系数为， 而，所以， 因为，所以． 选择条件②： 因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式中有7项， 所以．     选择条件③： 展开式中各项的二项式系数和为，各项的系数和为， 所以，     因为，所以． （2） 展开式的通项为，． 由，得． 所以展开式中含的项为 （3） 由（1）知，，所以． 因为展开式各项的系数与展开式各项的系数完全相同， 所以令，则 ， ， 所以，， 即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $