第93卷 综合模拟卷（3）2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 三阶递进式训练体系下的综合模拟卷，整合代数、几何、概率统计核心知识点，强化跨章节应用与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|选择1-9/12/15/18、填空19-20/22、解答26/30|集合运算、函数性质、数列递推、三角变换|概念生成（集合→函数）→原理推导（三角公式→恒等变换）→应用拓展（数列模型解决实际问题）| |几何|选择10/13/16/17、填空21/23/24、解答28/29|立体几何体积与空间角、解析几何曲线性质|空间形式（正方体→异面直线成角）→数量关系（椭圆离心率→双曲线方程）→逻辑联系（几何量计算与位置关系证明）| |概率统计|选择7/11/14、解答25/27|古典概型、分布列、统计图表|数据收集（统计图表）→数据分析（众数/中位数）→模型构建（概率分布与数学期望）|

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第93卷 综合模拟卷（3） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知角，则角为（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．已知平面向量，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．袋中有4个红球、2个白球，任取一球是白球的概率为（   ） A． B． C． D． 8．函数的最大值，最小正周期分别是（    ）． A．2， B．， C．， D．， 9．过点，且斜率为的直线方程是（   ） A． B． C． D． 10．某地下车库有8个连在一排的车位.现有6辆不同型号的车需要停放，若其中A，B，C，3辆车相邻停放，另3辆车也相邻停放，但这6辆车不停放在一起的不同停放种数为（ ） A．72 B．144 C．216 D．432 11．已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 12．已知函数是偶函数，且当时严格单调递减，则（    ） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 14．某校举行图书节义卖活动，将所得款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表： 售价/本 3元 4元 5元 6元 数目 14本 11本 10本 15本 下列说法正确的是（   ）． A．该班级所售图书的总收入是226元 B．在该班级所售图书每本价格组成的一组数据中，中位数是4 C．在该班级所售图书每本价格组成的一组数据中，众数是15 D．在该班级所售图书每本价格组成的一组数据中，方差是2 15．函数，，则函数的值域是 （    ） A． B． C． D． 16．现有正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则正四棱锥的高为（    ）. A． B． C． D． 17．已知椭圆的离心率，则实数m的值为（   ） A．3 B．或 C． D．或3 18．已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知函数，若，则______. 20．已知数列满足，若，则___________． 21．在中，已知，则________. 22．已知，则______. 23．如图所示，点E，F分别是正方体的棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____________．    24．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)某中学在10月1日举行国庆歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示． （1）写出这16名选手得分的众数和中位数； （2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元，40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为，求的分布列与数学期望． 26．(本题10分)已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 27．(本题12分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； (3)某条鲑鱼想把游速提高，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 28．(本题13分)如图，为正方体，其边长为2． (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求二面角的大小． 29．(本题13分)已知双曲线的实轴长为6，且过点. (1)求双曲线的离心率； (2)设是双曲线的左右焦点，点在双曲线位于第一象限的右支上，且，求点的坐标. (3)设是双曲线的左右顶点，是虚轴的下顶点，在（2）的条件下，求四边形的面积. 30．(本题14分)某布匹批发市场一布商在6月7日购进匹布，8日开始销售，他每天都先销售前一天库存布匹数量的后，再新进匹新布入库，设天后销售及进货后库存布匹的数量为． (1)求6月8日销售及进货后库存布匹的数量； (2)求与的关系式； (3)用表示． 答案第1页，共2页 第 13 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第93卷 综合模拟卷（3） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】集合，，则. 故选：B. 2．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质及作差法判断各选项. 【详解】当，时，满足，但是，故A不正确； 当时，，故B不正确； 因为，所以，即，故C正确； 当，时，满足，但是，故D不正确. 故选：C. 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算即可求解． 由，可得， 则． 故选：D 4．已知角，则角为（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】已知，故角为第二象限角． 5．已知平面向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示的模长公式即可求解. 【详解】， 所以. 故选：D 6．已知，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断. 【详解】若，则，又因为，那么，即，故充分性成立； 由“”不能推出“”， 例如，时，，但此时，故必要性不成立， 综上，“”是“”的充分条件，不是必要条件. 故选：A. 7．袋中有4个红球、2个白球，任取一球是白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式计算. 【详解】袋中总共有6个球，白球有2个，则任取一球是白球的概率为. 故选：A. 8．函数的最大值，最小正周期分别是（    ）． A．2， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先利用辅助角公式化简，再由三角函数的性质即可求出其最小周期和最大值. 【详解】因为函数， 又，则 所以函数的最大值为2，最小正周期为. 故选：A. 9．过点，且斜率为的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程直接求解即可. 【详解】过点，且斜率为的直线方程是 ，即. 故选：A. 10．某地下车库有8个连在一排的车位.现有6辆不同型号的车需要停放，若其中A，B，C，3辆车相邻停放，另3辆车也相邻停放，但这6辆车不停放在一起的不同停放种数为（ ） A．72 B．144 C．216 D．432 【答案】C 【分析】采用分步乘法计数原理结合捆绑法插空法计算即可. 第一步：先排A，B，C，3辆车共有种排法， 第二步：再排另3辆车共有种排法， 第三步：还剩两个空车位，把两个捆绑体插入两个空车位产生的3个空中共有种排法， 由分步乘法计数原理可知这6辆车不同停放种数共有：种排法. 故选：C 11．已知随机变量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由二项分布的方差公式求出的值，然后代入二项分布的概率公式求解. 因为，， 则， 解得或， 当时，； 当时，. 故选：D. 12．已知函数是偶函数，且当时严格单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合偶函数及减函数的性质即可得解. 【详解】函数是偶函数， 则，，故错误； 因为当时严格单调递减，则即， 故错误，正确， 故选：. 13．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 14．某校举行图书节义卖活动，将所得款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表： 售价/本 3元 4元 5元 6元 数目 14本 11本 10本 15本 下列说法正确的是（   ）． A．该班级所售图书的总收入是226元 B．在该班级所售图书每本价格组成的一组数据中，中位数是4 C．在该班级所售图书每本价格组成的一组数据中，众数是15 D．在该班级所售图书每本价格组成的一组数据中，方差是2 【答案】A 【分析】根据总收入、中位数、众数和方差的公式分别计算并判断各选项即可. 【详解】选项A：该班级所售图书的总收入为（元），故A正确； 选项B：将该班级所售图书每本价格组成的一组数据从小到大排列，一共有个， 中间的两个数是第个和第个数据，其中第2个数据为4，第2个数据为5， 所以中位数为，故B错误， 选项C：由表格可知元的图书数量最多，为1本， 所以在该班级所售图书每本价格组成的一组数据中，众数是，故C错误， 选项D：该班级所售图书每本价格组成的一组数据的平均数为 解法一（对应高教版）： 方差 ，故D错误， 解法二（对应人教版）： 方差 ，故D错误， 故选：A. 15．函数，，则函数的值域是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合值域的定义即可得解. 【详解】函数，， ，，，， 则值域为， 故选：. 16．现有正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则正四棱锥的高为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱锥的性质以及勾股定理求解即可. 【详解】正四棱锥如图所示，    因为正四棱锥的底面边长为，即， 则，即， 因为侧棱长为， 则四棱锥的高. 故选：C. 17．已知椭圆的离心率，则实数m的值为（   ） A．3 B．或 C． D．或3 【答案】D 【分析】分类求出椭圆的焦点在轴上和焦点在轴上的，代入椭圆离心率公式求得实数m的值. 【详解】在椭圆中， ①若焦点在轴上时，即，此时，从而， 所以，解得； ②若焦点在轴上时，即，此时，从而， 所以，解得； 综上所述，实数m的值为或3. 故选：D 18．已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据自变量的取值范围代入即可. 【详解】已知， 根据自变量的取值范围， 因为，， 因为，， 因为，， 因为，， 因为， ， 故. 故选：D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知函数，若，则______. 【答案】3 【分析】先将代入函数解析式，可求解，再将代入函数解析式即可求解. 【详解】∵函数，且， ∴， 则有， ∴. 故答案为：3. 20．已知数列满足，若，则___________． 【答案】-1 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解． ， 则是周期为3的周期数列， 又， . 21．在中，已知，则________. 【答案】 【分析】先根据三角形内角和为求出角，再利用正弦定理求出边的值. 【详解】已知，则. 由正弦定理，即， 所以. 故答案为：. 22．已知，则______. 【答案】63 【分析】逆用二项式定理从已知等式中求出，根据二项式系数的性质即可求解. 在二项展开式中中， 令，，得，即，解得. 因为， 所以. 故答案为：63. 23．如图所示，点E，F分别是正方体的棱，的中点，则异面直线与所成角的大小为_____________．    【答案】 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】如图所示，连接，    因为点E，F分别是正方体的棱，的中点， 所以为的中位线，则， 又因为， 所以直线与所成角即为与所成角， 因为在正方体中，， 所以为等边三角形，则. 故答案为：. 24．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 【答案】/ 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再根据已知条件求解直线的方程，联立方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，即，所以， 所以点，又直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立方程，整理为， 设，，则， 所以． 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)某中学在10月1日举行国庆歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示． （1）写出这16名选手得分的众数和中位数； （2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元，40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）众数为，平均数为；（2）分布列见解析，. 【分析】（1）根据众数的定义和中位数的计算方法可得结果. （2）可取，算出取各值时对应的概率，得到的分布列后可得其期望. 【详解】（1）由茎叶图可得众数为， 平均数为. （2）可能的取值为， 又，， ，， 故的分布列为： 故. 【点睛】本题考查茎叶图的应用、众数与中位数的计算，还考查了离散型随机变量的分布列及数学期望，注意计算分布列时要借助排列组合的方法，本题属于基础题. 26．(本题10分)已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将正余弦化为正切求解即可； （2）根据同角三角函数基本关系式化简即可. 【详解】（1）∵， ∴，解得． （2）易知原式 . 27．(本题12分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数. (1)当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是多少？ (2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数； (3)某条鲑鱼想把游速提高，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入即可得解； （2）将代入，求出即可得解； （3）设鲑鱼的游速为时，它的耗氧量的单位数为，设鲑鱼的游速为时，它的耗氧量的单位数为，由结合对数的运算求出的值，即可得解. 【详解】（1）解：当时，， 即当一条鲑鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是. （2）解：由可得，即当一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数为. （3）解：设鲑鱼的游速为时，它的耗氧量的单位数为， 设鲑鱼的游速为时，它的耗氧量的单位数为， 令，可得. 所以，某条鲑鱼想把游速提高，那么它的耗氧量的单位数是原来的倍. 28．(本题13分)如图，为正方体，其边长为2． (1)求三棱锥的体积； (2)求异面直线与所成的角的大小； (3)求二面角的大小． 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）三棱锥可以转换为三棱锥，再根据棱锥的体积公式即可求解. （2）由可找出为异面直线与所成的角，即可求解. （3）找出二面角的平面角即可求解. 【详解】（1）为正方体， 由题意可得，三棱锥可以转换为三棱锥 则三棱锥的底面积. 由正方体可得，平面， 即平面 所以三棱锥的高为. 所以三棱锥的体积. （2）连接，， 因为为正方体， 所以，所以为异面直线与所成的角. 在正方体中，， 所以在中. 即异面直线与所成的角的大小为. （3）因为平面，平面， 所以， 则为二面角的平面角. 因为为正方体， 所以. 即二面角的大小为. 29．(本题13分)已知双曲线的实轴长为6，且过点. (1)求双曲线的离心率； (2)设是双曲线的左右焦点，点在双曲线位于第一象限的右支上，且，求点的坐标. (3)设是双曲线的左右顶点，是虚轴的下顶点，在（2）的条件下，求四边形的面积. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线离心率公式求解； （2）由点在双曲线上及列方程组求解； （3）四边形的面积可以看作与的面积之和. 【详解】（1）由双曲线的实轴长为6，即，得， 由点在双曲线上，可得，即，解得， 从而得，即， ∴离心率. （2）设，， 点在双曲线上，则， 又， ， ， ， 则，代入可得， ，，， . （3），到直线的距离为，可得, ，到直线的距离为，则, .    30．(本题14分)某布匹批发市场一布商在6月7日购进匹布，8日开始销售，他每天都先销售前一天库存布匹数量的后，再新进匹新布入库，设天后销售及进货后库存布匹的数量为． (1)求6月8日销售及进货后库存布匹的数量； (2)求与的关系式； (3)用表示． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由题意列式即可求解. （2）由题意表示出与的关系式化简即可. （3）由（2）中关系式可知是以为首项，为公比的等比数列，由此即可用表示. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，得， ∴． （3）∵，即， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 第 17 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $