江西赣州立德虔州高级中学2025-2026学年高一下学期6月素养训练数学试题

**基本信息** 高一数学月考卷覆盖必修二重点内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合复数、向量、三角函数等知识，突出数学思维与应用能力，适配基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数（1,9）、向量（2,7,10）、三角函数（3,5,11）|单选基础辨析（如6题充要条件），多选综合判断（如10题向量垂直与平行）| |填空题|3题15分|扇形（12）、复数模（13）、解三角形应用（14）|14题结合测量情境，体现数学眼光| |解答题|5题77分|三角恒等变换（15）、向量数量积（16）、解三角形（17,18）、函数最值（19）|18题融合面积与中线、角平分线，19题含参数讨论，考察逻辑推理与数学语言表达|

高一数学训练 注意事项: 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:北师大版必修第二册第一章至第五章。 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B．－2 C． D．2 3．函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 4．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 8．设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边于点D，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若复数，则（    ） A．的实部是 B． C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．已知向量，，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为 B．若，则与的夹角为锐角 C．若，则的值为 D．若，则 11．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点中心对称 D．在上的值域为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 13．已知，复数，则___________. 14．如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________.    四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 16．如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． (1)求的值； (2)求证：． 17．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求边上的高. 18．已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 19．已知函数. (1)求的零点； (2)设函数的最大值为，求的解析式； (3)若任意，存在，使，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B B A A AD AC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】由复数的除法结合复数的虚部计算可得. 【详解】由，得的虚部为. 故选：B 2．D 【分析】先求得向量的坐标，再根据与共线求解. 【详解】解：因为向量，， 所以向量， 因为与共线， 所以， 解得， 故选：D 3．A 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 4．C 【分析】对于正切函数，其最小正周期公式为. 【详解】由题意可得. 故选：C 5．B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 6．B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 7．A 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可 【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点， 所以 , 故选：A 8．A 【分析】根据题意利用等面积法结合面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 即，解得. 故选：A. 9．AD 【分析】由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可. 【详解】， 则， 所以的实部是，， ， 在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 所以AD正确，BC错误， 故选：AD 10．AC 【分析】由向量垂直的坐标表示直接计算即可判断A；由向量夹角为锐角得且与不共线，列式求解即可判断B；由向量平行的坐标表示直接计算即可判断C；先由向量垂直的坐标表示直接计算求解t，再依次计算相应向量模长即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得且， 所以当且时与的夹角为锐角，故B错误； 对于C，因为，所以，解得，故C正确； 对于D，由题意得，. 因为，所以，解得， 当时，，， 此时，，，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 12． 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 13．5 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由， 则，解得， 所以. 故答案为：5. 14． 【分析】在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】如图，在中，，所以. 在中，因为，所以. 由正弦定理得,故，故， 在中，易得. 故答案为：60.    15．(1) (2)值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 17．(1) (2)2 【分析】（1）利用正弦定理，可把转化成，再借助辅助角公式和三角形内角的取值范围，可求角. （2）借助，可得，再利用余弦定理可求边，再利用三角形面积公式可求边上的高. 【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以， 所以， 整理，得，即， 又，所以， 所以，故. （2）由的面积为，得，所以. 由余弦定理，得， 所以， 设边上的高， 由，解得. 18．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由得，解该方程即可得解； （2）先由题设得，构造函数，分、和三种情况结合二次函数单调性分析讨论即可求解. （3）求出最小值和的最小值即可求解. 【详解】（1）令，则， 所以的零点是. （2）， 设，则，， 由二次函数在上的单调性可知 当即时，； 当即时，； 当即时，， 所以. （3）由条件可知的最小值不小于的最小值， 因为，所以的最小值是， ， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 若时，当，取得最小值， 所以，且，故， 综上所述，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $