第97卷 综合模拟卷（7）2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的综合模拟卷，跨章节整合集合、函数、几何等核心知识点，注重数学思维与应用能力考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-10题|聚焦定义辨析与基本运算|从集合、复数到函数图像，构建概念网络| |综合应用|选择11-18题、填空19-24题|跨章节知识融合|圆与直线、概率与统计等知识交叉，体现逻辑推导| |实际问题|解答25-30题|情境化问题解决|通过统计分析、立体几何、数列应用，培养模型意识与数据观念|

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第97卷 综合模拟卷（7） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设全集，集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角是 （    ） A． B． C． D．不存在 4．若，则a终边在（   ）. A．第一象限 B．第四象限 C．第二或第三象限 D．第一或第四象限 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的通项公式为，其前项和为，则下列描述正确的是（    ） A．数列是递增数列，的最小值为 B．数列是递增数列，的最大值为30 C．数列是递减数列，的最小值为30 D．数列是递减数列，的最大值为 7．已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 9．已知，则（ ） A． B． C． D． 10．若函数的图像如图所示，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   11．圆的圆心坐标为（    ）. A． B． C． D． 12．有5名同学站成一排，其中甲不在两端且和乙相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 13．有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A．100 B．120 C．200 D．210 14．已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大.若展开式中所有项的系数和为16，则的值为（ ） A． B．1 C．或3 D．或1 15．函数在一个周期内的图像为（    ） A． B． C． D． 16．若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 17．为提高市民对创建文明城市的认识，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛，经统计得到成绩的频率分布直方图如图所示．现按分层抽样的方法抽取100个人的成绩，则成绩在[80，100]内应抽取的人数为（   ）．    A．25 B．30 C．35 D．40 18．已知函数在定义域上是奇函数，对于任意，都有，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．函数的定义域为__________. 20．若函数，则____________． 21．已知高都是3的圆柱和圆锥的底面圆的半径相等，它们的侧面积也相等，则底面圆的半径为__________. 22．已知的面积为，，，则为________． 23．已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.15 则的数学期望等于__________. 24．已知椭圆和双曲线，若椭圆与双曲线的离心率之积为，则该双曲线的渐近线方程是__________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)某校数学教研组对高三学生模拟考试数学成绩进行分析，按分层抽样的方法在高三班级抽取了100名学生的数学成绩进行统计，把成绩分成5组，分别为，，，，（注：单独设为一组），其频率分布直方图（如图所示）只给出了的统计．    (1)试估计本次模拟考试数学成绩的中位数； (2)若从60分以下和90分及以上的学生中抽取2人，对其学情进行精准分析，设抽到数学成绩在60分以下的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 26．(本题10分)在中，角，，所对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 27．(本题12分)已知函数，函数（且），函数恒过定点. (1)若在上为单调函数 ，求实数a的取值范围 ; (2)若对任意实数x都有成立，且过定点， ①求实数a，b的值； ② 当时，恒成立，求实数m的取值范围. 28．(本题13分)如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求:    (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积； (3)点到平面的距离. 29．(本题13分)已知抛物线的准线方程为，焦点在轴正半轴上，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，且点、在直线上的投影分别为点、，如图所示．求：    (1)抛物线的标准方程； (2)的值； (3)的面积． 30．(本题14分)已知数列的前项和为，，设. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由. (3)求数列的前项和. 答案第1页，共2页 第 13 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第97卷 综合模拟卷（7） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．设全集，集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合交集及补集的定义即可求解. 【详解】全集，集合，， 则，， 故选：A. 2．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3．直线的倾斜角是 （    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义即可求解. 【详解】直线，即是一条垂直于轴的直线， 所以直线的倾斜角为， 故选：C. 4．若，则a终边在（   ）. A．第一象限 B．第四象限 C．第二或第三象限 D．第一或第四象限 【答案】D 【分析】根据三角函数在各象限符号规则可得结果. 【详解】由可知：与同号. 若与同为正，则a终边在第一象限； 若与同为负，则a终边在第四象限. 综上所述，a终边在第一或第四象限. 故选：D 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得或， 解得或， 所以原不等式的解集为， 故选：D. 6．已知数列的通项公式为，其前项和为，则下列描述正确的是（    ） A．数列是递增数列，的最小值为 B．数列是递增数列，的最大值为30 C．数列是递减数列，的最小值为30 D．数列是递减数列，的最大值为 【答案】A 【分析】先判断出数列是递增的等差数列，再利用前n项和公式即可得解. 【详解】因为，所以是公差为5的等差数列. 因为公差大于0，所以数列为递增数列. 令，解得， 又因为为递增数列，所以数列前3项为负，第4项为0，从第5项开始为正， 所以为的最小值. 故选：A. 7．已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，根据集合的关系即可求出答案. 解不等式得， 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 8．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标运算及模长公式求得，即可求解. ， 由题意：， 所以. 故选：C. 9．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式求得，再根据二倍角公式即可求解． 因为 ， 所以． 10．若函数的图像如图所示，则的图像大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数的图像确定的范围，再由对数函数的图像形状即可解答. 【详解】由函数的图像可知，直线与 轴的交点在 上方， 说明当 时，， 所以函数是增函数，且过定点， 选项D符合题意，选项ABD均不正确. 故选：D. 11．圆的圆心坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的一般式方程求出圆心坐标即可得解. 【详解】圆的圆心坐标为， 故选：. 12．有5名同学站成一排，其中甲不在两端且和乙相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出5名同学站成一排的情况总数，再求出满足条件的情况总数，结合概率公式求解即可. 【详解】5名同学站成一排，方法数为种， 甲不在两端，则甲只能站在中间三个位置，方法数为种， 又与乙相邻，则乙只能站在甲的左侧或右侧，方法数为种， 剩余3名同学进行排列，方法数为种， 则甲不在两端且和乙相邻的概率是. 故选：C. 13．有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A．100 B．120 C．200 D．210 【答案】D 【分析】分两步完成，第一步确定哪一个人连续参加两天服务，第二步则确定另外安排的一人，即可求解. 先从7人中任选1人参加两天的服务，再从余下的6人中选2人参加两天的服务（每人各1天）， 所以两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为. 故选：D. 14．已知的展开式中只有第3项的二项式系数最大.若展开式中所有项的系数和为16，则的值为（ ） A． B．1 C．或3 D．或1 【答案】D 【分析】依题意可知展开式有项，故，再由所有项的系数和为可列出等式进而求出a. 因为的展开式中只有第3项的二项式系数最大， 故，解得， 依题意，令，有，解得或， 故选：D. 15．函数在一个周期内的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数辅助角公式，得到，结合最大值、最小正周期和单调区间判断图象. 【详解】由三角函数的辅助角公式，函数， 故函数的最大值为，因此排除选项C、D， 最小正周期，因此排除选项B， 当，即时，函数单调递增， 选项A的图象符合， 故选：A. 16．若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】由直线图象得出，再根据双曲线的定义判断即可. 【详解】因为直线经过第二、三、四象限， 所以直线斜率，截距 ， 方程，可化为， 所以方程表示的是焦点在轴上的双曲线. 故选：C. 17．为提高市民对创建文明城市的认识，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛，经统计得到成绩的频率分布直方图如图所示．现按分层抽样的方法抽取100个人的成绩，则成绩在[80，100]内应抽取的人数为（   ）．    A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图和分层抽样的定义及运算分析求解即可. 【详解】由频率分布直方图可知成绩在[80，100]内的频率为， 所以成绩在[80，100]内应抽取的人数为. 故选：C. 18．已知函数在定义域上是奇函数，对于任意，都有，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解. 【详解】已知对于任意，都有，所以函数的周期. 可得， 因为函数在定义域上是奇函数， 所以，从而， 已知当时，，所以， 所以， 故选：A. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数大于或等于0及对数的真数大于0，列出不等式求解. 【详解】由题意得，且， 即且， 即，解得， 函数的定义域为. 故答案为：. 20．若函数，则____________． 【答案】0 【分析】首先将代入合适的解析式中得出的值，再将的值代入合适的解析式求值即可. 【详解】已知函数， 因为，所以， 所以. 故答案为：0. 21．已知高都是3的圆柱和圆锥的底面圆的半径相等，它们的侧面积也相等，则底面圆的半径为__________. 【答案】 【分析】根据圆柱与圆锥的侧面积公式列方程求解即可. 【详解】已知圆柱的高为3，设半径为， 则圆柱的侧面积为， 且圆锥的高为3，半径为， 则圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为， 则，即， 解得， 故答案为：. 22．已知的面积为，，，则为________． 【答案】或 【分析】利用三角形面积公式求出的值，再求出对应的角的大小． 【详解】因为的面积为，，， 即，解得， 因，所以或． 故答案为：或． 23．已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.15 则的数学期望等于__________. 【答案】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，结合数学期望公式即可求解. 【详解】由题意得，因为，解得， 所以. 故答案为：. 24．已知椭圆和双曲线，若椭圆与双曲线的离心率之积为，则该双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆及双曲线性质得出离心率分别为，，代入得出即可得解. 【详解】设椭圆和双曲线的离心率分别为，， 则，， 所以， 即， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)某校数学教研组对高三学生模拟考试数学成绩进行分析，按分层抽样的方法在高三班级抽取了100名学生的数学成绩进行统计，把成绩分成5组，分别为，，，，（注：单独设为一组），其频率分布直方图（如图所示）只给出了的统计．    (1)试估计本次模拟考试数学成绩的中位数； (2)若从60分以下和90分及以上的学生中抽取2人，对其学情进行精准分析，设抽到数学成绩在60分以下的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)75分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图求出60分以下的人数的频率，再根据中位数的定义结合频率分布直方图即可求解. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，求出对应的概率写出分布列，结合数学期望公式即可求解. 【详解】（1）根据题意60分以下的人数的频率为：， 因为前两组，的频率之和为：， 而，所以中位数在组内， 设中位数为，则，解得， 则估计本次模拟考试数学成绩的中位数为75分． （2）60分以下的人数为人， 的人数为人， 则抽取的抽取总人数为， 随机变量所有可能的取值为0，1，2， 则，，， 故随机变量的概率分布列为 0 1 2 所以数学期望为. 26．(本题10分)在中，角，，所对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（）解法一：利用同角三角函数基本关系式求出，应用正弦定理求出值，代入余弦定理求出值，结合三角形的性质即可得解. 解法二：利用同角三角函数基本关系式求出，应用诱导公式求出，代入正弦定理即可得解. （）解法一：根据诱导公式及两角和的余弦公式即可得解. 解法二：利用同角三角函数基本关系式求出，根据余弦函数及三角形的性质得到即可得解. 【详解】（1）解法一：在中，角，，所对边分别为，，， . 由正弦定理得，即，解得. 根据余弦定理知， 即，整理得. 解得或，由于，所以，即， 表明，是的最大边，因此. 解法二：在中，角，，所对边分别为，，， . 则， 由正弦定理得，则. （2）解法一： . 解法二： ， 由于，所以，即， 表明，因此. 27．(本题12分)已知函数，函数（且），函数恒过定点. (1)若在上为单调函数 ，求实数a的取值范围 ; (2)若对任意实数x都有成立，且过定点， ①求实数a，b的值； ② 当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)①，；② 【分析】（1）根据二次函数的图像和性质，只需对称轴在已知区间的两侧（含端点）即可，列不等式可求解；                       （2）①由已知可得二次函数的对称轴为，可求；在中，令指数为零，可得定点，代入函数可求b的值；②将参数和变量分离，不等式恒成立转化为求函数的最值问题，进而求出m的取值范围． 【详解】（1）由函数可知，对称轴方程为， 因为在上为单调函数 ， 所以或，          解得或； （2）①因为对任意实数x都有成立， 所以函数的对称轴为，解得，        即. 由函数（且）恒过定点， 令，即时，， 所以定点.   将代入， ，得.                          ② 由题可知，在上恒成立。 即在上恒成立.         令，只需即可，                     因为，且， 所以时，，    故. 28．(本题13分)如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求:    (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积； (3)点到平面的距离. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据题意作出辅助线，利用线面垂直的判定及性质找到二面角的平面角，求出所需线段的长度，代入正切公式即可得解. （）根据棱锥的体积公式即可得解. （）设出点到平面的距离为，结合（）代入棱锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）    如图所示，连接交于点，取的中点，连接， 过点作于点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为平面，所以平面，平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 平面，所以, 所以是所求二面角的平面角， 因为，所以，所以是的中点,所以， 因为是边长为4的等边三角形，所以， 所以， 在Rt中，， 故二面角的正切值为. （2）由题知，， . （3）在中，， 则， 设点到平面的距离为， 则， 解得，即点到平面的距离为. 29．(本题13分)已知抛物线的准线方程为，焦点在轴正半轴上，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，且点、在直线上的投影分别为点、，如图所示．求：    (1)抛物线的标准方程； (2)的值； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由准线方程求得，进而可得抛物线方程； （2）求得直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦点弦长公式求解； （3）求出及焦点到直线的距离，利用三角形面积公式求的面积． 【详解】（1）由准线方程，得，即， ∵抛物线的焦点在轴正半轴上， ∴抛物线方程为． （2）焦点，, 则直线的方程为， 与抛物线方程联立得，即． ， 设，由韦达定理得，， 故． （3）点在直线上的投影， ， 焦点到直线的距离， 故的面积． 30．(本题14分)已知数列的前项和为，，设. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是否为等差数列，并说明理由. (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（）利用数列前项和与通项的关系推导递推公式，判断为等比数列即可得解. （）通过对数的运算求出，结合等差数列的定义即可得解. （）对数列通项裂项后，利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）已知①， 当时，，则，解得， 当时，②， ①②得：，整理得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 综上所述，. （2）由（1）得：， 所以，， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列. （3）由于， 所以， 综上所述，. 试卷第1页，共3页 第 19 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $