专题42 二项式定理（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题42 二项式定理 【复习目标】 1.识记二项式定理表达式，理解展开式的项数、项的结构特征。 2. 熟记通项公式，明确：项数为，取值范围。 3.清晰区分二项式系数与项的系数，能辨别二者差异。 4.理解二项式系数最大值规律：为偶数，中间一项系数最大；为奇数，中间两项系数相等且最大 5.能利用通项公式，求解指定项、指定次数项、常数项. 6.会利用二项式系数的性质，解决系数求和、最值类问题。 1、 【知识清单】 知识点1：二项式定理 （1）一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有 项. ②项按 的降幂 的升幂排列. ③每一项中和的幂指数之和为 . 知识点2：二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐 增大 ；当时，二项式系数逐渐 减小 ，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 二、【技巧归纳】 1．求二项展开式的特定项的解题策略 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 2.二项式系数的和与各项系数的和问题 (1)赋值法 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. (2)系数之和问题的解题策略 若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为，偶数项系数之和为. 3. 二项式系数最大项问题 (1)二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为； 当n为奇数时，展开式中第和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或. 三、【考点清单】 考点1 求二项展开式特定的项 【典例1】（2026届浙江职教高考研究联合体第二次联考试卷）在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则该二项展开式中的常数项为（   ） A．84 B．56 C．20 D．0 【答案】A 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数相等及组合数公式求出值，利用二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等， 则，所以， ∴通项为， 令，则， ∴常数项为， 故选：. 【即时训练】 1.（2025届浙江省职教高考高三第五次模拟考试）的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】由二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 则第项是. 故选：B. 2.（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市高三高职模拟考试）的二项展开式中第5项为常数项，则n的值是（   ）． A．15 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【知识点】根据二项式的第k项求值 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】的二项展开式中第5项为常数项， 则，，解得， 故选：. 3.（2025届浙江省绍兴市职教高考高三下学期第二次模拟）若的展开式中常数项是，则a为（   ） A．2 B． C． D．不确定 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数 【分析】首先列出该二项式的通项，再使其的指数为0，求出的值，再由其常数项是，列方程求解即可. 【详解】已知，其通项公式为， 令，解得， 所以，即，解得， 故选：C. 4.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三五模模拟试题）在的二项展开式中，第5项为_________. 【答案】70 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】展开式的第5项为. 故答案为：70. 5.（2023届浙江省高职考东杭三模试题）若展开式的第5项为，则常数______． 【答案】 【知识点】根据二项式的第k项求值 【分析】利用二项式的通项公式可解. 【详解】根据二项式通项公式可知，即 所以，． 故答案为：. 6.（2023届浙江省职教高考联合体第一次联合考试数学试题）在的二项展开式中，第4项为_________． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可解得. 【详解】由题，二项式展开式的通项公式为： ， 要求第项，令，则， ， 故答案为： 7.（2021届浙江省高职考试研究联合体第一次联合考试）已知的展开式有7项，则展开式中的第4项为__________. 【答案】 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项 【分析】根据展开式的项数可求解n的值，再根据二项式的通项进行求解即可. 【详解】∵的展开式有7项，∴， ∴. 故答案为：. 8.（2022届浙江省温州市高职单独考试第二次模拟考试）已知的展开式共有10项. (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1)9 (2)84 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项 【分析】（1）根据二项式的性质即可求出； （2）利用二项式展开通项公式即可得解. 【详解】（1）因为的展开式共有10项， 所以. （2）因为展开后通项公式为：， 令，得， 所以常数项为. 考点2 求二项展开式特定项系数 【典例2】（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）杨辉所著的《详解九章算法》中，画了表示二项式展开后的二项式系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”，简称为“杨辉三角”．如图所示，它这当时，二项式展开式中的二项式示数表示形式．借助图中的表示形式，可以判断的值分别是（    ） A．6，8，10 B．6，10，20 C．8，10，20 D．6，8，20 【答案】B 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据二项式系数的性质可得. 【详解】从第二行起，除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和. 则，，. 故选：B. 【即时训练】 9.（2022届浙江省职教高考研究联合体第三次联合考试））在的展开式中，x的系数为（    ） A． B．10 C． D．80 【答案】C 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】写出二项式展开式的通项，由x的指数为1，求得r的值，即可求出. 【详解】二项式展开式的通项公式为. 令,得,则x的系数是. 故选:C. 10.（2021届浙江省绍兴市高三中职数学第一次模拟考试）二项式展开式第4项的系数为20，则（ ） A． B．l C． D． 【答案】C 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】二项式展开式的通项为， 所以第4项为，则， 解得. 故选：C. 11.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试试卷）已知的二项展开式中有10项，则倒数第3项的系数是（    ） A．2304 B． C． D．4608 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】因为的二项展开式中有10项，所以. ，倒数第3项为顺数第8项，， 倒数第3项的系数为． 故选：C. 12.（2022届浙江省嘉兴市高三高职考第三次模拟考试）已知二项式的展开式中，第四项的系数为，则常数项为_________. 【答案】24 【知识点】组合数的计算、求二项展开式的第k项、由项的系数确定参数 【分析】先写出二项式的展开式通项式，求得值，再得到常数项. 【详解】二项式的展开式通项为. 当时，， 第四项的系数为，故，即，得到. 当时，此时，故. 故常数项为24. 故答案为：24. 考点3 二项式系数之和与最值 【典例3】（2024届浙江省温州市普通高职单独考试高三二模试题）已知的二项式系数之和为256，求： (1)的值； (2)二项式展开式中的常数项. 【答案】(1)8 (2)70 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】（1）根据二项式系数之和即可求解n的值. （2）先求出二项展开式的通项公式，令，求解r即可. 【详解】（1）因为二项式系数之和为256， 所以，解得. （2）由（1）知，二项式为， 所以二项展开式的通项为， 令，解得， 所以常数项为. 【典例4】（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试）在的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第4项和第5项 D．第8项 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】先写出二项式展开式的通项公式，先分析二项式系数的最大项，再结合系数的正负进而找出系数最大的项. 【详解】因为二项式中，二项式系数最大项为第项与第项， 即二项式系数最大项为第4项与第5项， 其展开式的通项公式为：，其中， 则， ，即第项的系数最大. 故选：B. 【即时训练】 13.（2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟考试）已知的展开式中有且只有第6项的二项式系数最大，则n为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据题意，结合二项式系数的性质，即可求解. 【详解】因为的展开式中有且只有第6项的二项式系数最大， 所以，解得. 故选：A. 14.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第二次联合考试））在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据题意，结合二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4项，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】由题意得，二项式系数最大的项为第4项， 所以． 故选：C． 15.（2023届浙江省宁波市高三高职复习第二次模拟考试）已知的展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则n为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的性质即可解得. 【详解】由题，的展开式中第项和第项二项式系数最大， 则应为奇数，且中间项的系数最大，即和， 故，此时中间项系数最大为和. 故选：B 16.（2024届浙江省职教高三一轮复习系统性一模卷）若二项式的展开式中二项式系数最大项含有，则n不可能是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据展开式中二项式系数的性质，分讨论可得结果. 【详解】根据展开式中二项式系数的性质可知， 若，则二项式系数最大项有，符合题意； 若，则二项式系数最大项只有，符合题意； 若，则二项式系数最大项有，符合题意； 若，则二项式系数最大项只有，不符合题意； 故选：A 17.（2025届浙江省职教高考绍兴市高三第一次模拟考试）二项展开式中，正确的是（   ）． A．展开式共6项 B．二项式系数最大的是第3项 C．展开式无常数项 D．所有项的系数之和为1 【答案】D 【知识点】求二项展开式、二项式系数的增减性和最值、二项展开式各项的系数和 【分析】由二项定理对式子展开，逐个分析选项. 【详解】由二项定理可得，， 选项A，二项展开式共有项，该选项错误； 选项B，二项展开式的第项的二项式系数为，最大二项式系数为，对应第项，该选项错误； 选项C，对于，项为，该选项错误； 选项D，将代入二项式，得到所有项的系数之和为，该选项正确； 故选：D. 18.（2023届浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试）已知，且是一个单调递增的数列，则k的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】由二项式系数的变化规律求解. 【详解】二项式定理的通项， 由题意可知的值分别为， 由二项式系数的性质可知，这些数先增大后减小，且最大， 即数列先增大后减小，且最大， ∵是一个单调递增的数列， ∴，即的最大值是6. 故选：B. 19.（2025届浙江省台州市中等职业技术学校高三第一次模拟考试）若展开式中的二项式系数之和为，则展开式中的系数最小的项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】根据二项式系数之和为确定的值，再求出二项展开式的通项公式，分别使，，求出对应的项的系数，即可确定系数最小的项. 【详解】已知展开式中的二项式系数之和为， 则，解得， 所以的通项为， 要使展开式中的系数最小，则为奇数， 当时，， 当时，， 当时，， 所以展开式中的系数最小的项是， 故选：B. 20.（2025届浙江省职教高考高三第三次模拟考试）二项式，若，则（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 【答案】B 【知识点】二项式的系数和 【分析】利用二项式通项公式，将的值转化为中令的值，即可求解. 【详解】因为二项式， 设，当取负值时，的正负性会变化，而均为正，且， 所以的值就是中令的值， 即，所以． 故选：B． 21.（2025届浙江省职教高考复习高三第二次模拟考试）已知，则________． 【答案】81 【知识点】二项式的系数和 【分析】由二项式展开式系数的性质，令即可得到各系数之和. 【详解】， 令，得． 故答案为： 22.（2024届浙江省高职理论考临海、温岭、玉环县市高三联合模拟考试）的展开式中，记二项式系数之和为m，常数项的值为n，则______. 【答案】79 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】先根据公式求出二项式系数的和，再写出二项展开式的通项公式，求出常数项，即可得出答案. 【详解】由题可得， ， 的展开式的通项为， 令，解得， 故常数项的值为，即， 所以， 故答案为：79. 23.（2024届浙江省浙江省联合体高三第二次模拟考试）在二项式的展开式中，若各项的系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中的常数项为______. 【答案】9 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】通过赋值法得出，由二项式系数和的性质求出，进而列出方程求出，然后利用二项展开式的通项求得常数项. 【详解】令，得各项的系数之和， 由二项式系数和的性质，得， 由题意得，得， 即，可得，. ∵通项，， 令，解得， ∴常数项为. 故答案为：9. 24.（2023届浙江省单招单考高三考前适应性练习）若，则__________. 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式展开式，代入特殊值，即可求解. 【详解】当时，代入， 左边，右边，所以； 当时，代入， 左边，右边， 即， 所以. 故答案为：. 25.（2021届浙江省湖州市高三高职复习一模试卷）已知的二项展开式中，各项系数之和是256， (1)求的值； (2)二项展开式中是否存在常数项？若存在，请求出常数项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在常数项，为 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和 【分析】（1）赋值法令代入二项式，根据求得的系数和等于256，即可求得. （2）根据二项式的通项式，将的指数设为零，即可求得常数项. 【详解】（1）对于二项式，其各项系数之和可通过令来求解， 即， 解得. （2）的展开式通项为， 令，得到. 此时. 所以存在常数项，为. 26.已知其中所有项的二项式系数之和为.求： (1)的值. (2)的值. (3)的值. 【答案】(1)6 (2) (3)0 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）将代入二项式系数之和的公式即可求出的值. （2）根据二项展开式的通项公式表示出通项，求出含的项的系数即可. （3）首先令，求出的值，再令求出的值，使两式相减即可. 【详解】（1）因为所有项的二项式系数之和为， 所以有，解得. 所以的值为6. （2）由（1）可知， 所以的展开式中的通项为， 因为是的系数，所以当时，， 所以. 所以的值为. （3）已知 则当时，， 当时，， 所以. 考点4 两个二项式乘积的展开式 【典例5】（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试高三第一次模拟考试）的展开式中项的系数为______． 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】首先得出，再由二项展开式的通项确定含的项即可. 【详解】已知， 的展开式中项为中含的项， 则展开式中，令，解得， 则， 则的展开式中项为， 的展开式中没有项，所以含项的系数为， 故答案为：. 【即时训练】 27.（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）若，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、二项展开式各项的系数和 【分析】令即可得解. 【详解】令，则， 则， 故选：. 28.（2026届浙江省单独考试招生考试杭州市模拟卷）已知的展开式中不含项，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】根据二项式定理展开式分析求解即可. 【详解】的展开通项. 原式中项由两部分组成： 因式乘以中的项：令得，系数为. 因式乘以中的项：令得，系数为. 因为展开式不含项，则的总系数为0，即，解得. 故选：B. 29.（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模试卷）的展开式中的系数是（    ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】C 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式定理的展开式求解即可. 【详解】. 展开式中，的系数为， 因此展开式中的系数为2025. 展开式中，的系数为， 因此的展开式中的系数是. 故选：C. 30.（2025届浙江职教高考复习第四次模拟试卷）的展开式中含项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】因为，又因为的展开式中无项， 的展开式的通项公式， 所以当时，含项的系数为． 故选：D． 31.（2023届学年浙江省精准教学研究中心职教高考第二次考试）展开式中含项的系数等于___________． 【答案】 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】变形，然后利用二项式的通项求解. 【详解】∵， 展开式的通项为， ∴令，可得展开式中含项为，其系数为. 故答案为：. 32.（2022届浙江省高职考单独考试温州市第三次模拟考试）在的展开式中，含的项的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】在的展开式中含的项的系数即为在的展开式中含的项的系数，利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由题意在的展开式中含的项的系数即为在的展开式中含的项的系数， 因为的展开式的通项公式为，故含的项的系数是. 故答案为： 考点5 杨辉三角 【典例6】（2026届浙江省嘉兴、台州市高三第一次高职模拟考试）杨辉是我国南宋一位杰出的数学家，其所著《详解九章算法》一书中有一张表，它表示了二项式系数在三角形中的排列规律，简称为“杨辉三角”，如下表，是“杨辉三角”的一部分，则第8行从左到右的第8个数字为_________． 【答案】 【知识点】杨辉三角 【分析】根据杨辉三角的规律及与二项式系数之间的关系，分析求解即可. 【详解】第1行有2个数，依次为， 第2行有3个数，依次为， 第3行有4个数，依次为， 则第8行有9个数，依次为 ， 所以第8个数字为. 故答案为：. 【即时训练】 33.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就载有“杨辉三角”，比欧洲早400年左右，如图所示，“杨辉三角”中第8行第3个数为（   ）    A．8 B．28 C．42 D．70 【答案】B 【知识点】杨辉三角、组合数的计算 【分析】对数据进行多角度观察，进而找出每一行的数与数之间，行与行之间的规律，进而求得答案. 【详解】由题图可知，第1行：. 第2行：.第3行：. 第4行：， 观察可得第n行第r个数为，所以第8行第3个数为． 故选：B. 34.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________． 【答案】 【知识点】杨辉三角 【分析】根据题图写出各行首尾数字与行数的关系，即可得第n行的首尾两个数. 【详解】由，，，，，…， 所以，第n行的首尾两个数. 故答案为： 35.（2024届浙江省杭州市电子信息职业学校高三11月月考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为_______（用最简分数表示） 【答案】 【知识点】杨辉三角 【分析】由杨辉三角的性质即可得解. 【详解】由杨辉三角知第行中最大的数为,第二大的数为. 所以. 故答案为:. 一、【真题溯源】 1.（2026·浙江，21）展开式中项的系数为______. 【答案】 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令， 此时， 故答案为： 2. （2025年浙江，15） 下列各式中，展开式含有常数项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先求解二项式的通项，再根据常数项令求解即可. 【详解】设二项式， 则该二项展开式的通项为：， 由得， ∴n必须是3的整数倍，n可以是6. 故选：B. 3.（2024年浙江，17）的二项展开式中，二项式系数最大的项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定二项式系数最大的项为最中间的项，根据二项式展开式的通项公式求出最中间的项即可. 【详解】因为的二项展开式中共有项， 二项式系数最大的项为最中间的项，即第项， 则其最中间的项为. 故选：A. 4.（2023年浙江，19）的展开式的常数项是（ ）. A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项公式，即可求解. 【详解】根据题意，常数项由分别来自，的项组成， 的展开式的通项为， 则第一个因式取2，第二个因式取，得； 第一个因式取，第二个因式取，得； 因此的展开式的常数项是. 故选：D. 5.（2022年浙江，22）的展开式中的系数为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】把按照二项式展开可得，项，再乘以的常数项和一次项，合并同类项即可求解. 【详解】 所以的系数为. 故答案为:. 6.（2021年浙江，23）已知展开式中各项系数之和为，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】令，可得展开式中各项系数之和为，据此可求解. 【详解】令，可得展开式中各项系数之和为， 由题可得， 所以， 解得. 故答案为：5 二、【考向感知】 二项式定理是浙江中职单招代数板块稳定小题考点，难度中等偏易。命题核心围绕通项公式求指定项，辅以系数和、二项式系数性质轮换考查；命题核心区分点为 “二项式系数与项的系数概念辨析”，整体不超中职考纲、无复杂综合模型，复习重点放在通项运算、指数化简与概念区分上。 1.近 5 年浙江单招真题四大核心命题题型 题型 1：通项公式应用（必考主流） （1）求常数项（最高频）； （2）求指定次幂项（如、的系数） （3）求第 k 项、第 k 项的二项式系数 题型 2：系数和问题 （1）二项式系数之和 （2）各项系数之和（含式子内常数、正负） 题型 3：二项式系数性质 （1）最值判断：①偶数：中间1项二项式系数最大；②奇数：中间两项二项式系数相等且最大. （2）对称性：，用于简化计算 题型 4：简单综合 与组合数计算结合：先利用二项式系数和求，再用通项求常数项，两步计算 2.2027命题趋势 趋势 1：单一通项求项、求系数永久为主流 近五年70%真题均考查通项公式，是核心出题方向；纯系数和、性质题为轮换补充 趋势 2：强区分“二项式系数”与“项的系数”，反套路 命题刻意在同一道题设置双问对比，文字表述相近，考察概念辨析；纯机械套公式能做简单题，但中档题必须分清两个概念才能得分，是主要拉分点。 趋势 3：严格严控难度，绝不超中职考纲 趋势 4：计算量小幅提升，侧重指数化简能力 早年只考整数次幂；近年大量出现根号、倒数分式组合，要求学生熟练转化分数、负指数，考察代数运算基本功，不再是单纯背公式送分题。 趋势 5：情境淡化，纯代数计算为主 不同于排列组合的校园、抽样生活化情境，二项式全部为纯代数式题干，无复杂文字建模，审题门槛低，难点集中在代数运算与概念区分。 趋势6：组合数计算轻量化，数字偏小 题干取值多为，组合数数值简单，无超大阶乘运算，侧重方法，不刻意为难计算。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题42 二项式定理 【复习目标】 1.识记二项式定理表达式，理解展开式的项数、项的结构特征。 2. 熟记通项公式，明确：项数为，取值范围。 3.清晰区分二项式系数与项的系数，能辨别二者差异。 4.理解二项式系数最大值规律：为偶数，中间一项系数最大；为奇数，中间两项系数相等且最大 5.能利用通项公式，求解指定项、指定次数项、常数项. 6.会利用二项式系数的性质，解决系数求和、最值类问题。 1、 【知识清单】 知识点1：二项式定理 （1）一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做 ，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的 ，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有 项. ②项按 的降幂 的升幂排列. ③每一项中和的幂指数之和为 . 知识点2：二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐 ；当时，二项式系数逐渐 ，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 二、【技巧归纳】 1．求二项展开式的特定项的解题策略 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 2.二项式系数的和与各项系数的和问题 (1)赋值法 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. (2)系数之和问题的解题策略 若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为，偶数项系数之和为. 3. 二项式系数最大项问题 (1)二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为； 当n为奇数时，展开式中第和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或. 三、【考点清单】 考点1 求二项展开式特定的项 【典例1】（2026届浙江职教高考研究联合体第二次联考试卷）在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则该二项展开式中的常数项为（   ） A．84 B．56 C．20 D．0 【即时训练】 1.（2025届浙江省职教高考高三第五次模拟考试）的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D． 2.（2026届浙江省衢州、丽水、湖州市高三高职模拟考试）的二项展开式中第5项为常数项，则n的值是（   ）． A．15 B．10 C．8 D．6 3.（2025届浙江省绍兴市职教高考高三下学期第二次模拟）若的展开式中常数项是，则a为（   ） A．2 B． C． D．不确定 4.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三五模模拟试题）在的二项展开式中，第5项为_________. 5.（2023届浙江省高职考东杭三模试题）若展开式的第5项为，则常数______． 6.（2023届浙江省职教高考联合体第一次联合考试数学试题）在的二项展开式中，第4项为_________． 7.（2021届浙江省高职考试研究联合体第一次联合考试）已知的展开式有7项，则展开式中的第4项为__________. 8.（2022届浙江省温州市高职单独考试第二次模拟考试）已知的展开式共有10项. (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项. 考点2 求二项展开式特定项系数 【典例2】（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）杨辉所著的《详解九章算法》中，画了表示二项式展开后的二项式系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”，简称为“杨辉三角”．如图所示，它这当时，二项式展开式中的二项式示数表示形式．借助图中的表示形式，可以判断的值分别是（    ） A．6，8，10 B．6，10，20 C．8，10，20 D．6，8，20 【即时训练】 9.（2022届浙江省职教高考研究联合体第三次联合考试））在的展开式中，x的系数为（    ） A． B．10 C． D．80 10.（2021届浙江省绍兴市高三中职数学第一次模拟考试）二项式展开式第4项的系数为20，则（ ） A． B．l C． D． 11.（2026届浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试试卷）已知的二项展开式中有10项，则倒数第3项的系数是（    ） A．2304 B． C． D．4608 12.（2022届浙江省嘉兴市高三高职考第三次模拟考试）已知二项式的展开式中，第四项的系数为，则常数项为_________. 考点3 二项式系数之和与最值 【典例3】（2024届浙江省温州市普通高职单独考试高三二模试题）已知的二项式系数之和为256，求： (1)的值； (2)二项式展开式中的常数项. 【典例4】（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试）在的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第4项 B．第5项 C．第4项和第5项 D．第8项 【即时训练】 13.（2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟考试）已知的展开式中有且只有第6项的二项式系数最大，则n为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 14.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第二次联合考试））在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 15.（2023届浙江省宁波市高三高职复习第二次模拟考试）已知的展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则n为（    ） A．8 B．9 C． D． 16.（2024届浙江省职教高三一轮复习系统性一模卷）若二项式的展开式中二项式系数最大项含有，则n不可能是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 17.（2025届浙江省职教高考绍兴市高三第一次模拟考试）二项展开式中，正确的是（   ）． A．展开式共6项 B．二项式系数最大的是第3项 C．展开式无常数项 D．所有项的系数之和为1 18.（2023届浙江省职教高考研究联合体第五次联合考试）已知，且是一个单调递增的数列，则k的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 19.（2025届浙江省台州市中等职业技术学校高三第一次模拟考试）若展开式中的二项式系数之和为，则展开式中的系数最小的项是（   ） A． B． C． D． 20.（2025届浙江省职教高考高三第三次模拟考试）二项式，若，则（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 21.（2025届浙江省职教高考复习高三第二次模拟考试）已知，则________． 22.（2024届浙江省高职理论考临海、温岭、玉环县市高三联合模拟考试）的展开式中，记二项式系数之和为m，常数项的值为n，则______. 23.（2024届浙江省浙江省联合体高三第二次模拟考试）在二项式的展开式中，若各项的系数之和为，各项的二项式系数之和为，且，则展开式中的常数项为______. 24.（2023届浙江省单招单考高三考前适应性练习）若，则__________. 25.（2021届浙江省湖州市高三高职复习一模试卷）已知的二项展开式中，各项系数之和是256， (1)求的值； (2)二项展开式中是否存在常数项？若存在，请求出常数项；若不存在，请说明理由. 26.已知其中所有项的二项式系数之和为.求： (1)的值. (2)的值. (3)的值. 考点4 两个二项式乘积的展开式 【典例5】（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试高三第一次模拟考试）的展开式中项的系数为______． 【即时训练】 27.（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）若，则（   ） A．0 B． C． D． 28.（2026届浙江省单独考试招生考试杭州市模拟卷）已知的展开式中不含项，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 29.（2026届浙江省温州市高三中职单独考试一模试卷）的展开式中的系数是（    ） A． B． C．2024 D．2025 30.（2025届浙江职教高考复习第四次模拟试卷）的展开式中含项的系数为（   ） A． B． C． D． 31.（2023届学年浙江省精准教学研究中心职教高考第二次考试）展开式中含项的系数等于___________． 32.（2022届浙江省高职考单独考试温州市第三次模拟考试）在的展开式中，含的项的系数为__________.（用数字作答） 考点5 杨辉三角 【典例6】（2026届浙江省嘉兴、台州市高三第一次高职模拟考试）杨辉是我国南宋一位杰出的数学家，其所著《详解九章算法》一书中有一张表，它表示了二项式系数在三角形中的排列规律，简称为“杨辉三角”，如下表，是“杨辉三角”的一部分，则第8行从左到右的第8个数字为_________． 【即时训练】 33.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就载有“杨辉三角”，比欧洲早400年左右，如图所示，“杨辉三角”中第8行第3个数为（   ）    A．8 B．28 C．42 D．70 34.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________． 35.（2024届浙江省杭州市电子信息职业学校高三11月月考）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为_______（用最简分数表示） 一、【真题溯源】 1.（2026·浙江，21）展开式中项的系数为______. 2. （2025年浙江，15） 下列各式中，展开式含有常数项的是（ ） A. B. C. D. 3.（2024年浙江，17）的二项展开式中，二项式系数最大的项为（ ） A. B. C. D. 4.（2023年浙江，19）的展开式的常数项是（ ）. A. B. C. 2 D. 3 5.（2022年浙江，22）的展开式中的系数为__________． 6.（2021年浙江，23）已知展开式中各项系数之和为，则______. 二、【考向感知】 二项式定理是浙江中职单招代数板块稳定小题考点，难度中等偏易。命题核心围绕通项公式求指定项，辅以系数和、二项式系数性质轮换考查；命题核心区分点为 “二项式系数与项的系数概念辨析”，整体不超中职考纲、无复杂综合模型，复习重点放在通项运算、指数化简与概念区分上。 1.近 5 年浙江单招真题四大核心命题题型 题型 1：通项公式应用（必考主流） （1）求常数项（最高频）； （2）求指定次幂项（如、的系数） （3）求第 k 项、第 k 项的二项式系数 题型 2：系数和问题 （1）二项式系数之和 （2）各项系数之和（含式子内常数、正负） 题型 3：二项式系数性质 （1）最值判断：①偶数：中间1项二项式系数最大；②奇数：中间两项二项式系数相等且最大. （2）对称性：，用于简化计算 题型 4：简单综合 与组合数计算结合：先利用二项式系数和求，再用通项求常数项，两步计算 2.2027命题趋势 趋势 1：单一通项求项、求系数永久为主流 近五年70%真题均考查通项公式，是核心出题方向；纯系数和、性质题为轮换补充 趋势 2：强区分“二项式系数”与“项的系数”，反套路 命题刻意在同一道题设置双问对比，文字表述相近，考察概念辨析；纯机械套公式能做简单题，但中档题必须分清两个概念才能得分，是主要拉分点。 趋势 3：严格严控难度，绝不超中职考纲 趋势 4：计算量小幅提升，侧重指数化简能力 早年只考整数次幂；近年大量出现根号、倒数分式组合，要求学生熟练转化分数、负指数，考察代数运算基本功，不再是单纯背公式送分题。 趋势 5：情境淡化，纯代数计算为主 不同于排列组合的校园、抽样生活化情境，二项式全部为纯代数式题干，无复杂文字建模，审题门槛低，难点集中在代数运算与概念区分。 趋势6：组合数计算轻量化，数字偏小 题干取值多为，组合数数值简单，无超大阶乘运算，侧重方法，不刻意为难计算。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $