第100卷 综合模拟卷（10）2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的综合模拟卷，聚焦考纲与真题，通过跨章节知识整合强化数学应用意识与逻辑推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|选择1-9、14、18/填空19-20、23|概念辨析与运算|集合→函数→数列→概率，形成从基础到综合的逻辑链| |几何应用|选择10-11、15-16/填空21-22、24|空间想象与方程应用|直线与圆→三角函数图像→双曲线→立体几何，构建几何直观与代数表达的转化| |统计概率|选择12-13、17/解答25|数据分析与模型应用|频率分布→离散型随机变量→实际抽样，培养数据观念与应用意识| |综合实践|解答26-30|复杂问题建模|三角恒等变换→函数最值→空间角→数列求和，强化数学思维与跨模块整合能力|

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第100卷 综合模拟卷（10） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知直线的倾斜角为，且直线过点、，实数的值为（    ） A．0 B．6 C．2 D．无法确定 4．已知角的终边过点，且，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．若，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．10 6．是等差数列的前项和，已知，则（   ） A．14 B．25 C．49 D．98 7．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量，，则（ ） A． B．3 C． D．4 9．若，则的值是（   ）. A． B． C． D． 10．函数与在同一直角坐标系中的图像大致是（   ）. A． B． C． D． 11．已知方程表示圆，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 12．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，都是正面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 13．现有4本不同的书，送给3个人，每人至少1本，则不同的送法有（    ）. A．72种 B．36种 C．12种 D．100种 14．若二项展开式，则等于（    ） A．1 B． C．2 D． 15．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 16．以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 17．某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：cm）A：，B：，C：，D：，E：，利用所得数据绘制如下统计图表，根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ）．    A．身高在区间的男生比女生多3人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在E组的人数有2人 18．已知定义域为的奇函数的图像关于直线对称，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知函数的定义域为，则k的取值范围为__________. 20．已知一组样本数据为的平均值为2，则该组样本数据的方差为___________ 21．一个几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为半圆，主视图和左视图为矩形，则该几何体的表面积为______.    22．的内角，，的对边分别为，，．若，，，则______. 23．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，且，则a的值为________. ξ 2 3 a P 0.2 0.5 0.3 24．已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)某校数学教研组对高三学生模拟考试数学成绩进行分析，按分层抽样的方法在高三班级抽取了100名学生的数学成绩进行统计，把成绩分成5组，分别为，，，，（注：单独设为一组），其频率分布直方图（如图所示）只给出了的统计．    (1)试估计本次模拟考试数学成绩的中位数； (2)若从60分以下和90分及以上的学生中抽取2人，对其学情进行精准分析，设抽到数学成绩在60分以下的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 26．(本题10分)已知，且. (1)求的值. (2)求的值. 27．(本题12分)中药是中华民族的瑰宝，一些中药材人工种植的技术很难攻克，只能依靠野生资源的供给．最近，中国科学家成功研究出某中药植物的人工种植技术，它具有种植密度高，经济效益好的特点．研究表明：人工种植该中药植物时，在一定的条件下，每株植物的年平均生长量（单位：千克）是每平方米种植株数（，单位：株）的函数．当时，的值为6；当时，是的一次函数，下面实验数据表中有一个数据被误删，变成了空格． （单位：株） 3 5 6 9 12 15 （单位：千克） 6 6 6 4 0 (1)你认为实验数据表中的空格应填何值？ (2)当时，求关于的函数解析式； (3)当每平方米种植株数为何值时，每平方米该中药植物的年生长总量（单位：千克）取得最大值？并求出这个最大值．（提示年生长总量年平均生长量种植株数） 28．(本题13分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，若，，求： (1)点P到BC的距离； (2)平面PCD与底面ABCD所成角的大小； (3)AC与平面PAD所成角的大小． 29．(本题13分)如图所示，倾斜角为的直线过抛物线的焦点，交抛物线于、两点．求：    (1)抛物线的标准方程； (2)的值； (3)的面积． 30．(本题14分)某职校无人机专业进行无人机编队表演，无人机群在空中分别按照“图1、图2、图3、图4、…、图n”依次亮灯构造图形，每幅图亮灯的无人机数量依次记为数列：，，，，…，．假设无人机的数量足够多，并且无损坏，观察图形完成下列问题． (1)求的值； (2)判断数列为何种数列（不要求证明），并求其通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 答案第1页，共2页 第 13 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第100卷 综合模拟卷（10） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的定义求解. 【详解】已知全集， 集合， 所以， 故选：D. 2．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算求解即可. . 故选：C. 3．已知直线的倾斜角为，且直线过点、，实数的值为（    ） A．0 B．6 C．2 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线的斜率公式及倾斜角与斜率之间的关系，求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又因为直线过点、，所以， 解得：. 故选：A. 4．已知角的终边过点，且，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据正切函数的定义得出，求出的取值范围即可得解. 【详解】角的终边过点，且， 则，解得， 则，， 所以点位于第二象限，则角是第二象限角， 故选：. 5．若，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】直接根据基本不等式求解. 由于，根据基本不等式， 当且仅当，即时取得等号，故最小值是. 故选：C 6．是等差数列的前项和，已知，则（   ） A．14 B．25 C．49 D．98 【答案】C 【分析】由等差数列的前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的前项和公式知：. 故选：C. 7．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据不等式的性质和充要条件的定义可得结果. 【详解】因为， 又，， 所以， 即“”是“”的充要条件. 故选：C 8．已知向量，，则（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 9．若，则的值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式及二倍角公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C. 10．函数与在同一直角坐标系中的图像大致是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一次函数与指数函数的图像与性质分析即可. 【详解】当时，为减函数且过定点， 为增函数且交于轴正半轴于和之间，故CD错误； 当时，为增函数且过定点， 为增函数且交于轴正半轴于之上，故A正确，B错误， 故选：A. 11．已知方程表示圆，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆列不等式求解即可. 【详解】已知方程表示圆， 其中， 则，即， 解得，所以实数的取值范围为， 故选：B. 12．连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，都是正面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概率公式求解即可. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，所以可能的情况为（正，反），（正，正），（反，正），（反，反）. 则都是正面朝上的概率为. 故选：C. 13．现有4本不同的书，送给3个人，每人至少1本，则不同的送法有（    ）. A．72种 B．36种 C．12种 D．100种 【答案】B 【分析】按照题目中的分配方案，必然是1人拿2本，另外2人各拿1本，结合分步计数原理，进而求解. 【详解】先从4本书中选2本捆绑成1组：， 把这3组分给3个人：， 根据分步计数原理，总方法数为两步相乘：， 故选：B 14．若二项展开式，则等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用赋值法求解. 【详解】令，则， 令，则， . 故选：B. 15．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象性质，求出，进而得到函数解析式. 【详解】由函数图象可知，，， 所以，因为，所以， 所以函数，又函数过点， 代入可得， 所以，， 因为，令，则， 所以函数的解析式为. 故选：A. 16．以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的渐近线为直线，设该双曲线方程为， 由该双曲线过点，得，解得， 所以所求双曲线方程为，即. 17．某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：cm）A：，B：，C：，D：，E：，利用所得数据绘制如下统计图表，根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ）．    A．身高在区间的男生比女生多3人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在E组的人数有2人 【答案】D 【分析】由统计图表逐项分析即可得解. 【详解】因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 由图知，男生、女生人数都为， 身高在区间的男生人数为12，女生人数为， 男生比女生少3人，故A，B错误； 男生身高在以上人数为，故C错误； 女生身高在E组的人数为，故D正确. 故选：D. 18．已知定义域为的奇函数的图像关于直线对称，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数，周期函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 又因为函数关于直线对称，所以， 则， ， 所以是周期为的周期函数， 则， 所以 ， 则. 故选：B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知函数的定义域为，则k的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意得到恒成立，通过即可求解. 由题意可知恒成立， 即， 解得：， 即k的取值范围为， 故答案为： 20．已知一组样本数据为的平均值为2，则该组样本数据的方差为___________ 【答案】（人教版）；（高教版） 【分析】根据平均数求出，再利用方差计算公式求解. 【详解】因为的平均值， （人教版） . （高教版） 故答案为：（人教版）；（高教版）. 21．一个几何体的三视图如图所示（单位：），俯视图为半圆，主视图和左视图为矩形，则该几何体的表面积为______.    【答案】 【分析】先还原几何体，再根据圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】根据三视图可知，该几何体为半圆柱，如图，    由此可知，底面圆直径为，即半径为，高为， ∴上下底面的面积为，侧面积为， 截面矩形的面积为， ∴该几何体的表面积为. 故答案为：. 22．的内角，，的对边分别为，，．若，，，则______. 【答案】 【分析】根据余弦定理，结合已知条件求出边的值. 【详解】已知，，， 根据余弦定理可得：， 所以， 故答案为：. 23．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，且，则a的值为________. ξ 2 3 a P 0.2 0.5 0.3 【答案】5 【分析】由离散型随机变量分布的均值公式计算即可得解. 【详解】根据均值公式，， 化简得，解得. 故答案为：5. 24．已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于________． 【答案】/ 【分析】根据倾斜角与斜率的关系以及椭圆的定义、离心率公式求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则. ，． ， ， ， 在直角三角形中，令，则. 由椭圆的定义得， 椭圆的离心率． 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)某校数学教研组对高三学生模拟考试数学成绩进行分析，按分层抽样的方法在高三班级抽取了100名学生的数学成绩进行统计，把成绩分成5组，分别为，，，，（注：单独设为一组），其频率分布直方图（如图所示）只给出了的统计．    (1)试估计本次模拟考试数学成绩的中位数； (2)若从60分以下和90分及以上的学生中抽取2人，对其学情进行精准分析，设抽到数学成绩在60分以下的学生人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1)75分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图求出60分以下的人数的频率，再根据中位数的定义结合频率分布直方图即可求解. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，求出对应的概率写出分布列，结合数学期望公式即可求解. 【详解】（1）根据题意60分以下的人数的频率为：， 因为前两组，的频率之和为：， 而，所以中位数在组内， 设中位数为，则，解得， 则估计本次模拟考试数学成绩的中位数为75分． （2）60分以下的人数为人， 的人数为人， 则抽取的抽取总人数为， 随机变量所有可能的取值为0，1，2， 则，，， 故随机变量的概率分布列为 0 1 2 所以数学期望为. 26．(本题10分)已知，且. (1)求的值. (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系可求解与的值，由此求解即可. （2）根据与的关系求解即可. 【详解】（1）∵， ∴， 又∵，且， ∴，即，解得， ∴，， ∴. （2）由（1）知，， ∴， ∴. 27．(本题12分)中药是中华民族的瑰宝，一些中药材人工种植的技术很难攻克，只能依靠野生资源的供给．最近，中国科学家成功研究出某中药植物的人工种植技术，它具有种植密度高，经济效益好的特点．研究表明：人工种植该中药植物时，在一定的条件下，每株植物的年平均生长量（单位：千克）是每平方米种植株数（，单位：株）的函数．当时，的值为6；当时，是的一次函数，下面实验数据表中有一个数据被误删，变成了空格． （单位：株） 3 5 6 9 12 15 （单位：千克） 6 6 6 4 0 (1)你认为实验数据表中的空格应填何值？ (2)当时，求关于的函数解析式； (3)当每平方米种植株数为何值时，每平方米该中药植物的年生长总量（单位：千克）取得最大值？并求出这个最大值．（提示年生长总量年平均生长量种植株数） 【答案】(1)2 (2) (3)当每平方米种植株数为或株时，每平方米该中药植物的年生长总量取得最大值，最大值为千克 【分析】（1）设，将代入，求出，再将代入解析式中求值即可. （2）由（1）可知，当时，与的解析式，再结合时，的值，列出分段函数解析式即可. （3）根据题意可得，再由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】（1）当时，设， 将代入得，，解得， ， 当时，， 所以应填2. （2）由（1）可得，当时，， 且当时，， . （3）， 当时，，； 当时，， 所以当时，． 所以当每平方米种植株数为或株时， 每平方米该中药植物的年生长总量取得最大值，最大值为千克． 28．(本题13分)已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，若，，求： (1)点P到BC的距离； (2)平面PCD与底面ABCD所成角的大小； (3)AC与平面PAD所成角的大小． 【答案】(1) (2)30° (3)45° 【分析】（1）先根据线面垂直得到点P到BC的距离即为线段PB的长度，然后解即可； （2）先作出二面角的平面角，然后解即可； （3）先作出AC与平面PAD所成的角，然后解即可. 【详解】（1）如图所示，因为PA平面 ABCD，平面ABCD，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为，且平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以， 即线段PB的长度就是点P到BC的距离. 在中，因为，， 所以， 即点P到BC的距离为. （2）如图所示，因为PA平面 ABCD，所以， 又因为四边形是正方形，所以， 因为，所以平面PAD， 因为平面PAD，所以， 则即为平面PCD与底面ABCD所成角的平面角. 在中，， 所以， 即平面PCD与底面ABCD所成的角为30°. （3） 如图所示，连结AC， 因为平面PAD，所以AD是AC在平面PAD上的射影， 则即为AC与平面PAD所成的角. 在中，易知， 所以AC与平面PAD所成的角为45°. 29．(本题13分)如图所示，倾斜角为的直线过抛物线的焦点，交抛物线于、两点．求：    (1)抛物线的标准方程； (2)的值； (3)的面积． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）由焦点求得，即可得抛物线的标准方程； （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用焦点弦长公式求解； （3）求出原点到直线的距离，计算的面积即可． 【详解】（1）由焦点，设抛物线的标准方程为， 则，解得． 故抛物线的标准方程为． （2）直线的斜率，其方程为． 联立抛物线方程得，即， 其中， 设，则， 由焦点弦长公式得． （3）原点到直线的距离， 则的面积． 30．(本题14分)某职校无人机专业进行无人机编队表演，无人机群在空中分别按照“图1、图2、图3、图4、…、图n”依次亮灯构造图形，每幅图亮灯的无人机数量依次记为数列：，，，，…，．假设无人机的数量足够多，并且无损坏，观察图形完成下列问题． (1)求的值； (2)判断数列为何种数列（不要求证明），并求其通项公式； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)等差数列， (3) 【分析】（1）观察发现，各图的无人机数量依次比前图增加3架，据此即可求出； （2）根据等差数列的定义即可判断并求出通项公式； （3）根据前两问的结果，可求出数列的通项公式，进而求解. 【详解】（1）观察可知，前4个图的无人机数量分别为： 图1：， 得：； （2）数列为等差数列； 由（1）可知， 数列中，，， 则通项公式； （3）因为， ，， 所以数列是首项为16，公比为8的等比数列， 前n项和. 试卷第1页，共3页 第 18 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $