数学期末复习讲义（随机变量及其分布）-2025-2026学年高二下学期《期末考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》精准覆盖期末考试核心考点，紧密贴合职教高考题型，专辑内包含章节复习讲义和期末模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末复习讲义—随机变量及其分布 核心考点 复习目标 考情规律 离散型随机变量的分布列 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 基础考点，出现在选择题、填空题中、解答题中，解答题多以超几何分布出现，与计数原理内容结合 离散型随机变量的均值与方差 理解并会求离散型随机变量的均值与方差 基础考点，出现在选择题、填空题中、解答题中 二项分布 会求二项分布的概率、均值和方差 考题稳定，高频出现，主要以选择题和填空题为主，解答题也多有出现，与其他知识结合 正态分布 能根据所给条件求出正态分布的概率，能根据3σ原则求出正态分布的概率 较少出现，主要以选择题和填空题为主 第九章 随机变量及其分布 知识点1 离散型随机变量的分布列 1. 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为_随机变量__，所有取值可以一一列出的随机变量，称为_离散型__随机变量． 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的_概率分布列__，简称为X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1. 知识点2 离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2．离散型随机变量的方差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量X的方差. 知识点3 二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 知识点4 正态分布 1．正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）袋子中有4个黑球、6个红球，从中任取两个，以下可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 2．（2026高三·江苏·专题练习）下列是离散型随机变量的是（ ） A．种子含水量的测量误差 B．某品牌电视机的使用寿命 C．某网页在24小时内被浏览的次数 D．测量某一零件的长度产生的测量误差 3．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知离散型随机变量X的分布列如下表： x 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则随机变量X的方差等于（   ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 4．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（   ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A．1.8 B．2.0 C．2.6 D．4.8 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知随机变量X的分布列如下表所示，则随机变量X的均值（    ） X 0 1 2 3 P 0.12 0.18 A．1.44 B．1.5 C．1.64 D．1.72 6．（25-26高三上·山东·模拟预测）在一次测试中，甲、乙两名选手射击得分分别用变量，表示，经统计，变量，的分布列分别如下表所示： 1 2 3 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 P 0.4 0.2 0.4 依据表中数据，射击成绩较好的选手是（得分越大越好）（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样好 D．无法判断 7．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）若随机变量服从二项分布，则的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·江西·三模）若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中恰有1天下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 10．（25-26高三下·浙江·三模）某公司要从2男3女共5位员工中，选出3名员工参加海外培训项目．设随机变量表示选中的男员工人数． (1)可以取哪些值？写出随机变量的分布列； (2)求的均值和方差． 试卷第2页，共2页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 【分析】根据随机变量的定义求解. 【详解】选项A：取到的球的个数是固定的，因为题目明确规定从中任取两个球，所以取到球的个数始终为2，它不是随机变量； 选项B：取到红球的个数可能是0个、1个或2个，其结果是不确定的，并且可以用一个变量来表示，符合随机变量的定义，所以取到红球的个数是随机变量； 选项C：“至少取到一个红球”是一个事件，而不是随机变量，随机变量是用数值来表示随机试验的结果，而该选项只是一个陈述性的事件描述； 选项D：“至少取到一个红球的概率”是一个确定的数值，通过古典概型的计算方法可以得出，它不是随机变量. 故选：B. 2．C 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项判断即可. 因为离散型随机变量是可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 对于A，种子含水量的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于B，某品牌电视机的使用寿命不能一一列举，故不是离散型随机变量； 对于C，某网页在24小时内被浏览的次数能一一列举，是离散型随机变量； 对于D，测量某一零件的长度产生的测量误差不能一一列举，故不是离散型随机变量． 故选：C. 3．B 【分析】根据随机变量的期望与方差公式求解. 【详解】， . 故选：B. 4．C 【分析】根据离散型随机变量的均值公式计算. 【详解】由题意，. 故选：C. 5．C 【分析】先由分布列的性质求解m的值，再结合随机变量的均值公式求解即可. 【详解】由分布列可知：，解得， 所以. 故选：C. 6．A 【分析】分别计算变量，的期望，比较大小即可. 【详解】变量的期望， 变量的期望， 则，故选手甲的射击成绩较好. 故选：A. 7．B 【分析】根据二项分布计算公式计算出正确答案. 【详解】由已知得，即. 故选：B. 8．A 【分析】根据二项分布即可得解. 【详解】某地未来连续3天每天下雨的概率均为，不下雨的概率为， 则这3天中恰有1天下雨的概率为， 故选：. 9．B 【分析】随机变量服从正态分布，得到曲线关于对称，根据曲线的对称性得到结论． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称， 又， 所以. 故选：B. 10．(1)的取值可能为，分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题意的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列． （2）由的分布列能求出的均值和方差． 【详解】（1）由题意可知的取值可能为， 则， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 （2）由（1）可得， . 题型一 离散型随机变量的分布列 【典例1】（2024高三·专题练习）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ）． A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C 【分析】由随机变量的含义可知. 【详解】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示． 故选：C． 【典例2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列表示一个离散型随机变量的概率分布，则（    ）． 0 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质列式求解即可. 【详解】. 故选：A. 【典例3】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数) X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率的性质求出参数，再根据概率的定义、期望以及方差的公式求解即可. 【详解】因为，解得，故A错误； 由分布列知，故B错误； ，故C正确； ， 故D错误. 故选：C. 【典例4】（2024高三·专题练习）两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算求得时的概率，由此可得分布列，根据数学期望计算公式可求得结果. 【详解】两封信随机投入三个空邮箱，共有种情况， 则投入邮箱的信件数所有可能的取值为， ，，． 离散型随机变量的分布列为 ． 故选：B． 【典例5】（2024高三·专题练习）六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．120种 D．144种 解｜题｜技｜巧 1、判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 2、离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1. 【变式1】（23-24高二下·江苏徐州·期末）下列随机变量是离散型随机变量的是（    ） （1）某人的手机在一天内被拨打的次数； （2）某水文站观察到一天中的水位高度（单位：cm）； （3）某首歌曲被点播的次数． A．（1） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（3） 【变式2】（25-26高二下·广东·单元测试）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·单元测试）已知随机变量的概率分布为 0 1 2 3 4 5 6 P 0.16 0.22 0.24 0.10 0.06 0.01 则（    ） A．0.17 B．0.20 C．0.21 D．0.22 【变式4】（24-25高二下·全国·单元测试）甲、乙两台自动车床生产同种标准件，表示甲车床生产1000件产品中的次品数，表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，，的分布列分别是： 0 1 2 3 0 1 2 3 0.7 0.1 0.1 0.1 0.5 0.3 0.2 0 据此判定（    ） A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好 C．甲与乙质量相同 D．无法判定 【变式5】（2024高三·专题练习）一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的定义即可求解. 【详解】某人的手机在一天内被拨打的次数和某首歌曲被点播的次数为离散型随机变量，某水文站观察到一天中的水位高度（单位：cm）为连续型随机变量. 故选：D. 2、【答案】C 【分析】离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1，据此即可求解. 【详解】根据分布列性质，所有概率之和为 1， 即. 故选：C. 3、【答案】C 【分析】根据分布列的概率之和为1，即可求解. 【详解】当取完全部值时，其概率之和为1. 所以. 故选：C. 4、【答案】A 【分析】根据期望的公式以及意义求解即可. 【详解】由题中分布列可知 甲车床的期望， 乙车床的期望. 由于，故甲比乙质量好. 故选：A. 5、【答案】C 【分析】分别计算ξ为1，2，3时的概率即可得到答案. 【详解】随机变量ξ的可能值为1，2，3， ，，. 故选：C 题型二 二项分布 【典例1】（23-24高二下·陕西安康·期末）把一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率得到抛掷硬币时正面和反面的概率，再计算恰好两次正面朝上的概率. 【详解】一枚硬币连续抛掷有正面和反面两种情况， 所以正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是， 抛掷3次，恰好有3次正面朝上的概率. 故选：A. 【典例2】（25-26高三上·浙江温州·一模）某篮球爱好者每次投篮投中的概率是0.8，他连续投5次，恰有3次投中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出没投中的概率为，结合独立重复试验的概率性质即可得解. 【详解】篮球爱好者每次投篮投中的概率是0.8，则没投中的概率为， 连续投5次，恰有3次投中的概率是， 故选：. 【典例3】（22-23高二下·全国·单元测试）已知随机变量X服从二项分布，则（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据随机变量X服从二项分布时方差的计算公式即可求解. 【详解】∵随机变量X服从二项分布， ∴， 故选：. 【典例4】（24-25高二下·四川自贡·阶段检测）已知随机变量，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据二项分布的方差和期望公式来求解. 【详解】根据二项分布的方差公式，，解得， 根据二项分布的期望公式，. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1、n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 2、若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 【变式1】（25-26高三下·河北·对口/高职单招）从A地到B地经过 3 个红绿灯，红灯的概率是，互相独立，A 地到 B 地遇到 2 个红灯的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·全国·课前预习）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·浙江绍兴·阶段检测）设，且 ，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式4】（25-26高二下·广东·单元测试）已知，则和的值分别为（    ） A．3， B．3，3 C．， D．，3 答案 1、【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式求值即可. 【详解】遇到 2 个红灯的概率 ， 故选：C. 2、【答案】B 【分析】根据二项分布概率公式的应用即可得解. 【详解】因为随机变量， 所以. 故选：B. 3、【答案】D 【分析】利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得：或， 因为，所以或均满足题意. 故选：D. 4、【答案】A 【分析】根据二项分布的均值与方差公式即可求解. 【详解】因为，即. 所以，. 故选：A . 题型三 正态分布 【典例1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）某班有48个学生，一次测试后的数学成绩，理论上推断测试成绩从70分到90分的人数是（    ） A．28 B．34 C．32 D．30 【答案】C 【分析】先根据正态分布中原则求解的概率，再根据总人数即可求解. 【详解】因为数学成绩， 所以可知， 所以， 所以， 又因为班里有48个学生， 所以成绩从70分到90分的人数是人. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·河北石家庄·期末）若随机变量服从正态分布，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据标准正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以对称轴，进而. 因为，所以，进而. 故选：A. 【典例3】（23-24高二下·全国·单元测试）某中学通过问卷调查的形式统计了该校1000名学生完成作业所需要的时间，经统计，发现这些学生每天完成作业所需要的时间（单位：小时）近似地服从正态分布，则这1000名学生中每天完成作业所需要的时间大于0.75且小于1.25小时的人数大约为（    ）（附：） A．683 B．954 C．997 D．500 【答案】A 【分析】利用正态分布的原则即可得解. 【详解】依题意，设这些学生每天完成作业所需要的时间为， 则，故，， 则， 所以这1000名学生中每天完成作业所需要的时间大于0.75且小于1.25小时的人数大约为（人）. 故选：A. 解｜题｜技｜巧 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【变式1】（25-26高二下·河北石家庄·期中）1400人参加检测，成绩服从，，估计成绩在80分到90分的学生人数为（   ） A．840 B．560 C．420 D．280 【变式2】（25-26高二下·广东·单元测试）已知，且，则的值为（    ） A．0.025 B．0.05 C．0.95 D．0.975 【变式3】（2024高三·专题练习）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ） 附：若， A．8400 B．8185 C．9974 D．9987 答案 1、【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，结合已知概率求出成绩在分到分的概率，再根据总人数计算出相应的学生人数. 【详解】已知成绩服从， 所以该正态分布的对称轴为， 所以， 已知，则， 又因为， 所以， 已知总人数为人， 由上述计算可知成绩在分到分的概率为， 那么成绩在分到分的学生人数为人. 故选：D. 2、【答案】A 【分析】根据标准正态分布的概率性质即可求解. 【详解】由题意得，因为，又， 所以. 故选： A . 3、【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】由，数学期望，方差， 由公式可知： ， ， ， 所以单果质量在范围内的大枣个数约为， 故选：B 题型四 离散型随机变量的分布列综合问题 【典例1】（25-26高三上·河北唐山·阶段检测）设有5件产品，其中含有2件次品，从中任意抽取3件进行检查，求： (1)取出的3件产品中恰有1件是次品的概率. (2)抽得的产品中所含有的次品数的概率分布. 【答案】(1) (2)见详解. 【分析】（）根据题意结合古典概型公式及组合数的计算即可得解. （）根据题意可知的可能取值为，分别求出概率即可得解. 【详解】（1）有5件产品，其中含有2件次品，则有件正品， 从中任意抽取3件进行检查， 取出的3件产品中恰有1件是次品的概率. （2）由题意可知，的可能取值为， ，，， 所以分布列为： 【典例2】（24-25高三上·河北·阶段检测）某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 【答案】(1) (2)见解析 (3)期望：；方差： 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）写出随机变量所有可能的取值，根据古典概型的概率公式求出每一取值的概率，列出表格，即可得的概率分布； （3）利用数学期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中，有种分法， 2名优秀生被分配到同一个班的分法有种， 设2名优秀生被分配到同一个班为事件， 所以. （2）依题意，随机变量所有可能的取值有， ，，， 所以的概率分布为： （3）随机变量的期望， 方差. 【典例3】（22-23高二下·河北邢台·期末）有3个红球和2个白球，从中任取2球. (1)求抽取一次取到不同颜色球的概率. (2)有放回地取3次，取到不同颜色球次数的概率分布. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）取到不同颜色球的可能为1个红球和1个白球，再结合古典概型概率公式求解即可； （2）根据“有放回”并结合独立重复试验的概率公式计算即可. 【详解】（1）从5个球中任取2球的方法数为种， 抽取一次取到不同颜色球的可能为1个红球和1个白球，方法数为， 所以抽取一次取到不同颜色球的概率为； （2）由（1）可知，抽取一次取到不同颜色球的概率为， 根据题意，的所有可能取值为， ， ， ， ， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 P 解｜题｜技｜巧 1、解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆． (2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列． 2、n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． (2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率． 2、若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球． (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中： (1)求摸出2个红球的概率； (2)设获得优惠券金额为，求的方差． 【变式3】（2026高三·江苏·专题练习）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值； (2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在内的株数为，求的分布列及数学期望； 【变式4】（2024高三·专题练习）2023年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格： 评价等级 ★ ★★ ★★★ ★★★★ ★★★★★ 分数 0~20 21~40 41~60 61~80 81~100 人数 5 2 12 6 75 (1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率； (2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立． （ⅰ）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率； （ⅱ）若从全国所有观众中随机选取5名，记评价为五星的人数为，求的数学期望和方差． 答案 1、 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）利用列举法，求得从箱中摸出2个球有10种情况，摸出的2个球中有1个白球和1个红球有6种情况，根据古典概型的计算公式可求解； （2）由题意，X可能取的值0，1，2，再分别求出其对应的概率，写出分布列即可． 【详解】（1）记“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”， 3个白球、2个红球分别记为白1，白2，白3，红1，红2， 从中摸出2个球有｛白1，白2｝，｛白1，白3｝，｛白1，红1｝，｛白1，红2｝，｛白2，白3｝，｛白2，红1｝，｛白2，红2｝，｛白3，红1｝， ｛白3，红2｝，｛红1，红2｝共10种情况， 从中摸出的2个球中有1个白球和1个红球有： ｛白1，红1｝，｛白1，红2｝，｛白2，红1｝，｛白2，红2｝，｛白3，红1｝，｛白3，红2｝共6种情况， 所以， 即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为． （2）X表示摸出的2个球中的白球个数，则X可取, ，，， 则X的分布列为 0 1 2 2、 【答案】(1) (2)261 【分析】（1）由古典概型概率公式求出5个球（2个黄球、3个红球）中摸出2个红球的概率即可. （2）利用古典概型概率公式求出获得各优惠券金额的概率，再利用期望公式求出期望，最后利用方差公式求出方差. 【详解】（1）记事件A：摸出2个红球． 则． （2）由题意可得：X的可能取值为：0，20，50．则： ；；． 所以数学期望， 方差． 3、 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【分析】（1）根据频率之和为1列式计算即可； （2）由题意可得，根据二项分布概率和期望计算公式计算即可. （1）依题意可得，解得； （2）由（1）可得高度在的频率为 ， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以. 4、【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），. 【分析】（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率； （2）（ⅰ）记事件恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件的概率； （ⅱ）由题意得出，然后利用二项分布的方差公式可得出、的值． 【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为，评价为五星的人数是， 故评价在四星以上(包括四星)的人数为， 故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为； （2）(i)依题意评价为五星的概率为，评价为一星的概率为， 记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件， 则； （ⅱ）由题可知，故，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $