第91卷 综合模拟卷（1）2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的综合模拟卷，整合多专题知识点，以题载知，强化知识应用与核心素养考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-9、12-15|聚焦集合、函数性质等单一考点|概念生成→性质辨析→简单应用| |逻辑推理|选择6、7、10、11，填空22|涉及充要条件、概率计算等|条件判断→逻辑推导→结论验证| |数学应用|解答25、27|结合工资统计、台风积水等情境|实际问题→数学建模→数据分析| |综合创新|解答28-30|立体几何证明、双曲线综合、“贪吃蛇”数列|多知识点交叉→综合推理→创新拓展|

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第91卷 综合模拟卷（1） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（ ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定是锐角 C．是第三象限角 D．角度制与弧度制不能互相转换 5．向量与共线，则的值为（ ） A．-4 B．4 C．9 D．-9 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A． B． C． D． 8．函数的振幅和周期分别为（   ） A．， B．3， C．，1 D．3，1 9．已知直线过点，，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 10．某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（ ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 11．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 12．在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A． B． C． D． 13．已知点在角的终边上，则的值为（ ） A． B． C． D． 14．某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ） A． B． C． D． 15．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 16．在正四棱锥中，已知，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C．72 D． 17．椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 18．已知分段函数，若函数的定义域为，则集合为（   ）． A． B． C． D．和都可以 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若函数（，且）在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是___________． 20．已知数列满足，则＝______. 21．在中，若，则的值是__________. 22．在的二项展开式中，第4项的系数与第4项的二项式系数的和______. 23．如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 24．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为__________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)从高二某班随机抽取6名同学，记为，､､､､，统计这6名同学的期中考试成绩，现将语文数学､英语(满分均为150分)三科的成绩制成下表： 班级平均分 语文 115 118 124 132 117 119 数学 136 147 123 137 145 139 英语 129 133 131 141 139 125 134 已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138. （1）求出，； （2）若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势学科”.现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量为该同学在语文､数学､英语三科中“优势学科”的个数，求的分布列和数学期望. 26．(本题10分)已知角满足. (1)若，求，的值； (2)若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 27．(本题12分)2024年第11号台风“摩羯”是有气象记录以来，秋季登陆我国的最强台风.台风登陆期间，由于强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行积水数据监测，在雨水流入过程中，地下车库的积水量（立方米）与时间（小时）成正比；在雨停之后，救援人员立即使用抽水机进行排水，此时积水量（立方米）关于时间（小时）的函数解析式为（为常数），函数图象如图所示. (1)求关于的函数解析式； (2)已知该地下车库的面积为4000平方米，当积水量最大时，水深为多少米？ (3)当地下车库积水的深度不高于0.125米时，救援人员可以开始对车库开展清淤工作，则排水多长时间后，可以开始清淤工作？ 28．(本题13分)在三棱柱中，是等边三角形，平面，分别为的中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面 29．(本题13分)如图所示，，是双曲线的两个焦点，且该双曲线的离心率，实轴长为2，过左焦点的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)当直线的斜率为1时，求线段的中点坐标. 30．(本题14分)在“贪吃蛇”的游戏中，设定贪吃蛇从原点出发，沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进，不停的吞食沿途的每一个格点（不包括原点）．已知贪吃蛇的初始长度为0，并且每吞食一个格点，长度就增加1个单位，如它的头部到达点，其长度增加到2，当它的头部到达点，其长度增加到，…，当它的头部到达点时，其长度增加到．求：    (1)和的值； (2)数列的通项公式； (3)数列的前项和． 答案第1页，共2页 第 14 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第91卷 综合模拟卷（1） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集的概念及集合的运算一一判断即可. 根据子集的概念，A错误； ，B错误； ，C错误； 由知，D正确. 故选：D. 2．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质即可得解. 【详解】若，则，故错误； ，故错误；，故正确； ，故错误， 故选：. 3．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数运算法则逐一计算求解即可. 因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：C 4．下列说法正确的是（ ） A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角一定是锐角 C．是第三象限角 D．角度制与弧度制不能互相转换 【答案】C 【分析】根据象限角的定义及终边相同的角，弧度制的概念判断可得. 对A：如与终边相同，但角不相等，故A错误； 对B：如，所以是第一象限角但不是锐角，故B错误； 对C：因为，所以是第三象限角，故C正确； 对D：角度制与弧度制能互相转换，故D错误. 故选：C. 5．向量与共线，则的值为（ ） A．-4 B．4 C．9 D．-9 【答案】A 【详解】由向量与共线，得， 所以. 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合题意即可判断求解． 【详解】若满足不能得到，故充分性不成立， 由可以得到，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 8．函数的振幅和周期分别为（   ） A．， B．3， C．，1 D．3，1 【答案】B 【分析】根据正弦函数的振幅、周期的定义求解即可. 【详解】由函数可知函数的振幅为，周期为. 故选：B . 9．已知直线过点，，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间斜率公式求出直线斜率，得到直线的点斜式方程再化为一般式方程即可得解. 【详解】直线过点，，则斜率， 由点斜式得为，化为一般式方程为. 故选：A. 10．某学校组织学生体检，高二年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队的不同安排方案共有（ ） A．240种 B．120种 C．188种 D．156种 【答案】B 【分析】分别分析甲在第一位、第二位和第三位三种情况，结合捆绑法，分析计算，即可得答案. 甲班排在第一位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩余的三个班全排列， 安排到剩下的3个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案； 甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有（种），将剩下的三个班全排列， 安排到剩下的三个位置，有（种）情况，此时有（种）安排方案 由分类加法计数原理可知共有（种）方案． 故选：B． 11．已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合期望公式即可得解. 【详解】，， 故选：. 12．在下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性及在上单调性，逐项分析判断. 对于A，函数是奇函数，所以A错误； 对于B，函数是偶函数，在上单调递减，所以B错误； 对于C，函数是奇函数，所以C错误； 对于D，函数是偶函数，在上单调递增，所以D正确. 故选：D 13．已知点在角的终边上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义，求得，再结合诱导公式，即可求解. 由点在角的终边上，可得， 则. 14．某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3600 4000 4400 5000 6000 7000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为元，中位数为元，众数为元，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平均数，中位数，众数的意义分别求得平均数，中位数，众数即可. 这50名员工月工资的平均数为元； 从小到大排列后第25和第26个数均为4400，所以中位数为元； 显然4400出现次数最多为20次，所以众数为元 故. 故选：B. 15．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 16．在正四棱锥中，已知，则该正四棱锥的表面积为（    ） A． B． C．72 D． 【答案】A 【分析】根据题意作出四棱锥，结合棱锥的表面积公式即可得解. 【详解】取的中点，连接，   ， 则， 所以， 所以四棱锥的表面积为. 故选：. 17．椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆焦点三角形周长得，面积最大值在短轴端点取得，即，结合 ，求解即可. 【详解】    因为的周长为，即， 所以， 又的底为，高为点纵坐标，即， 因为面积的最大值为，此时，即， 根据，代入得到， 即，解得（负值舍去）， 得到1，所以椭圆方程为. 故选：A． 18．已知分段函数，若函数的定义域为，则集合为（   ）． A． B． C． D．和都可以 【答案】A 【分析】根据分段函数各分段定义域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，所以， 又定义域各分段不能重叠，故 所以集合. 故选：A. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．若函数（，且）在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是___________． 【答案】-1 【分析】由指数函数的性质有求参数a，再由单调性求最小值. 由题设，，可得， 所以在上递减，故其最小值为. 故答案为：-1. 20．已知数列满足，则＝______. 【答案】13 【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解. ， ，，，，， ， . 21．在中，若，则的值是__________. 【答案】 【分析】先根据三角形面积公式求出边的值，再利用余弦定理求出边的值. 【详解】已知，，， 可得， 即，解得， 根据余弦定理得， 可得， 即， 可得. 故答案为：. 22．在的二项展开式中，第4项的系数与第4项的二项式系数的和______. 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式列出第4项，分别计算出第4项的系数与第4项的二项式系数，相加即可. 【详解】在的二项展开式中， 第4项， 则第4项的系数为， 第4项的二项式系数为， 所以第4项的系数与第4项的二项式系数的和为， 故答案为：. 23．如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 24．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，利用双曲线方程求出渐近线方程，设出点的坐标，求出，代入，结合双曲线的性质得到，代入离心率公式即可得解. 【详解】    抛物线的焦点为，准线为， ，准线方程为，渐近线方程为， 准线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点）， 设，， ，则， ，即， ∴双曲线的离心率， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)从高二某班随机抽取6名同学，记为，､､､､，统计这6名同学的期中考试成绩，现将语文数学､英语(满分均为150分)三科的成绩制成下表： 班级平均分 语文 115 118 124 132 117 119 数学 136 147 123 137 145 139 英语 129 133 131 141 139 125 134 已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138. （1）求出，； （2）若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势学科”.现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量为该同学在语文､数学､英语三科中“优势学科”的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1），；（2）分布列答案见解析，数学期望：. 【分析】（1）由6名同学语文分数的中位数是119可得，由数学分数的平均数是138可得； （2）先分别求出6名同学的“优势学科”个数，进而可得的分布列和数学期望. 【详解】（1）将已知的5个语文成绩从小到大排序得：115，117，118，124，132， 由6名同学语文成绩的中位数是119可知，， 由6名同学数学成绩的平均数是138可知，. （2）由题意，没有优势学科，、、、均有1个优势学科，有2个优势学科. 的可能取的值为0，1，2. ，，. 故的分布列为 0 1 2 数学期望. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分别求出6名同学的“优势学科”个数. 26．(本题10分)已知角满足. (1)若，求，的值； (2)若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系结合可求出答案； （2）由题意可得，求出，再对所求式同时除以，代入化简即可. （1），即，又， 故，， 又，故，； （2）角的终边与角的终边关于轴对称，则，， ，， 故. 27．(本题12分)2024年第11号台风“摩羯”是有气象记录以来，秋季登陆我国的最强台风.台风登陆期间，由于强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行积水数据监测，在雨水流入过程中，地下车库的积水量（立方米）与时间（小时）成正比；在雨停之后，救援人员立即使用抽水机进行排水，此时积水量（立方米）关于时间（小时）的函数解析式为（为常数），函数图象如图所示. (1)求关于的函数解析式； (2)已知该地下车库的面积为4000平方米，当积水量最大时，水深为多少米？ (3)当地下车库积水的深度不高于0.125米时，救援人员可以开始对车库开展清淤工作，则排水多长时间后，可以开始清淤工作？ 【答案】(1) (2)米 (3)2个小时 【分析】（1）根据已知条件，分和两种情况讨论，依次求出对应的函数解析式即可求解. （2）根据体积公式列式即可求解. （3）令，即，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为雨水流入过程中，地下车库的积水量（立方米）与时间（小时）成正比， 由图可知：设雨水流入过程中的函数解析式为， 因为过点，带入解析式得， 所以当时函数解析式为， 当时函数解析式为，过点，代入得， 所以当时函数解析式为， 综上所述：关于的函数解析式为. （2）由函数图像可知，积水量最大为2000立方米， 因为地下车库的面积为4000平方米，设水深为h米， 则，解得米. （3）由题意，令，即， 因为函数在定义域范围内为减函数，所以， 因消防部门从时开始排水， 故至少需要经过2个小时以后救援人员可以开始对车库开展清淤工作. 28．(本题13分)在三棱柱中，是等边三角形，平面，分别为的中点．    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）找出棱柱的底面积和高，计算体积. （2）利用直线与平面平行的判定定理证明. （3）利用直线与平面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）解：是等边三角形，为的中点， ， ． 又平面，且， ． （2）证明：连接，由于是的中点，所以与相交与点．   为的中点，又为的中点， ． 平面平面， 平面． （3）证明：连接   在Rt中，， 在Rt中，． 为等腰三角形． 又为的中点，所以． 在Rt中，， 在Rt中，． 为等腰三角形． 又为的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 29．(本题13分)如图所示，，是双曲线的两个焦点，且该双曲线的离心率，实轴长为2，过左焦点的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)当时，求的面积； (3)当直线的斜率为1时，求线段的中点坐标. 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据双曲线的实轴、离心率以及焦点位置求解即可. （2）根据双曲线的定义、勾股定理以及三角形的面积求解即可. （3）根据直线的点斜式方程，再联立直线方程以及双曲线方程，根据韦达定理以及中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）由，即. 又，即.于是有. 因此，双曲线的标准方程为. （2）设，. 由点在双曲线的左支，于是由双曲线的定义知，即. 在中，由勾股定理知， 又，于是有. 因为，所以，解得. 因此，. （3）直线过点，斜率为1，因此直线的方程为. 设、. 联立，消去，得. 由韦达定理知，，于是线段中点的横坐标， 将代入直线，得. 因此，线段的中点坐标为. 30．(本题14分)在“贪吃蛇”的游戏中，设定贪吃蛇从原点出发，沿着如图所示的逆时针方向螺旋式前进，不停的吞食沿途的每一个格点（不包括原点）．已知贪吃蛇的初始长度为0，并且每吞食一个格点，长度就增加1个单位，如它的头部到达点，其长度增加到2，当它的头部到达点，其长度增加到，…，当它的头部到达点时，其长度增加到．求：    (1)和的值； (2)数列的通项公式； (3)数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，直线写出和的值即可； （2）根据题（1），结合等差数列的前n项和公式和递推公式求出数列的通项公式即可； （3）根据题（2）结合裂项相消法求出数列的前项和即可. 【详解】（1）通过分析贪吃蛇的移动路径， 当它的头部到达点时，其长度增加到， 则， 得，. （2）由（1）知，， ，即， ，即， 以此类推，， 则有. （3）， 所以 . 试卷第1页，共3页 第 19 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $