第99卷 综合模拟卷（9）2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系，聚焦考纲分基础巩固应用层，整合代数几何概率等知识，培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|选择1-9/14/18，填空19/23，解答26/30|含集合、函数、数列等，注重概念辨析与运算|从集合基础到函数性质，再到数列综合，形成概念-运算-应用链条| |几何|选择3/8/11/15/16/17，填空21/22/24，解答29|涵盖直线、圆、圆锥曲线、立体几何，结合图像分析|从平面几何到立体几何，空间观念与几何直观逐步提升| |概率统计|选择12/13/17，填空20/23，解答25|涉及古典概型、统计图表、方差计算，联系实际情境|从数据收集到分析推断，培养数据意识与模型应用能力|

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第99卷 综合模拟卷（9） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（ ） A． B． C． D． 3．直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（ ）． A． B． C． D． 4．若，则角的终边落在（   ） A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第二、四象限 5．若不等式的解集是，则实数（    ） A． B．1 C． D．4 6．在等差数列中，前15项的和，则的值为（    ）. A．15 B．10 C．12 D．6 7．“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知与 互相垂直，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 9．已知，则（ ） A． B．1 C．2 D． 10．函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 11．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 13．现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻，那么所有不同排法的种数是（    ） A．864 B．1296 C．1728 D．2040 14．的展开式中，二项式系数之和为16，则二项式展开式中各项系数之和为（    ） A．81 B．27 C．16 D．1 15．已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的周期为 B． C．的解析式为 D．函数在区间上单调递增 16．对于双曲线和，给出下列四个结论：①离心率相等；②渐近线相同；③没有公共点；④焦距相等，其中正确的结论序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．②④ 17．如图是某班学生数学成绩的频率分布直方图，该数据的分组依次为，若低于60分的人数有12人，则该班学生的总人数是（   ）    A．36 B．40 C．44 D．48 18．已知为定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．函数 的定义域为_____． 20．如果一个样本的方差，则这个样本的容量是____________. 21．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 22．在中，、、分别是、、的对边，且.则________. 23．若离散型随机变量的分布列见下表，则__________． 2 3 5 24．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上的任意一点，且，求的周长＝______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，记.试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 (1)求甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率的中位数和极差； (2)设的样本平均数为z，样本方差为.判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 26．(本题10分)已知角为直线的倾斜角．求： (1)的值； (2)的值． 27．(本题12分)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式，y值越大，表示接受能力越强． (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 28．(本题13分)已知抛物线：（）的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)记的中点为，求点的坐标； (3)抛物线上存在一点使得，求点的坐标. 29．(本题13分)如图所示，已知三棱锥中，，平面，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值； (3)直线与平面所成角的正弦值. 30．(本题14分)如图所示，已知数列，对于任意，点都在函数的图像上，若点的坐标为，的面积为．    (1)求的面积和的面积； (2)求的面积； (3)令梯形的面积为，梯形的面积为，梯形的面积为，求数列的前项和． 答案第1页，共2页 第 12 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第99卷 综合模拟卷（9） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别求出集合M和集合N，根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 又由解得或， 所以集合或， 则. 故选：B. 2．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则计算可得. 【详解】 故选：A. 3．直线经过两个定点，则直线倾斜角大小是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线上两点的坐标求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】已知直线经过两点， 可得直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以， 故选：A. 4．若，则角的终边落在（   ） A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】根据象限角的符号求解即可. 【详解】∵，∴角的终边落在第二、四象限． 故选：D. 5．若不等式的解集是，则实数（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意得出即可得解. 【详解】不等式的解集是， 则的两个根为， 所以在和处互为相反数， 则，解得. 故选：. 6．在等差数列中，前15项的和，则的值为（    ）. A．15 B．10 C．12 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，前15项的和， ∴， 解得. 故选：B. 7．“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的概念可判断结果. 【详解】当，时，，故充分性成立； 取，，满足，但，不成立，故必要性不成立. 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8．已知与 互相垂直，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，因为与垂直，所以， 即，所以，所以与的夹角为. 9．已知，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用同角关系以及两角和的正切公式计算可得结果. 由可得，解得； 则. 10．函数的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的函数图像判断选项即可. 【详解】函数为， 当时，是一个开口向上的二次函数， 对称轴，即y轴， 故由二次函数图像可排除AC选项； 当时，是在其定义域内为增函数的对数函数， 故由对数函数的单调性可排除D选项， 则函数的图像大致为B选项. 故选：B. 11．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 12．将一枚均匀硬币随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，随机掷2次的所有可能情况有{正面、正面}，{反面、正面}，{正面、反面}，{反面、反面}四种情况， 所以恰好出现2次正面向上的情况有{正面、正面}一种情况， 所以随机掷2次，恰好出现2次正面向上的概率为. 13．现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻，那么所有不同排法的种数是（    ） A．864 B．1296 C．1728 D．2040 【答案】C 【分析】根据组合、排列数的计算分析求解即可. 【详解】3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置， 不同的排法共有种； 任选一位教师站在正中位置且3位教师都相邻的排法共有 种； 所以任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻 的排法共有种. 故选：C. 14．的展开式中，二项式系数之和为16，则二项式展开式中各项系数之和为（    ） A．81 B．27 C．16 D．1 【答案】A 【分析】由二项式定理的性质及各项系数之和的求法即可得解. 【详解】因为的展开式中，二项式系数之和为16， 所以，解得， 令得展开式中各项系数之和为. 故选：A. 15．已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数的周期为 B． C．的解析式为 D．函数在区间上单调递增 【答案】C 【分析】首先由正弦型函数图像确定函数的周期和振幅，再将代入函数解析式中求出的值确定函数的解析式，最后由整体法求出单调性即可. 【详解】因为函数过点，， 得，所以函数周期，故A错误， 则，， 得，由， 可得，，故C正确， 所以，故B错误． 令，解得， 当时，函数在区间上单调递增，故D错误. 故选：C． 16．对于双曲线和，给出下列四个结论：①离心率相等；②渐近线相同；③没有公共点；④焦距相等，其中正确的结论序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率、渐近线方程以及焦距的相关公式可判断①②④；联立方程组可判断③. 【详解】对于双曲线，其中，， 可得，则， 所以的离心率，渐近线方程为，焦距为. 对于双曲线，其中，， 可得，则， 所以的离心率，渐近线方程为，焦距为. 因此与的离心率不相等；渐近线相同；焦距相等，故①错误，②④正确， 联立方程组，两式相加得，显然不成立， 故方程组无解，则两双曲线没有公共点，③正确， 综上，正确的结论序号是②③④， 故选：C. 17．如图是某班学生数学成绩的频率分布直方图，该数据的分组依次为，若低于60分的人数有12人，则该班学生的总人数是（   ）    A．36 B．40 C．44 D．48 【答案】B 【分析】先计算低于60分的频率，结合其人数可得到总人数. 【详解】依题意可知，组距为20，低于60分的区间为和， 所以低于60分的频率为， 又低于60分的人数为12人， 则总人数为， 所以该班学生的总人数是40. 故选：B. 18．已知为定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质和函数在区间上的单调性，即可求解的取值范围. 【详解】为定义在上的偶函数，可得， 由，可化为， 因为在区间上单调递增， 所以，可得或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．函数 的定义域为_____． 【答案】 【分析】根据对数函数，根式的性质得，再解不等式即可求得答案. 要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为 20．如果一个样本的方差，则这个样本的容量是____________. 【答案】10 【分析】根据方差的计算公式求解即可. 【详解】根据方差计算公式可知，，解得， ∴这个样本的容量是10. 故答案为：10. 21．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据正方体的体积求出棱长，根据题意得出球的直径是正方体的体对角线，进而求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】正方体的体积为，则边长， 正方体的体对角线为， 根据球的直径是正方体的体对角线，则球的半径， 球的表面积为， 故答案为：. 22．在中，、、分别是、、的对边，且.则________. 【答案】1 【分析】先化简所求式子的形式，结合对应的余弦定理结论，替换式子中的部分项，进而得到式子的结果. ， 由，得，即. 将代入分子，得 分子与分母相等，故. 故答案为：. 23．若离散型随机变量的分布列见下表，则__________． 2 3 5 【答案】3 【分析】由分布列的性质，列方程可求，再根据期望公式可求解. 【详解】由分布列可得：，且， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为：3 24．已知椭圆的焦点为，，是椭圆上的任意一点，且，求的周长＝______． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点为，，是椭圆上的任意一点， 所以. 椭圆中， 解得. 因此的周长. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，记.试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 (1)求甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率的中位数和极差； (2)设的样本平均数为z，样本方差为.判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】(1)中位数：546.5；极差：74 (2)有显著提高 【分析】（1）根据中位数和极差的定义计算即可； （2）根据平均数与方差公式计算z与，计算比较大小即可. 【详解】（1）根据表格将这十次试验中甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率按大小顺序排列，可得中位数为，极差位； （2）由表格可知 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12 故， ， 所以， 显然有显著提高. 26．(本题10分)已知角为直线的倾斜角．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据直线方程求出的值结合齐次式的应用即可得解. （）根据正切的二倍角公式求出，结合两角差的正切公式即可得解. 【详解】（1）直线的斜率为， 因为该直线的倾斜角为，所以， ， （2）因为，则， 则. 27．(本题12分)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式，y值越大，表示接受能力越强． (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 【答案】(1)当时，学生的接受能力逐步增强 当时，学生的接受能力逐步下降 (2)59 (3)第13分钟 【分析】（1）（2）（3）根据二次函数的单调性、解析式、最值，逐一解答，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，当时，学生的接受能力逐步增强， 当时，学生的接受能力逐步下降． （2）当时，， 即第10分钟时，学生的接受能力为59. （3）当时，y取最大值， 所以，在第13分钟时，学生的接受能力最强． 28．(本题13分)已知抛物线：（）的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的方程； (2)记的中点为，求点的坐标； (3)抛物线上存在一点使得，求点的坐标. 【答案】(1). (2). (3)或. 【分析】（）根据题意结合抛物线的性质即可得解. （）设出点得到坐标，联立方程组结合韦达定理及中点坐标公式即可得解. （）根据题意得出，结合两条直线垂直斜率的关系求出的斜率进而求出的方程，联立方程组即可得解. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以抛物线方程为. （2）设点A，点B的坐标分别为，， ，得， 所以， 直线，则， 所以，所以， 所以Q的坐标为. （3）    根据题意作出图像，因为所以， 直线：，斜率为， 所以，则 所以直线MQ：， 由，得， ， 解得或， 当时，； 当时，； 所以M的坐标为或. 29．(本题13分)如图所示，已知三棱锥中，，平面，求： (1)三棱锥的体积； (2)二面角的正切值； (3)直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式求解即可. （2）首先找到二面角，再根据正切函数的定义求解. （3）首先找到直线与平面所成角，再根据正弦函数的定义求解. 【详解】（1）因为，即，有， 所以. 因为平面，所以为三棱锥的高. 则. （2）因为平面平面，所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 则就是二面角的平面角. 在中，， 即二面角的正切值为2. （3）因为平面平面，所以； 又因为，平面，， 所以平面. 所以就是直线与平面所成的角. 在中，，. 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 30．(本题14分)如图所示，已知数列，对于任意，点都在函数的图像上，若点的坐标为，的面积为．    (1)求的面积和的面积； (2)求的面积； (3)令梯形的面积为，梯形的面积为，梯形的面积为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点在函数上求出解析式，再根据三角形的面积求解即可. （2）根据三角形面积求解即可. （3）根据梯形面积公式以及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）由在上，得. 所以 （2）由题意可得， （3）梯形的面积. 也符合，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以前项和. 试卷第1页，共3页 第 17 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $