第一章 第9-10节 指数函数与对数函数、幂函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕指数对数运算、指对幂函数等核心考点，按“运算基础—函数性质—综合应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如指对互换技巧）、真题训练（含2024全国甲卷等真题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破运算与函数性质综合应用难点。 资料以分层练习（基础变式与提高题）和实际应用（如疫情爆发模型）为特色，通过“问题情境—数学建模—运算求解”教学活动（如例3引导建立指数函数模型），培养学生数学眼光与思维，结合真题即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2026-2027学年度高三数学总复习-第一章 第9节 指数与对数的运算 指、对、幂运算是研究指、对、幂函数的基础，也是高考的必考点．常以运算为基本要求命题，然后以其图象与性质提升难度，与导数结合可达到试题的最高难度． 一、高考核心考点 1．两个结论 （1）（先开方，后乘方）①当为偶数时，；②当为奇数时，. （2） ①为偶数时， ②为奇数时，，. 2．指数运算 （1）分数指数幂 ①，特别地，；②；③． 其中，，且． （2）运算性质 ① ，；②；③，． 其中，，． 2．对数运算 （1）对数定义: ，其中，且． （2）常用对数记为，自然对数记为，无理数 （3）常用关系式：，，，． （4）运算法则 ①，，． ②换底公式：（，且；，且；）． ③补充：（，）；． 二、典例分析 1．指数运算 【例1】（1）计算：； 【解析】原式． （2）已知，，求的值． 【解析】因为，，所以． 【感悟提升】计算中遇到根式、小数等，常化为分数指数幂形式，然后再用有理数下的指数运算律解决． 【题组变式1】 变式1-1：若，，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由基本不等式，得，当且仅当即时取等号，所以的最小值是． 2．对数运算与指对互换 【例2】（1）计算； 【答案】【解析】原式 ． （2）已知，，则_______． 【答案】 【解析】由，得，，所以 ，解得． 【感悟提升】对于对数与指数的混合运算，首先要想到指对转换，然后利用指数或对数的常见恒等式解决． 【题组变式2】 变式2-1：已知为正实数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】在A中，左边，故A错； 在B、D中，右边，故D对，B错； 在C中，取，代入中，得，该式显然不成立． 变式2-2：计算：（1）； 【解析】原式．故选A． （2）； 【解析】原式． （3）． 【解析】方法1： ． 方法2： ． 方法3： ． 变式2-3：已知直线与曲线及分别相交于，两 点，且，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，且，所以，，由，得，所以，所以，所以．故选C． 变式2-4：若，，，，则下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由，得；由，得，又，所以，所以．故选B． 变式2-5：设则 ． 【答案】 【解析】，因为，所以 ，所以． 变式2-6：设，，．若，且，则的最大值为 . 【答案】【解析】因为，所以，，又，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最大值为． 变式2-7：若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，所以，得，即，化为，又因为，，且，解得，所以．故选C． 变式2-8：（2024全国甲卷）已知，，则______． 【答案】 【解析】由题，整理得， 或，又，所以，故． 变式2-9：（2022浙江卷）已知，，则 ． 【答案】 【解析】因为，，即，所以． 变式2-10：方程的解为 ． 【答案】【解析】由，得，所以． 变式2-11：已知不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 ，即 ，即 ，所以 ，故不等式的解集为．故选D． 变式2-12：（2025新课标1卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【解析】方法1：设，令，则，，，此时，A有可能； 令，则，，，此时，C有可能； 令，则，，，此时，D有可能，故选B． 方法2：设，所以，，，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数，，的图象，以上方程的根分别是函数，，的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，．故选B． 3．指对幂的实际应用 【例3】专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得．故选A． 【感悟提升】对于指对幂函数的实际应用问题，首先应建立恰当的函数模型，将题中所给数据代入，通过指对幂运算化简、变形，如涉及复杂式子往往要整体代入，最后求得所需变量的值． 【题组变式3】 变式3-1：心理学家有时使用函数来测定在时间（单位：）内能够记的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有个单词要记忆，记忆率，则该学生要求记忆个单词大约需要（    ） （） A． B． C． D． 【答案】B【解析】令，可得． 变式3-2：基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入亿元进行基础建设，年后产生亿元社会经济效益．若该市投资基础建设年后产生的社会经济效益是投资额的倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B【解析】由条件得，所以，即．设投资年后，产生的社会经济效益是投资额的倍，则有，解得，．所以再过年，该项投资产生的社会经济笑意是投资额的倍． 变式3-3：2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（    ） A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙 【答案】A 【解析】设提价前价格为1，则甲提价后价格为，乙提价后价格为，丙提价后价格为：，因为，所以，所以，即乙>甲>丙． 变式3-4：某灭活疫苗的有效保存时间（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【答案】C 【解析】由题意知，，所以， 所以，所以，所以． 2026-2027学年度高三数学总复习-第一章 第10节 指数函数与对数函数、幂函数 指、对、幂函数是高考的重点．其难点并不在于指、对、幂函数本身，而是以其为背景，综合考查函数的图象与性质，涉及解析式与求值、图象、奇偶性，单调性，其中单调性是重点，这一点在导数中显得更为突出． 一、高考核心考点 1．指数函数定义:形如（常数且）叫指数函数，为自变量．函数的定义域为，值域为，定点，当时，函数在上是递增，当时，函数在上是递减． 2．对数函数定义：常数且叫对数函数，为自变量．函数的定义域为，值域为，定点，当时，函数在上是递增，当时，函数在上是递减． 3．函数图象 指数函数(且)的图象中的三个关键点：，，；对数函数的图象中的三个关键点：，，． 处理方法：（1）利用图象变换（平移、对称或翻折、奇偶性与单调性）作出图象； （2）取特殊值排除． 4．指数与对数函数的性质的运用 （1）定义域优先；（2）底数与的大小关系，指数函数的单调性是由底数的大小决定的，解题时通常对底数按“”和“”讨论；（3）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 5．幂函数（为常数）的单调性：当时，在上递增；当时，在上递减． 二、典例分析 1．定义域与值域 【例1】已知集合，，则（ ） A． B．，或 C．，或 D．，或 【答案】C 【解析】，， 所以，或．故选C． 【针对练习1-1】下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，真数，故. 在一次函数中，，，故A错； 在对数函数中，，，故B错； 在指数函数中，，，故C错； 在函数中，易知，由知，故D对． 【针对练习1-2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，即，所以；由得，所以，所以．故选A． 【针对练习1-3】使“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则，解得， 对于A，，，则“”为“”的必要不充分条件，A错误； 对于B，，，则“”为“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，“”为“”的充要条件，C错误； 对于D，，，则“”为“”的必要不充分条件，D错误． 故选B． 【针对练习1-4】函数的定义域为 . 【答案】 【解析】因为函数，所以，可得，解得，所以函数的定义域为． 【针对练习1-5】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得的值域为．故选B． 2．指对幂函数的图象 【例2】已知函数(其中)的图象如图所示， 则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的图象知，，，则在上递减，且，所以的图象可看作是的图象向下平移个单位长度而得到，所以图象与轴交点在轴下方．故选A． 【感悟提升】①；②； ③；④. 口诀：左“加”右“减”，上“加”下“减”． ③的图象的图象：去掉的部分，保留的部分，再作这部分关于轴对称的图象；的图象的图象：保留的部分，再将部分沿轴翻折到轴上方. 【针对练习2-1】若函数且的大致图象如图，则函数的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，根据函数的图象，可得，，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合．故选C． 【针对练习2-2】（提高）：已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为，根据题意和函数图象可知，有两个根，则有个根，的图象如图所示， 结合图象可知，要使方程有个根，则有． 【针对练习2-3】若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令，得，解得，或，又，作出的图象，如图所示．由图知，当的定义域为， 值域为时，，即实数的取值范围是． 3．对数函数的单调性与不等式 【例3】函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】因为，所以函数的定义域为或，令，则，因为在单调递减，且在单调递减，在单调递增，由复合函数的单调性可知的单调增区间为． 【针对练习3-1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在定义域内均单调递增，所以在定义域单调递增，又，所以不等式，即不等式的解集为．故选A． 【针对练习3-2】设函数，则（ ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】由，得定义域为，关于原点对称，又，所以为定义域上的奇函数，排除A、C； 当时，，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，排除B； 当时，，令，由反比例函数图象知，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知，在上单调递减．D正确． 4.已知单调性求参数范围 【例4】（2023乙卷理）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即故，结合题意得实数的取值范围是． 【针对练习4-1】若函数且在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足，且； 所以要使函数在上为减函数，须满足即解得，所以的取值范围是．故选C． 【针对练习4-2】（2023新高考1卷）设在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是．故选D． 5．单调性与奇偶性结合 【例5】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故 ，而的定义域为，它关于原点对称，故为上的偶函数.当时，令，由对勾函数的单调性可得在上为增函数，且，而在上为增函数，故在上为增函数，而在上为增函数，故在上为增函数.因为，故，平方后化简可得，即，解得或，故原不等式的解集为．故选D． 【针对练习5-1】已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增，由于是上的奇函数，故在上单调递增，又，故， 则即，等价于，所以，解得． 故选A． 【针对练习5-2】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式，得， 因为为偶函数，可得，所以原不等式即为，即，又因为在区间上单调递减且为偶函数，得， 即或，解得或，所以实数的取值范围为．故选A． 【针对练习5-3】已知函数，则不等式的解集 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减，函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，不等式，则，解得，所以所求不等式的解集为． 【针对练习5-4】已知函数，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，因为 ，所以函数为奇函数，当时，易知单调递增，单调递增，所以当时，函数单调递增，又函数为奇函数，所以函数在上单调递增，所以 等价于 ，所以，所以不等式的解集为．故选C． 【针对练习5-5】（提高）：是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列选项正确的是（    ） A．4是函数的一个周期 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数是偶函数 D． 【答案】AB 【解析】对A，因为，即，则 ，所以，因此，是函数的一个周期，A正确； 对B，因为，且是定义在上的奇函数，则，可得，所以是函数图象的一条对称轴，B正确； 对C，因为，且是定义在上的奇函数，则，可得，所以函数是奇函数，C错误； 对D，当时，，则，所以 ，D错误． 故选AB． 6.利用单调性比较数的大小 【例6】（2022甲卷文科）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法1（基本不等式）：由，得，由基本不等式，得，所以，即，所以．又，所以，即，所以．故．故选A． 方法2（糖水不等式）：由，得．由糖水不等式，得，所以，从而 ；同理，所以，从而，故．选A． 方法3（构造函数）：由，得． 令函数，则．由得，所以，所以，所以在单调递增，所以，即，即．故选A． 【感悟提升】（1）比较函数值大小 ①若底数相同，构造相应的指数或对数函数，利用单调性求解； ②作差或作商法； ③若底数不同，可以找中间量(常为，，，等)； ④用换底公式化成同底的对数比较； ⑤化同真数后，利用图象比较． （2）当时，，两边取倒数，得． 记忆方法：①平方为大．②当增大时，越接近，逐步变小；越接近，逐步变大． 【针对练习6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，故． 故选D． 【针对练习6-2】已知，，，则p，q，r的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，故． 故选B． 【针对练习6-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以．故选D． 【针对练习6-4】设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，，故. 又，所以．故选A． 【针对练习6-5】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，即，因为为增函数，， ，所以．故选A． 【针对练习6-6】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，又因为对数函数在上单调递增，且，所以，即，，，由于，，且函数在上单调递增，所以，即． 综合以上两个比较结果，可得．故选A． 【针对练习6-7】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以指数函数在上单调递减，所以 ；因为，所以指数函数在上单调递增，所以，即；因为，所以对数函数在上单调递增，所以 ，所以．故选B． 【针对练习6-8】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又 ，，所以，所以．故选D． 【针对练习6-9】若函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为，因为，所以是奇函数，所以不等式可化为， 因为在上均为增函数，所以在上为增函数，所以，解得．故选A． 【针对练习6-10】（提高）：已知，，，则（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， ，所以．故选D． 【针对练习6-11】已知，，，则（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以；又 ，，所以，故．故选B． 【针对练习6-12】（提高）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ，所以．故选A． 【另解】，，因为，所以，因为，所以，所以． 故选A． 【针对练习6-13】（2023届贵州遵义一模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法1：比较与，； 比较与，． 所以，故选D． 方法2：比较与，，，由知，； 比较与，易知，，，，所以 ． 所以． 【针对练习6-14】（提高）设，，则（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，，又，所以． 故选B． 【针对练习6-15】若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，令，因为为上的增函数，为上的减函数，所以为上的增函数，所以，则A正确，B错误；，因为与的大小不能确定，故C、D无法确定．故选A． 7．值域与最值 【例7】（1）（提高）已知满足，求的最大值与最小值及相应的x的值． 【解析】由题意，解得，所以，又 ，所以当时，，当时，，即当时，；当时，． （2）（提高）已知函数，，若对任意的，存在，都有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，只需即可，根据二次函数的性质知，在上的最小值为，因为在上单调递减，所以 ，所以，解得．故选D． 【感悟提升】（1）对于指数方程或不等式，常在式子两边同时取同底的对数，对于对数方程或不等式，常在式子两边同时取同底的指数幂，从而实现指数式和对数式的互化，再运用对数或指数的单调性求解． （2）①，恒成立，则时，； ，恒成立，则时，. （3）①，恒成立，则时，. ②，恒成立，则时，. ③，恒成立，则时，． （4）①，使成立，则时，； ，使成立，则时，. 【针对练习7-1】（提高）已知函数． （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 【解析】（1）若的定义域为，则的图象恒在轴的上方，，得，即实数的取值范围是． （2）若的值域为，则要取遍所有的正数，或，得，即实数的取值范围是． 【针对练习7-2】（提高）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，原命题等价于“任意，使为真命题”，所以，其中，设， 则函数，的最大值为与中的较大者，所以 所以解得．故选C． 【针对练习7-3】求函数，的最大值和最小值． 【解析】令，因为，所以 则开口向上，对称轴为的抛物线，所以当即时，取最小值，当即时，取最大值，所以函数，的最大值是，最小值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三数学总复习-第一章 第9节 指数与对数的运算 指、对、幂运算是研究指、对、幂函数的基础，也是高考的必考点．常以运算为基本要求命题，然后以其图象与性质提升难度，与导数结合可达到试题的最高难度． 一、高考核心考点 1．两个结论 （1）（先开方，后乘方）①当为偶数时，；②当为奇数时，. （2） ①为偶数时， ②为奇数时，，. 2．指数运算 （1）分数指数幂 ①，特别地，；②；③． 其中，，且． （2）运算性质 ① ，；②；③，． 其中，，． 2．对数运算 （1）对数定义: ，其中，且． （2）常用对数记为，自然对数记为，无理数 （3）常用关系式：，，，． （4）运算法则 ①，，． ②换底公式：（，且；，且；）． ③补充：（，）；． 二、典例分析 1．指数运算 【例1】（1）计算：； （2）已知，，求的值． 【感悟提升】计算中遇到根式、小数等，常化为分数指数幂形式，然后再用有理数下的指数运算律解决． 【题组变式1】 变式1-1：若，，则的最小值是 ． 2．对数运算与指对互换 【例2】（1）计算； （2）已知，，则_______． 【感悟提升】对于对数与指数的混合运算，首先要想到指对转换，然后利用指数或对数的常见恒等式解决． 【题组变式2】 变式2-1：已知为正实数，则（ ） A． B． C． D． 变式2-2：计算：（1）； （2）； （3）． 变式2-3：已知直线与曲线及分别相交于，两 点，且，则实数（ ） A． B． C． D． 变式2-4：若，，，，则下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 变式2-5：设则 ． 变式2-6：设，，．若，且，则的最大值为 . 变式2-7：若，则（ ） A． B． C． D． 变式2-8：（2024全国甲卷）已知，，则______． 变式2-9：（2022浙江卷）已知，，则 ． 变式2-10：方程的解为 ． 变式2-11：已知不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-12：（2025新课标1卷）若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 3．指对幂的实际应用 【例3】专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【感悟提升】对于指对幂函数的实际应用问题，首先应建立恰当的函数模型，将题中所给数据代入，通过指对幂运算化简、变形，如涉及复杂式子往往要整体代入，最后求得所需变量的值． 【题组变式3】 变式3-1：心理学家有时使用函数来测定在时间（单位：）内能够记的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有个单词要记忆，记忆率，则该学生要求记忆个单词大约需要（    ） （） A． B． C． D． 变式3-2：基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入亿元进行基础建设，年后产生亿元社会经济效益．若该市投资基础建设年后产生的社会经济效益是投资额的倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 变式3-3：2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（    ） A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙 C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙 变式3-4：某灭活疫苗的有效保存时间（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（    ） A．15h B．30h C．40h D．60h 2026-2027学年度高三数学总复习-第一章 第10节 指数函数与对数函数、幂函数 指、对、幂函数是高考的重点．其难点并不在于指、对、幂函数本身，而是以其为背景，综合考查函数的图象与性质，涉及解析式与求值、图象、奇偶性，单调性，其中单调性是重点，这一点在导数中显得更为突出． 一、高考核心考点 1．指数函数定义:形如（常数且）叫指数函数，为自变量．函数的定义域为，值域为，定点，当时，函数在上是递增，当时，函数在上是递减． 2．对数函数定义：常数且叫对数函数，为自变量．函数的定义域为，值域为，定点，当时，函数在上是递增，当时，函数在上是递减． 3．函数图象 指数函数(且)的图象中的三个关键点：，，；对数函数的图象中的三个关键点：，，． 处理方法：（1）利用图象变换（平移、对称或翻折、奇偶性与单调性）作出图象； （2）取特殊值排除． 4．指数与对数函数的性质的运用 （1）定义域优先；（2）底数与的大小关系，指数函数的单调性是由底数的大小决定的，解题时通常对底数按“”和“”讨论；（3）复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 5．幂函数（为常数）的单调性：当时，在上递增；当时，在上递减． 二、典例分析 1．定义域与值域 【例1】已知集合，，则（ ） A． B．，或 C．，或 D．，或 【针对练习1-1】下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 【针对练习1-2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【针对练习1-3】使“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【针对练习1-4】函数的定义域为 . 【针对练习1-5】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 2．指对幂函数的图象 【例2】已知函数(其中)的图象如图所示， 则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【感悟提升】①；②； ③；④. 口诀：左“加”右“减”，上“加”下“减”． ③的图象的图象：去掉的部分，保留的部分，再作这部分关于轴对称的图象；的图象的图象：保留的部分，再将部分沿轴翻折到轴上方. 【针对练习2-1】若函数且的大致图象如图，则函数的大致图象是（  ） A． B． C． D． 【针对练习2-2】（提高）：已知，若关于的方程有五个相异的实数根，则的取值范围是______． 【针对练习2-3】若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 3．对数函数的单调性与不等式 【例3】函数的单调递增区间为 ． 【针对练习3-1】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【针对练习3-2】设函数，则（ ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 4.已知单调性求参数范围 【例4】（2023乙卷理）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______． 【针对练习4-1】若函数且在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对练习4-2】（2023新高考1卷）设在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．单调性与奇偶性结合 【例5】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【针对练习5-1】已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【针对练习5-2】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【针对练习5-3】已知函数，则不等式的解集 . 【针对练习5-4】已知函数，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【针对练习5-5】（提高）：是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列选项正确的是（    ） A．4是函数的一个周期 B．是函数图象的一条对称轴 C．函数是偶函数 D． 6.利用单调性比较数的大小 【例6】（2022甲卷文科）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【感悟提升】（1）比较函数值大小 ①若底数相同，构造相应的指数或对数函数，利用单调性求解； ②作差或作商法； ③若底数不同，可以找中间量(常为，，，等)； ④用换底公式化成同底的对数比较； ⑤化同真数后，利用图象比较． （2）当时，，两边取倒数，得． 记忆方法：①平方为大．②当增大时，越接近，逐步变小；越接近，逐步变大． 【针对练习6-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-2】已知，，，则p，q，r的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【针对练习6-4】设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-5】已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-6】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-7】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-8】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【针对练习6-9】若函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【针对练习6-10】（提高）：已知，，，则（ 　） A． B． C． D． 【针对练习6-11】已知，，，则（ 　） A． B． C． D． 【针对练习6-12】（提高）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习6-13】（2023届贵州遵义一模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【针对练习6-14】（提高）设，，则（ 　） A． B． C． D． 【针对练习6-15】若，则（ ） A． B． C． D． 7．值域与最值 【例7】（1）（提高）已知满足，求的最大值与最小值及相应的x的值． （2）（提高）已知函数，，若对任意的，存在，都有，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【感悟提升】（1）对于指数方程或不等式，常在式子两边同时取同底的对数，对于对数方程或不等式，常在式子两边同时取同底的指数幂，从而实现指数式和对数式的互化，再运用对数或指数的单调性求解． （2）①，恒成立，则时，； ，恒成立，则时，. （3）①，恒成立，则时，. ②，恒成立，则时，. ③，恒成立，则时，． （4）①，使成立，则时，； ，使成立，则时，. 【针对练习7-1】（提高）已知函数． （1）若的定义域为，求实数a的取值范围； （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 【针对练习7-2】（提高）已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【针对练习7-3】求函数，的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $