专题42 二项式定理（练习）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦二项式定理核心考点，以分层题型构建从概念理解到性质应用的逻辑链条，融入真题溯源强化备考针对性，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求展开式中的项|8题|选择/填空|从项的定位到常数项求解，强化二项展开式通项公式应用| |求二项式系数|6题|选择/填空|围绕特定项系数计算，建立系数与组合数的关联| |二项式系数性质|7题|选择/填空/解答|结合增减性与最值判断，深化二项式系数对称性理解| |系数和问题|11题|选择/填空/解答|通过赋值法实现二项式系数与各项系数和的转化| |杨辉三角|2题|选择/填空|链接组合数与三角结构，体现数学文化与知识迁移| |综合应用|12题|解答题|整合多考点，训练逻辑推理与综合运算能力|

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题42 二项式定理 【考点1 求展开式中的项】 1. 的展开式中的第3项为（    ） A． B． C． D． 2. 二项式的展开式中的第2024项是（   ） A．1 B． C． D． 3. 若二项式的展开式中第5项的值为5，则等于（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 4. 展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 5. 已知的展开式的常数项是第七项，则正整数的值为(   ) A．7 B．8 C．9 D．10 6. 展开式的中间项是______. 7. 展开式的第5项为________. 8. 在的二项展开式中，第___________项是. 【考点2 求二项式系数】 9. 在展开式中第3项的二项式系数为（    ） A．6 B． C．24 D． 10. 二项式的展开式中，含项的二项式系数是（      ） A．5 B． C．10 D． 11. 在的二项展开式中，第11项的二项式系数是（    ） A．1 B．11 C． D． 12. 二项式展开式中第3项的二项式系数为15，则展开式中常数项是（    ） A．240 B．-240 C．15 D．-15 13. 的展开式中含的项的系数是_________． 14. 二项式展开式中含项的系数为，则常数的值为______． 15 已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 【考点3 二项式系数的增减性与最值】 16. 的二项展开式中，系数最小的项是（    ） A．第1010项 B．第1011项 C．第1012项 D．第1013项 17. 的二项展开式中，二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 18. 在的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第9项 B．第8项 C．第7项 D．第6项 19. 展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（    ） A．360 B．180 C．90 D．60 20. 下列关于的说法不正确的是（   ） A．展开式中的二项式系数之和为 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数是非正数 21. 在的二项展开式中，若只有第1013项的二项式系数最大，则正整数_____. 22. 若中的系数为，则____________；二项展开式中系数最大的项为___________． 【考点4 二项式系数和与各项系数和】 23. 的展开式中，各二项式系数之和为（    ） A． B．1 C． D． 24. 在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数之和为（    ） A．-128 B．-64 C．64 D．128 25. 二项式的展开式中所有的偶数项二项式系数之和为（    ） A． B． C． D． 26. 已知的展开式中各项的二项式系数之和是，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 27. 设，则（ ） A． B． C．1 D．2 28. 已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（    ） A．81 B．64 C．27 D．32 29. 已知，则（   ） A．2n B． C． D． 30. 若，则（ ） A．8 B． C． D． 31. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为______. 32. 已知展开式中二项式系数之和为，则展开式中各项系数之和为_________． 33. 已知，则_____； 34. 若，则______________． 【考点5 杨辉三角】 35. 下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（    ） A．120 B．210 C．84 D．36 36. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是___________.（用数字作答） 【考点1 求二项展开式的项与系数】 37. 的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．70 D．72 38. 的展开式中，的系数为（    ） A．10 B．20 C．30 D．60 39. 展开式中的常数项是120，则实数______． 40的展开式中，含的系数是_____． 41. 已知展开式的常数项为，求： (1)常数的值； (2)展开式中二项式系数最大的项. 42. 若二项式的展开式中只有第6项的系数最大， (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 【考点2 二项式系数最值】 43. 设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ） A． B． C． D． 44. 已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中的系数为___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________. 【考点3 二项式系数和与各项系数和】 45. 已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A．270 B． C．330 D． 46. 已知（a为常数）的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，则该展开式中的第3项为______． 47. 已知 (1)求； (2)求． 48. 在（n为正整数）二项展开式中，若，求： (1)展开式中所有项的系数之和； (2)展开式中含的项的系数. 49. （1）求二项式的展开式中含的项的系数； （2）在二项式的展开式中，已知前四项的二项式系数之和为M，二项式的展开式中各项的系数之和为N，且，求实数a的值. 50. 已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求： (1)的值； (2)展开式中的常数项； (3)展开式中系数最大的项． 【真题溯源】 1.（2026·浙江，21）展开式中项的系数为______. 2. （2025年浙江，15） 下列各式中，展开式含有常数项的是（ ） A. B. C. D. 3.（2024年浙江，17）的二项展开式中，二项式系数最大的项为（ ） A. B. C. D. 4.（2023年浙江，19）的展开式的常数项是（ ）. A. B. C. 2 D. 3 5.（2022年浙江，22）的展开式中的系数为__________． 6.（2021年浙江，23）已知展开式中各项系数之和为，则______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题42 二项式定理 【考点1 求展开式中的项】 1. 的展开式中的第3项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题意得. 故选：B. 2. 二项式的展开式中的第2024项是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的第2024项为 ， 即. 故选：B. 3. 若二项式的展开式中第5项的值为5，则等于（    ） A．3 B．5 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】根据二项式的第k项求值、组合数的计算 【分析】先写出二项式的通项式，得到第5项式子，即可求解值. 【详解】二项式可以写成， 通项式. 令，. 得到. 故选：A. 4. 展开式中常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项、求二项展开式 【分析】写出二项式的通项公式，令指数为，求出的值即可解得. 【详解】由题的展开式的通项公式为： ， 当时，解得， 故展开式的常数项为， 故选：A 5. 已知的展开式的常数项是第七项，则正整数的值为(   ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、根据二项式的第k项求值、求二项展开式的第k项 【分析】由二项式展开式的通项公式，求出展开式的第七项令的次数为0，求解即可. 【详解】由二项式展开式的通项公式可知： 展开式的第七项为， 又因为第七项为常数，所以， 故选:. 6. 展开式的中间项是______. 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】先根据二项展开式的项数确定中间项是第几项，再根据二项展开式的通项公式求出中间项. 【详解】在中，展开式共有项. 所以展开式的中间项是第项. 二项展开式的通项为. 因为中间项是第4项，所以可得：. 故答案为：. 7. 展开式的第5项为________. 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用通项公式将第5项表示出来，即可求解. 【详解】由二项式展开的通项公式，可知 . 故答案为：. 8. 在的二项展开式中，第___________项是. 【答案】3 【知识点】根据二项式的第k项求值 【分析】由二项展开式的通项公式，令a的指数等于求出的值即可. 【详解】的二项展开式的通项为 ， 令，得. ∴第3项. 故答案为：3. 【考点2 求二项式系数】 9. 在展开式中第3项的二项式系数为（    ） A．6 B． C．24 D． 【答案】A 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】利用二项式展开中的二项式系数的定义即可得解. 【详解】对于，其展开式中第3项的二项式系数为. 故选：A. 10. 二项式的展开式中，含项的二项式系数是（      ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【知识点】求指定项的二项式系数、求二项展开式 【分析】由二项式定理可得展开式为，即可求含项的二项式系数. 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以展开式中含项的二项式系数为. 故选：A. 11. 在的二项展开式中，第11项的二项式系数是（    ） A．1 B．11 C． D． 【答案】B 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】直接求解二项展开式的第11项即可求解二项式系数. 【详解】由二项式中第11项，， 所以第11项的二项式系数是. 故选：B. 12. 二项式展开式中第3项的二项式系数为15，则展开式中常数项是（    ） A．240 B．-240 C．15 D．-15 【答案】A 【知识点】求指定项的系数、求指定项的二项式系数 【分析】先由二项式展开式的通项公式，求出n的值，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值. 【详解】，二项式的展开式中第3项为， 因为第3项的二项式系数为15，所以，所以， 则展开式中的通项公式为， 即 令，求得，故展开式中的常数项为. 故选：A. 13. 的展开式中含的项的系数是_________． 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】根据二项式定理，写出的通项公式： . 令. 当 时，该项的系数为. 故答案为：. 14. 二项式展开式中含项的系数为，则常数的值为______． 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据二项式展开的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，二项式展开式为. 令，解得，则，解得. 故答案为：. 15 已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 【答案】10 【知识点】求指定项的二项式系数、组合数方程或不等式 【分析】由二项式展开式中的二项式系数可得，再由组合数求解即可. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质，解得． 故答案为：10. 【考点3 二项式系数的增减性与最值】 16. 的二项展开式中，系数最小的项是（    ） A．第1010项 B．第1011项 C．第1012项 D．第1013项 【答案】C 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】先写开二项展开式的通项公式，再由二项式系数增减性即可判断系数最小的项. 【详解】的二项展开式的通项公式为 ， 二项式系数具有对称性且先增后减， 所以二项式系数最大值为， 又因为系数为，所以当时系数最小， 即系数最小的项是第1012项. 故选：C. 17. 的二项展开式中，二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】首先确定二项式系数最大的项为最中间的项，根据二项式展开式的通项公式求出最中间的项即可. 【详解】因为的二项展开式中共有项， 二项式系数最大的项为最中间的项，即第项， 则其最中间的项为. 故选：A. 18. 在的展开式中，系数最大的项是（    ） A．第9项 B．第8项 C．第7项 D．第6项 【答案】A 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值、组合数的计算 【分析】先利用二项式定理判断得展开式中各项的系数，再利用二项式系数的性质分析得系数最大的项，从而得解. 【详解】因为的通项公式为， 所以在的展开式中，各项系数为， 由二项式系数的性质可知，是中的最大项， 当时，，显然不可能为中的最大值； 当时，，显然为中的最大值； 综上，的展开式中，当时，系数最大项，为第9项. 故选：A. 19. 展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（    ） A．360 B．180 C．90 D．60 【答案】D 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】由展开式中只有第四项的二项式系数最大，可知，再利用通项公式可求指定的项. 【详解】由题知：， 由通项公式， 令得， 所以展开式的常数项是. 故选：D 20. 下列关于的说法不正确的是（   ） A．展开式中的二项式系数之和为 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数是非正数 【答案】C 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数的性质进行判断即可. 【详解】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为，故A正确， 二项式系数具有对称性，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误， 因为展开式通项为， 第6项， 所以第6项的系数是非正数，故D正确， 故选：C. 21. 在的二项展开式中，若只有第1013项的二项式系数最大，则正整数_____. 【答案】2024 【知识点】二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】已知在的二项展开式中，只有第 1013 项的二项式系数最大， 则展开式的项数是奇数，为偶数，且中间项为第1013项. ，解得. 故答案为：2024. 22. 若中的系数为，则____________；二项展开式中系数最大的项为___________． 【答案】 【知识点】求系数最大（小）的项、由项的系数确定参数、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】解：因为的展开式中的系数为， 即，得， 所以， 最大项一定是k为偶数时，时，系数为时，系数为时，系数为时，系数为1， 所以时系数最大，最大项为． 故答案为：， 【考点4 二项式系数和与各项系数和】 23. 的展开式中，各二项式系数之和为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式系数的性质即可解得. 【详解】由题，根据二项式系数得性质可知， 的展开式中，各二项式系数之和为. 故选：D 24. 在二项式的展开式中，奇数项的二项式系数之和为（    ） A．-128 B．-64 C．64 D．128 【答案】C 【知识点】二项式的系数和、求指定项的二项式系数 【分析】由二项式系数之和为，再计算奇数项的二项式系数之和. 【详解】二项式的二项式系数和为， 即, 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和， 故奇数项的二项式系数之和为. 故选:C. 25. 二项式的展开式中所有的偶数项二项式系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项式的系数和 【分析】利用的二项式系数之和为、二项式系数的性质，即可求解. 【详解】因为的二项式系数之和为， 所以， 又， 所以偶数项二项式系数之和. 故选：D 26. 已知的展开式中各项的二项式系数之和是，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式系数的性质，列方程可求解． 【详解】的展开式中各项的二项式系数之和是256， ，解得. 故选：C 27. 设，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式系数和令和即可求解. 【详解】因为， 令，则， 令，则 所以. 故选：D. 28. 已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（    ） A．81 B．64 C．27 D．32 【答案】D 【知识点】由项的系数确定参数、二项式的系数和 【分析】根据二项式定理求出，，根据求出n的值，从而可求解. 【详解】，， ∴，解得， ∴该展开式各项的二项式系数和为. 故选：D 29. 已知，则（   ） A．2n B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项式的系数和 【分析】令即可得解. 【详解】因为， 令可得， 故选：. 30. 若，则（ ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】首先将代入二项展开式中，求出的值，再将代入二项展开式中求值即可. 【详解】因为， 令，得， 令，得， 所以． 故选：D 31. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为______. 【答案】3 【知识点】由二项展开式各项系数和求参数、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，求得，再令得展开公式中各项的系数和，解方程即可求解. 【详解】因为的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 所以展开式一共有项，即，令，得展开式中所有项的系数和为， 所以或（舍去），所以正数的值为3. 故答案为：3. 32. 已知展开式中二项式系数之和为，则展开式中各项系数之和为_________． 【答案】 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式系数之和为，求出的值，再使即可解答. 【详解】已知展开式中二项式系数之和为， 则，解得， 当时，， 所以展开式中各项系数之和为， 故答案为：. 33. 已知，则_____； 【答案】 【知识点】二项式的系数和 【分析】令代入等式计算即可解得. 【详解】由题，， 令，则. 故答案为：. 34. 若，则______________． 【答案】664 【知识点】求指定项的系数 【分析】分别求出二项式的系数和以及和的值即可求解. 【详解】令，可得， 令，可得， 展开式中含有的项为，即， 所以. 故答案为：664. 【考点5 杨辉三角】 35. 下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（    ） A．120 B．210 C．84 D．36 【答案】C 【知识点】杨辉三角 【分析】由题意第九行的数就是的展开式的各项的二项式系数可得答案. 【详解】由题意，第九行的数就是的展开式的各项的二项式系数， 所以第10行第7个数是． 故选：C. 36. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是___________.（用数字作答） 【答案】15 【知识点】杨辉三角 【分析】根据杨辉三角得到规律是第n行，第r()个数为求解. 【详解】由杨辉三角知： 第1行：， 第2行：， 第3行：， 第4行：， 由此可得第n行，第r()个数为， 所以第15行第15个数是， 故答案为：15 【考点1 求二项展开式的项与系数】 37. 的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．70 D．72 【答案】C 【知识点】求指定项的系数、多项式的展开式 【分析】方法一：由，利用通项公式求解；方法二：由，利用通项公式求解. 【详解】解：方法一：展开式中， 第项， 所以常数项为， 方法二：展开式中， 第项， 当时，展开式中常数项为； 当时，展开式中常数项为； 当时，， 所以的展开式中，常数项为70， 故选：C． 38. 的展开式中，的系数为（    ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【知识点】求指定项的系数、多项式的展开式 【分析】根据二项式定理求解系数即可. 【详解】因为二项式为， 所以的展开式中含的项为:， 而中含的项为. 所以的系数为. 故选:C. 39. 展开式中的常数项是120，则实数______． 【答案】2 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、由项的系数确定参数、根据二项式的第k项求值 【分析】求出的通项公式，得到与，从而得到展开式常数项，得到方程，求出. 【详解】∵展开式的通项公式为， 令得，即． 令得，即， ∴展开式中的常数项为， 故，解得． 故答案为：2 40的展开式中，含的系数是_____． 【答案】207 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式定理即可求解. 【详解】因为， 则的展开式中的系数是： 的展开式中的的系数减去的展开式的的系数， 由二项式定理，展开式的通项为， 令得展开式的含的系数是， 令得展开式的含的系数是， 则含的系数是. 故答案为：207. 41. 已知展开式的常数项为，求： (1)常数的值； (2)展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的二项式系数、根据二项式的第k项求值、求二项展开式 【分析】（）求出展开式的通项公式，利用常数项为，列出方程即可得解. （）根据二项式系数的性质，得出第四项二项式系数最大，代入通项公式中即可得解. 【详解】（1）已知展开式的通项公式为：. 令解得. 所以常数项为. 解得. （2）因为为偶数，所以第四项的二项式系数最大. . 42. 若二项式的展开式中只有第6项的系数最大， (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1)10 (2)210 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值、二项展开式的应用 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；利用二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大求出； （2）将的值代入通项；令通项中的x的指数为0，求出，将的值代入通项可求解． 【详解】（1）由展开式的通项公式可知 展开式的系数与二项式系数相同， 由于展开式中，只有第6项的系数最大， 所以； （2）由（1）知， 令得， 所以展开式中的常数项为. 【考点2 二项式系数最值】 43. 设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三项展开式的系数问题、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据题意得到和，再根据项的取法为1个和1个再计算即可. 【详解】因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式一共有项，即， 令，得展开式中所有项的系数和为，所以， 中项的取法为1个和1个， 所以系数为. 故选：C 44. 已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中的系数为___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________. 【答案】 15 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值、组合数的计算 【分析】根据二项式展开式的通项公式，通过赋值即可求得指定项的系数；根据绝对值最大，列出不等式组，解得的范围，即可求得，则问题得解. 【详解】因为， 所以当时，，则； 令，得，所以的系数为. 设的系数的绝对值最大，则， 解得， 因为，，所以， 故系数的绝对值最大的项的系数为. 故答案为：；. 【考点3 二项式系数和与各项系数和】 45. 已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为（    ） A．270 B． C．330 D． 【答案】D 【知识点】三项展开式的系数问题、二项式的系数和 【分析】令，得，得. 再根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】令，则，得. 所以， 又因为只有，展开式中有含的项， 所以的系数为. 故选：D 46. 已知（a为常数）的展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和相等，则该展开式中的第3项为______． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和 【分析】由二项式定理的性质即可得解. 【详解】由题意得,即. . 故答案为:. 47. 已知 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)16384 【知识点】二项式的系数和、求指定项的二项式系数 【分析】（1）根据二项式展开的通项，即可求解. （2）根据二项式展开，令，即可求出结果. 【详解】（1），且为的系数， 根据二项式展开式的通项公式得， 令，得.， （2），， 可得，，， ， 令， 原式， 48. 在（n为正整数）二项展开式中，若，求： (1)展开式中所有项的系数之和； (2)展开式中含的项的系数. 【答案】(1)729 (2)240 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和、求二项展开式的第k项 【分析】（1）根据题意结合二项式系数的性质求得，再令，求所有项的系数之和； （2）利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得，可得， 故二项式为， 令，可得， 所以展开式中所有项的系数之和为729. （2）设的通项为， 令时，则，此时， 故展开式中含的项的系数为240. 49. （1）求二项式的展开式中含的项的系数； （2）在二项式的展开式中，已知前四项的二项式系数之和为M，二项式的展开式中各项的系数之和为N，且，求实数a的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】（1）根据二项式的展开式即可求解. （2）根据二项式中各项系数的和的求法即可求解. 【详解】（1）二项式的展开式的通项为， ，1，2，3，4，5. 令，则， 所以含的项为. 所以二项式的展开式中含的项的系数为. （2）由题意得. 在二项式的展开式中，令，可得， ，， 即，解得. 50. 已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求： (1)的值； (2)展开式中的常数项； (3)展开式中系数最大的项． 【答案】(1)9. (2). (3). 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、求系数最大（小）的项 【分析】（）根据二项展开式的二项式系数和公式即可得解. （）根据题意结合二项展开式的通项公式即可得解. （）设展开式第项的系数最大，列出不等式组即可得解. 【详解】（1）展开式的二项式系数和为， ，解得：. （2）展开式通项为， 令，解得：， 则展开式常数项为. （3）设展开式第项的系数最大， 则，解得， 又，， 展开式中系数最大的项为. 【真题溯源】 1.（2026·浙江，21）展开式中项的系数为______. 【答案】 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令， 此时， 故答案为： 2. （2025年浙江，15） 下列各式中，展开式含有常数项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先求解二项式的通项，再根据常数项令求解即可. 【详解】设二项式， 则该二项展开式的通项为：， 由得， ∴n必须是3的整数倍，n可以是6. 故选：B. 3.（2024年浙江，17）的二项展开式中，二项式系数最大的项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定二项式系数最大的项为最中间的项，根据二项式展开式的通项公式求出最中间的项即可. 【详解】因为的二项展开式中共有项， 二项式系数最大的项为最中间的项，即第项， 则其最中间的项为. 故选：A. 4.（2023年浙江，19）的展开式的常数项是（ ）. A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式，即可求解. 【详解】根据题意，常数项由分别来自，的项组成， 的展开式的通项为， 则第一个因式取2，第二个因式取，得； 第一个因式取，第二个因式取，得； 因此的展开式的常数项是. 故选：D. 5.（2022年浙江，22）的展开式中的系数为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】把按照二项式展开可得，项，再乘以的常数项和一次项，合并同类项即可求解. 【详解】 所以的系数为. 故答案为:. 6.（2021年浙江，23）已知展开式中各项系数之和为，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】令，可得展开式中各项系数之和为，据此可求解. 【详解】令，可得展开式中各项系数之和为， 由题可得， 所以， 解得. 故答案为：5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $