第十九章《二次根式》 暑假作业 30题 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 分层设置中考真题、基础与提升题，通过真题感知考情，基础巩固概念运算，提升模块提炼双重根式化简、倒数比较等方法，构建从概念到综合应用的逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |真题感知|10题（2026中考真题）|结合考情感知考点分布|衔接实数运算，关联中考高频考点| |基础练习|10题（阶段检测题）|概念辨析与基本运算技巧|巩固二次根式有意义条件、化简法则| |巩固提高|10题（材料探究题）|双重根式化简、倒数比较法、平方差公式应用|从单一运算到综合应用，发展符号意识与应用意识|

二次根式 暑假作业30题 二次根式是八下代数重点，承接实数运算，支撑勾股定理、一元二次方程、函数等后续重难点，也是中考高频考点，运算能力直接影响整体数学得分。 本套暑假作业精选30题，不搞题海战术，分层设置10道2026年中考真题（真题感知）、10道基础题（基础练习）、10道巩固提升题（巩固提高），循序渐进巩固概念、突破易错点、感受最新中考考情。利用假期专项训练，夯实根式运算基础，稳步提升代数解题能力。 1．（2026·甘肃武威·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则实数的值可以是________________．（请写出一个符合条件的值即可）真题感知 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，求出的取值范围，在取值范围内任取一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴ 解得： 且， 取值范围内的值可以是（答案不唯一）． 2．（2026·甘肃武威·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（2026·四川眉山·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ______ ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 4．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【答案】 【分析】设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得，，从而计算出，，则，最后求平方根即可． 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 5．（2026·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得 6．（2026·云南·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：由题意得：，解得． 7．（2026·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】根据分式的运算直接进行化简求值即可． 【详解】解： 当时， 原式． 8．（2025·吉林·中考真题）计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 9．（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 【答案】2 【详解】解：． 10．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 11．（2026·广西桂林·三模）若是二次根式，则实数x可以是（     ）基础练习 A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据二次根式中被开方数必须为非负数，求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵是二次根式 ∴根据二次根式的性质，被开方数为非负数，可得 解不等式得 选项中，，都小于，只有D选项的满足，符合要求． 12．（2026·河南周口·模拟预测）请写出一个使二次根式有意义的x的值______． 【答案】0（答案不唯一，任意满足的值均可） 【分析】根据被开方数为非负数列出不等式求解得到x的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：由题意，得 解得 取该范围内一个x的值即可，如取． 13．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 14．（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定被开方数需大于0，解不等式即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算______． 【答案】 【分析】先将原式中的两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 16．（2026年上海市中考数学试题）计算： 【答案】 【分析】本题考查零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简以及分母有理化的知识． 先分别化简每一项，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 17．（25-26八年级下·北京·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3)2 (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（江苏南京联合体2025-2026学年下学期期末学情调研八年级数学）与相乘，积为有理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘法法则或平方差公式计算乘积，再判断结果是否为有理数即可． 【详解】解：A选项：，结果是无理数，不符合要求； B选项，结果是无理数，不符合要求； C选项：，结果是无理数，不符合要求； D选项：，是有理数，符合要求． 19．（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）已知，，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：原式 ， 代入，， 得，， ∴原式． 20．（2022·江苏苏州·模拟预测）若，则______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：要使二次根式和有意义，满足 ， 解得， 将代入，得：， 所以． 21．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）先化简，再求值：，其中．巩固提高 【答案】， 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 22．（2026·重庆·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ， ∴原式 . 23．（23-24八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 【答案】 ， 【分析】先对括号内式子通分，再将除法转化为乘法，利用平方差公式化简后，代入、的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． 24．（23-24八年级上·上海·期中）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用平方差公式简化计算，通过换元法可快速求解，考察对平方差公式的灵活应用 【详解】解：设， 由题意得 ， ∴ ∵ ∴将代入得 解得 即所求 25．（25-26八年级下·北京·期中）阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 26．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 【答案】(1) (2) ； (3) ， 【分析】（1）利用题干给出的分母有理化的方法化简即可； （2）取倒数比较正数大小求解即可；运用平方比较正数大小的方法求解即可； （3）分别两式相乘和两式相除，得到与的数量关系，解关于、的方程组即可． 【详解】（1） 解：； （2） 解： ，， ，， ， ， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，倒数大的反而小，得； ，， ， ，即， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得； （3） 解：， 得，， 整理得， 得，， 整理得， 两边平方得， 整理得， 将代入得 ， 化简得， ， ，解得， ， 即，． 27．（25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 28．（23-24八年级上·上海·阶段检测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 【答案】 【分析】利用分式的计算推出，即可求出的值． 【详解】∵， ∴， ， …… ， …… ， ∴， ∴． 29．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2042 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可； （3）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：是关于4的“美好数”， ∴ ∴ 30．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算即可得到答案； （3）分母有理化得到，则可证明，把所求式子变形为，进一步可变形为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）设n为正整数， 则 ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次根式 暑假作业30题 二次根式是八下代数重点，承接实数运算，支撑勾股定理、一元二次方程、函数等后续重难点，也是中考高频考点，运算能力直接影响整体数学得分。 本套暑假作业精选30题，不搞题海战术，分层设置10道2026年中考真题（真题感知）、10道基础题（基础练习）、10道巩固提升题（巩固提高），循序渐进巩固概念、突破易错点、感受最新中考考情。利用假期专项训练，夯实根式运算基础，稳步提升代数解题能力。 1．（2026·甘肃武威·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则实数的值可以是________________．（请写出一个符合条件的值即可）真题感知 2．（2026·甘肃武威·中考真题）计算：． 3．（2026·四川眉山·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ______ ． 4．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 5．（2026·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 6．（2026·云南·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·吉林·中考真题）计算：________． 9．（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 10．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是____________． 11．（2026·广西桂林·三模）若是二次根式，则实数x可以是（     ）基础练习 A． B． C．0 D．1 12．（2026·河南周口·模拟预测）请写出一个使二次根式有意义的x的值______． 13．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）计算：． 14．（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 15．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算______． 16．（2026年上海市中考数学试题）计算： 17．（25-26八年级下·北京·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（江苏南京联合体2025-2026学年下学期期末学情调研八年级数学）与相乘，积为有理数的是（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）已知，，求代数式的值． 20．（2022·江苏苏州·模拟预测）若，则______． 21．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）先化简，再求值：，其中．巩固提高 22． （2026·重庆·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 23．（23-24八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中：，． 24．（23-24八年级上·上海·期中）若，则的值为_____． 25．（25-26八年级下·北京·期中）阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3) 计算，请直接写出最后的化简结果． 26．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 27．（25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 28．（23-24八年级上·上海·阶段检测）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 29．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 30．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $