精品解析：2022年山西省中考数学押题仿真卷

山西省2022年中考押题仿真卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本大题共10个相同，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把一块含有30°角（∠A＝30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在长方形桌面CDEF的一个顶点处，桌面的另一个顶点F在三角板斜边AB上，如果∠1＝50°．那么∠AFE＝（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 4. 2022年6月4日，“神十四”发射成功并于次日与空间站组合体成功实现自主快速交会对接，航天员乘组从返回舱进入轨道舱，这是我国航天事业又一个伟大成就．某中学为此举行航天知识竞赛活动，其中甲、乙两队学生的竞赛成绩如下表所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，这是数学美的一个重大发现，从此黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB=2，BD=4，则OE的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 2 D. 4 7. 如图，在平行四边形 中， ，，．按以下步骤作图：①以 为圆心，以适当长为半径作弧，交 、 于 、 两点；②分别以 、 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线交 于点 ，交 边于点 ；则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 9. 如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图所示， 中，，将边绕点C逆时针旋转交 于点F，取弧的中点E，过点E作交于点D，若线段，则阴影部分的面积为（ ） A. － B. － C. D. － 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若多项式可以分解因式，则m的值可以是_______（只写出一个即可）． 12. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度________． 13. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是______． 14. 如图 ，直线与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段 上，动点Q在线段上，连接，且满足，当线段最小时，的度数为_______ 15. 如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答问题： （1）计算： （2）数学课上，老师把一个同学对多项式进行因式分解的过程写在黑板上∶ 解∶设，则原式（第一步） （第二步）（第三步）＝（第四步） 回答下列问题 ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ） A、提取公因式法 B、两数和的完全平方公式 C、平方差公式 D、两数差的完全平方公式 ②该同学因式分解的结果是否正确 （填“正确”或者“不正确”）若不正确，请你说出原因，并写出正确结果 17. 如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为 ，在第四象限的交点为 ，直线（为坐标原点）与函数的图象交于另一点 ．过点 作 轴的平行线，过点 作轴的平行线，两直线相交于点 ，的面积为6． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点 ， 的坐标和的面积． 18. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题： （1）分别写出yA、yB与x之间的关系式； （2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ （3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案． 19. 为了更好地利用体育课因材施教，提高学生体质水平，某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分，为了了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析． （1）以下是两位同学关于抽样方案的对话： 小颖：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．” 小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩” 根据下方学校信息，请你简要评价小颖、小明的抽样方案． 如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案． （2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如下统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数． （3）如果将A、B两个等级的学生称为良好体质，那么该校2000名学生中良好体质的学生有多少人？ 20. 舍利生生塔位于晋祠南端，建于隋开皇年间，宋代重修，清乾隆十六年（1751年）重建．七屋八角，琉璃瓦顶，远远望去，高耸的古塔，映衬着蓝天白云，甚是壮观．原塔内每层均有佛像，开4门8窗，凭窗远眺，晋祠内外美景可一览无余．如果在夕阳西下时欣赏宝塔，还会出现——天云锦、满塔光辉的壮丽景观，被誉为“宝塔披霞”．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量舍利生生塔高”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量舍利生生塔高 测量示意图 说明：某同学在地面上选择点C，使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AHE＝α，沿CB方向前进到点D，测量出C，D之间的距离CD＝xm，在点D使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AFE＝β 测量数据 α的度数 β的度数 CD的长度 该同学眼睛离地面的距离HC 24° 37° 32m 1.76m … … （1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求塔高AB．（结果精确到1m；参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 21. 阅读与思考 阿基米德（公元前287年~公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家数学家、物理学家、力学家静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题ABAB是⊙OO的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上AB上取点点E，使AD＝DE，点F是上一点，且，连结BF可得BF＝BE． （1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE． （2）如图2所示，若直径AB＝10，EO＝OB，作直线l与⊙OO相切于点F．过点B作BP⊥l于点P，求BP的长． 22. 【探究证明】 （1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： ； 【结论应用】 （2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则的值为 ； 【联系拓展】 （3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值． 23. 综合与探究 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段 的两个端点，，分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段 的中点，现将线段绕点B按顺时针方向旋转 得到线段 ，抛物线经过点D， （1）求点D的坐标； （2）如图1，若该抛物线经过原点O，和点． ①求该抛物线的解析式； ②连接，在抛物线上是否存在点P，使得与互余？若存在，请求出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由 （3）如图2，若抛物线经过点，且点Q在抛物线上，满足与互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2022年中考押题仿真卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题（本大题共10个相同，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 下列算式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：根据同底数幂乘法法则，故A错误； 对于选项B：根据二次根式除法法则，，故B错误； 对于选项C：根据负整数指数幂的性质，，故C错误； 对于选项D：计算分式减法可得，，等式成立，故D正确． 3. 如图，把一块含有30°角（∠A＝30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在长方形桌面CDEF的一个顶点处，桌面的另一个顶点F在三角板斜边AB上，如果∠1＝50°．那么∠AFE＝（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形CDEF为长方形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可． 【详解】解：∵四边形CDEF为长方形， ∴EF∥DC， ∴∠AGE=∠1=50°， ∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A=30°， ∴∠AFE=∠AGE-∠A=20°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 4. 2022年6月4日，“神十四”发射成功并于次日与空间站组合体成功实现自主快速交会对接，航天员乘组从返回舱进入轨道舱，这是我国航天事业又一个伟大成就．某中学为此举行航天知识竞赛活动，其中甲、乙两队学生的竞赛成绩如下表所示，下列关系完全正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出两队竞赛成绩的平均数和方差，进行比较即可． 【详解】解：甲队学生的竞赛成绩为60，70，70，60，80， 平均数为， 方差． 乙队学生的竞赛成绩为70，80，80，70，90， 平均数为， 方差． ∴，． 5. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，这是数学美的一个重大发现，从此黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，黄金分割点将线段分为两段，较长线段是整条线段与较短线段的比例中项，结合“至少走米”确定是较短线段，较长线段为，据此列方程判断即可，本题考查黄金分割的定义与一元二次方程的实际应用，掌握黄金分割的定义是解题关键． 【详解】∵舞台全长为米，主持人至少走米到达黄金分割点， ∴为较短线段长，较长线段长为 ，根据黄金分割的定义：较长线段的平方等于整条线段长与较短线段长的乘积， ∴． 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB=2，BD=4，则OE的长为（　　） A. 6 B. 5 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论. 【详解】 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， . 故选： . 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键. 7. 如图，在平行四边形 中， ，，．按以下步骤作图：①以 为圆心，以适当长为半径作弧，交 、 于、 两点；②分别以、 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线交 于点 ，交 边于点 ；则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图知，平分 ，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，推出是等边三角形，得到，根据相似三角形的性质求得，过A作交 的延长线于G，根据勾股定理得到 的长，于是得到结论． 【详解】解：由作图知，平分 ， ∵， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 过A作交 的延长线于G， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 9. 如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G，判定△ADF≌△AEC（SAS），即可得出DF＝CE，再根据勾股定理求得CE的长，即可得到DF的长． 【详解】解：如图，连接BE，CE，过E作EG⊥BC于G， 由旋转可得，AB＝AE＝1＝AD，AC＝AF，∠BAC＝∠EAF＝45°＝∠DAC， ∴∠CAE＝∠FAD， ∴△ADF≌△AEC（SAS）， ∴DF＝CE， 由旋转可得，AB＝AE＝1，∠BAE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝1，∠ABE＝60°， ∴∠EBG＝30°， ∴EG＝BE＝，BG＝， ∴CG＝1−， ∴Rt△CEG中，CE＝, 故选A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 10. 如图所示， 中，，将边 绕点C逆时针旋转交 于点F，取弧的中点E，过点E作交 于点D，若线段，则阴影部分的面积为（ ） A. － B. － C. D. － 【答案】C 【解析】 【分析】连接 ，证明，进一步得到，过点 作于点，求出，，得到扇形的半径为，利用即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接 ， ∵将边 绕点C逆时针旋转交 于点F，， ∴， ∵弧的中点为E， ∴， ∵， ∴， ∴， 在 中，， ∴， ∴， 过点 作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的半径为， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若多项式可以分解因式，则m的值可以是_______（只写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】利用二次项系数为1的二次三项式的十字相乘法分解因式，将常数项分解为两个整数的乘积，一次项系数m等于这两个整数的和，写出任意一个符合条件的m即可． 【详解】解：设多项式 可分解为 ，其中 为整数 展开得   对比系数可得 ，   取 ， ， 满足   此时 （答案不唯一）． 12. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到：， 解得． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：4． 13. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种， 则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故答案为： 14. 如图 ，直线与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段 上，动点Q在线段上，连接，且满足，当线段最小时，的度数为_______ 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点，过点 作于点 ．设，．证明，推出，构建一元二次方程，利用根的判别式，求出的最小值即可，此时，所以，则可求，所以，则可求． 【详解】解：如图，过点作于点，过点 作于点 ．设，． 直线与坐标轴相交于 、 两点， 令得，令得， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，，， 在中，，， ， 整理得，， ， ， ， 解得，（舍去）或， 的最小值为2， 的最小值为2，此时， ， ， ， ． 15. 如图，在中，，，，点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个长度单位/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当的平分线恰好经过的中点时，t的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接，可证明，，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点F，记的中点为过点M作于点连接， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ∴当的平分线恰好经过的中点时，． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答问题： （1）计算： （2）数学课上，老师把一个同学对多项式进行因式分解的过程写在黑板上∶ 解∶设，则原式（第一步） （第二步）（第三步）＝（第四步） 回答下列问题 ①该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ） A、提取公因式法 B、两数和的完全平方公式 C、平方差公式 D、两数差的完全平方公式 ②该同学因式分解的结果是否正确 （填“正确”或者“不正确”）若不正确，请你说出原因，并写出正确结果 【答案】（1） （2）①B； ②不正确；该同学因式分解的结果不彻底；. 【解析】 【分析】（1）计算零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后计算即可． （2）①由题意根据题干所给分解因式的过程直接得出答案；②根据题意可知该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：①该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式． ②该同学因式分解的结果不正确，原因：该同学因式分解的结果不彻底， 设，则原式； ． 17. 如图，反比例函数与一次函数的图象在第二象限的交点为 ，在第四象限的交点为 ，直线（为坐标原点）与函数的图象交于另一点 ．过点 作 轴的平行线，过点 作轴的平行线，两直线相交于点，的面积为6． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点 ， 的坐标和的面积． 【答案】（1）；（2）的面积为 【解析】 【分析】（1）联立与求解的坐标，利用得到关于原点成中心对称，求解 的坐标，结合已知得到的坐标，利用面积列方程求解即可得到答案； （2）由（1）得到的值，得到的坐标， 的解析式，记 与 轴的交点为 求解 的坐标，利用可得答案． 【详解】解：（1）由题意得： 当 当 经检验：符合题意． ＜ 为与的交点， 轴，轴， 的面积为6． 反比例函数的解析式为： （2） 直线 为， 记 与轴的交点为 ， 令 则 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与一次函数的性质，考查了方程组与一元二次方程的解法，图形与坐标，图形面积问题，掌握以上知识是解题的关键． 18. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题： （1）分别写出yA、yB与x之间的关系式； （2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？ （3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案． 【答案】解：（1） yA=27x+270，yB=30x+240；（2）当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x=10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算；（3）先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球． 【解析】 【分析】（1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式； （2）分三种情况进行讨论，当yA=yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案； （3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论． 【详解】解:（1）由题意，得yA=（10×30+3×10x）×0.9=27x+270； yB=10×30+3（10x﹣20）=30x+240； （2）当yA=yB时，27x+270=30x+240，得x=10； 当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，得x＜10； 当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，得x＞10 ∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x=10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算． （3）由题意知x=15，15＞10， ∴选择A超市，yA=27×15+270=675（元）， 先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球： （10×15﹣20）×3×0.9=351（元）， 共需要费用10×30+351=651（元）． ∵651元＜675元， ∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意确列出函数关系式是本题的解题关键. 19. 为了更好地利用体育课因材施教，提高学生体质水平，某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分，为了了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析． （1）以下是两位同学关于抽样方案的对话： 小颖：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．” 小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩” 根据下方学校信息，请你简要评价小颖、小明的抽样方案． 如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案． （2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如下统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数． （3）如果将A、B两个等级的学生称为良好体质，那么该校2000名学生中良好体质的学生有多少人？ 【答案】（1）两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查，小颖的方案考虑到性别的差异，但没有考虑年级学段的差异，小明的方案考虑到了年级特点，但没有考虑到性别的差异，他们抽样调查不具有广泛性和代表性； 抽样方案：七、八、九年级各取40人，且男女生人数各20人． （2）这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分，众数是3分． （3）1250 【解析】 【分析】（1）根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可；然后再根据抽样的要求给出抽样方案即可． （2）根据中位数、众数的意义求解即可． （3）用样本估计总计即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：平均数为（分）， 抽查的120人中，成绩是3分出现的次数最多，共出现45次， 因此众数是3分； 将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分， 因此中位数是3分； 答：这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分，众数是3分． 【小问3详解】 解：（人） 答：该校2000名学生中良好体质的学生有1250人． 20. 舍利生生塔位于晋祠南端，建于隋开皇年间，宋代重修，清乾隆十六年（1751年）重建．七屋八角，琉璃瓦顶，远远望去，高耸的古塔，映衬着蓝天白云，甚是壮观．原塔内每层均有佛像，开4门8窗，凭窗远眺，晋祠内外美景可一览无余．如果在夕阳西下时欣赏宝塔，还会出现——天云锦、满塔光辉的壮丽景观，被誉为“宝塔披霞”．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量舍利生生塔高”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表： 课题 测量舍利生生塔高 测量示意图 说明：某同学在地面上选择点C，使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AHE＝α，沿CB方向前进到点D，测量出C，D之间的距离CD＝xm，在点D使用手持测角仪，测得此时楼顶A的仰角∠AFE＝β 测量数据 α的度数 β的度数 CD的长度 该同学眼睛离地面的距离HC 24° 37° 32m 1.76m … … （1）请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，求塔高AB．（结果精确到1m；参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 【答案】（1）约为38m；（2）还需要补充的项目为：计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一，合理即可．） 【解析】 【分析】（1）易知四边形HCDF是矩形，四边形FDBE是矩形，结合三角函数的定义求出AE和BE长即可得出答案； （2）如要补充：计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一，合理即可．） 【详解】解：（1）在Rt△AFE中，tan∠AFE＝，∠AFE＝37°， ∴， ∵∠HCD＝90°，∠FDC＝90°， ∴HC∥FD， 又∵HC＝FD， ∴四边形HCDF是矩形， ∴HF＝CD＝32m． 在Rt△AHE中，tan∠AHE＝＝≈0.45， 解得：AE＝36． 同理，四边形FDBE是矩形，则BE＝FD＝HC＝1.76m， ∴AB＝AE+BE＝36+1.76=37.76≈38（m）． 答：塔高AB约为38m． （2）还需要补充的项目为：计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一，合理即可．） 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 阅读与思考 阿基米德（公元前287年~公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家数学家、物理学家、力学家静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题ABAB是⊙OO的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上AB上取点点E，使AD＝DE，点F是上一点，且，连结BF可得BF＝BE． （1）将上述问题中弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE． （2）如图2所示，若直径AB＝10，EO＝OB，作直线l与⊙OO相切于点F．过点B作BP⊥l于点P，求BP的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接CE、BC，证出△CEB≌△CFB，则可得出结论； （2）先求BE长，证出△AFB∽△FPB，得比例线段即可求出BP长． 【小问1详解】 解：如图1所示，连接CE、BC， ∵CD⊥AB，AD=DE， ∴AC=CE， ∴∠CAE=∠CEA， 又∵， ∴CA=CF，∠FBC=∠EBC， ∴CE=CF， 又∵∠A+∠F=180°，∠CEA+∠CEB=180°， ∴△CEB≌△CFB（AAS）， ∴BE=BF； 【小问2详解】 解：如图2所示，连接AF， ∵AB=10，EO=OB， ∴EB=7.5， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∵l与与⊙O相切于点F， ∴∠OFP=90°， ∴∠AFO=∠BFP， 又∵OF=OA， ∴∠OAF=∠OFA， ∴∠OAF=∠BFP， ∵BP⊥l于点P， ∴∠BPF=90°， ∴△AFB∽△FPB， ∴=， 即， ∴BP＝． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识． 22. 【探究证明】 （1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明． 如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证： ； 【结论应用】 （2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若 ，则的值为 ； 【联系拓展】 （3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，易证AP=EF，GH=BQ，可判定△PDA∽△QAB，根据相似三角形的性质即可证得结论； （2）由（1）中的结论可得到，问题得到解决； （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决． 【详解】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形， ∴AP=EF，GH=BQ． 又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ， ∴∠QAT+∠AQT=90°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠D=90°， ∴∠DAP+∠DPA=90°， ∴∠AQT=∠DPA． ∴△PDA∽△QAB， ∴ ， ∴ ； （2）如图2， ∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）中的结论可得 ， ∴ （2）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3， 则四边形ABSR是平行四边形． ∵∠ABC=90°， ∴▱ABSR是矩形， ∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS． ∵AM⊥DN， ∴由（1）中的结论可得 ． 设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y， ∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①， 在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②， 由②﹣①得x=2y﹣5③， 解方程组 ，得 （舍去），或 ， ∴AR=5+x=8， ∴ ． 【点睛】本题四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用(1) 中的结论是解决第(2)(3)小题的关键． 23. 综合与探究 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段 的两个端点，，分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段 的中点，现将线段绕点B按顺时针方向旋转 得到线段 ，抛物线经过点D， （1）求点D的坐标； （2）如图1，若该抛物线经过原点O，和点． ①求该抛物线的解析式； ②连接，在抛物线上是否存在点P，使得与互余？若存在，请求出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由 （3）如图2，若抛物线经过点，且点Q在抛物线上，满足与互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②在抛物线上存在点，，使得与互余 （3）a的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）过点D作轴于点F，可证，即可求得D点的坐标； （2）①把点D和点的坐标代入抛物线即可求抛物线的解析式； ②由C、D两点的纵坐标都为1可知轴，所以，又因与互余，若要使得与互余，则需满足，设点P的坐标为．分两种情况：第一种情况，当点P在x轴上方时，过点P作轴于点G，由可得，解得a的值后代入，求得的值即可得点P的坐标；第二种情况，当点P在x轴下方时，利用同样的方法可求点P的坐标； （3）抛物线过点E、D，代入可得，分两种情况即可：①当抛物线开口向下时，满足与互余且符合条件的Q点的个数是4个，点Q在x轴的上、下方各有两个；②当抛物线开口向上时，满足与互余且符合条件的Q点的个数是4个，再结合一元二次方程根的判别式即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图，过点D作轴于点F， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴D点的坐标是． 【小问2详解】 解：①由题意知，抛物线经过点，和原点， ∴， 解得，， ∴该抛物线的解析式为； ②∵点C为线段 的中点， ∴C、D两点的纵坐标都为1， ∴轴， ∴， ∴与互余， 要使得与互余，则需满足， 设点P的坐标为， （i）当点P在x轴的上方时，过点P作轴于点G， ∴，即， ∴，解得，（舍去）， ∴， ∴点P的坐标是； （ii）当点P在x轴的下方时，过点P作轴于点H，则, ∴，解得，（舍去）． ∴， ∴点P的坐标是， 综上所述，在抛物线上存在点，，使得与互余． 【小问3详解】 解：如图，∵，， 将点D，E代入得：，解得：， ∴， 此时分情况讨论： ①当抛物线开口向下时，若满足与互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个． （i）当点Q在x轴的下方时，直线与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个； （ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线与抛物线线有两个交点，抛物线与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，解得a＜； ②当抛物线开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个， （i）当点Q在x轴的上方时，直线与抛物线有两个交点，符合条件的点Q有两个； （ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线与抛物线有两个交点，符合条件的点Q有两个， 根据（2）可知，要使得与互余，则必须， ∴， 设在直线上，直线的解析式为， ∴， ∵点Q在x轴下方， ∴， 则直线的解析式为，要使直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，a的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $