综合测试卷（四）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合三角函数、数列、排列组合、概率统计等知识，强化数学思维与知识网络构建。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数|4题|图像平移、解三角形|从函数图像变换到三角形边角关系推导| |数列|3题|等差等比通项与求和|概念生成到实际应用（增长率问题）| |排列组合|5题|选取、相邻不相邻排列|分步计数原理与分类讨论思想| |二项式定理|3题|展开式系数、常数项|二项式系数与项的系数关系| |概率统计|5题|分布列、正态分布、线性回归|从数据特征分析到模型构建应用|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（     ） A． B． C． D． 2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 5．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 6．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 7．已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 8．现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（   ） A． B． C． D． 9．甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 10．将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（    ） A．70 B．56 C．35 D．20 11．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 12．有4位男生和2位女生，在某风景点前站成一排合照，要求2位女生要相邻，有多少种不同的站法？（   ） A．120 B．240 C．360 D．480 13． 的展开式中二项式系数最大的项为（   ） A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第七项 14．已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（      ） A．4 B．16 C．1 D．81 15．的展开式中的系数为（     ） A．80 B．60 C．40 D．20 16．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 则 （    ） A． B． C． D． 18．某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（    ） （参考数据：若，则） A．3413 B．5120 C．6827 D．10328 19．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 20．某商场统计了5天的销售额y（万元）与当天客流量x（千人）的数据如下表： 客流量x/千人 2 3 4 5 6 销售额y/万元 2.5 3.8 5.2 6.1 7.4 已知y关于x的线性回归方程为，则（    ） A．0.16 B．0.26 C．0.36 D．0.46 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．在中，，，，则__________． 22．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 23．随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 24．若的展开式中的常数项为，则________________. 25．两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有_______种． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知的二项展开式中二项式系数之和为64． (1)求正整数的值，第3项二项式系数及第3项系数； (2)求常数项； (3)求二项展开式中各项系数之和． 27．已知数列分别是等差、等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 28．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 29．已知函数的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的解析式. 30．儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 (1)儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； (2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式直接计算. 【详解】. 2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】A 【分析】由函数图象平移的性质可得. 【详解】， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度. 故选：A. 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知求出、和，接着结合两角和的余弦公式求即可得解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以. 故选：B. 4．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 因为，所以，所以， 所以，故选项A正确. 5．某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（    ）万元． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，进而根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】设今后10年每年的销售额为， 因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加. 所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为， 所以今后10年每年的销售额构成等比数列， 公比为1.1，首项为. 所以今年起10年内这家超市的总销售额为 故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元. 故选：D 6．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据已知得出，，即可根据等比中项结合已知列出式子，求解得出答案. 【详解】数列是公差为2的等差数列， ，， 成等比数列， ，即，解得， 故选：C. 7．已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【分析】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【详解】设等差数列的公差为，则， . 8．现有一支200人的队伍，从中先选取50人组成A方队，再从剩下150人中选取100人组成B方队，则不同的排法总数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列数适用于有顺序要求的排法场景，分两步计算总排法数即可. 【详解】第一步：从200人中选取50人组成A方队，考虑站位顺序，共有种排法； 第二步：第一步选取后剩余人，从中选取100人组成B方队，考虑站位顺序，共有种排法； 根据分步乘法计数原理，总排法数为两步排法数的乘积，即. 9．甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】C 【详解】先对甲进行排序，有3种不同的选择， 再对其他3人进行全排列，有种不同方法， 则一共有种不同名次排列. 10．将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（    ） A．70 B．56 C．35 D．20 【答案】C 【详解】由8棵相同的小多肉，种进4个不同的花盆，每个花盆至少1棵， 相当于把8个相同的元素分成4组，每组至少1个， 需要在8个元素之间的7个空隙中插入3个隔板， 即，所以总的种法数为. 11．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 【答案】B 【分析】利用插空法分步考虑即可，需要注意限制条件. 【详解】先排 4 个歌舞节目，有种排法，排好后会产生 5 个空位（包括两端）， 然后将 2 个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有种排法， 所以满足条件的排法有种. 12．有4位男生和2位女生，在某风景点前站成一排合照，要求2位女生要相邻，有多少种不同的站法？（   ） A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】B 【详解】分成两步来完成：第一步，把两位女生当成一个整体，与4位男生进行全排列，有种方法. 第二步，两位女生内部进行全排列，有种方法； 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的站法. 13． 的展开式中二项式系数最大的项为（   ） A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第七项 【答案】D 【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】由的展开式中，项的二项式系数为， 根据二项式系数的性质得，当时，即第七项的二项式系数最大． 14．已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（      ） A．4 B．16 C．1 D．81 【答案】D 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16 所以，解得， 所以展开式中所有项的系数和为. 15．的展开式中的系数为（     ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为， 令，所以， 所以的展开式中的系数为40 16．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 17．已知随机变量的分布列为： 1 2 3 4 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由随机变量分布列性质得： ，解得， 所以 ． 18．某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（    ） （参考数据：若，则） A．3413 B．5120 C．6827 D．10328 【答案】C 【详解】，则，， ， 因此身高落在区间内的男生人数为. 19．某种品牌摄像头的使用寿命服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为，使用寿命不少于6年的概率为，某单位同时安装了5个这种品牌的摄像头，则满4年时至少还有4个摄像头能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合正态分布的对称性先求得使用寿命不少于4年的概率，然后由二项分布的概率公式可得. 【详解】记摄像头的使用寿命为X，则， 由题知 所以， 所以，所以 记满4年时还能正常工作的摄像头个数为Y，则 所以. 故选：B 20．某商场统计了5天的销售额y（万元）与当天客流量x（千人）的数据如下表： 客流量x/千人 2 3 4 5 6 销售额y/万元 2.5 3.8 5.2 6.1 7.4 已知y关于x的线性回归方程为，则（    ） A．0.16 B．0.26 C．0.36 D．0.46 【答案】A 【分析】根据线性回归直线过样本点的中心进行求解即可． 【详解】根据表格数据可得，. 由于线性回归直线必过样本点的中心， 将代入方程解得. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 22．首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 【答案】2 【分析】根据等差中项可得，利用等比数列通项公式代入即可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为首项为1，所以， 所以，故. 故答案为：2 23．随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 【答案】5 【详解】由题可知，，且，解得：，， 所以， 所以. 24．若的展开式中的常数项为，则________________. 【答案】1 【分析】法1：根据二项式定理的定义，写出展开式通项，利用赋值法，可得答案；法2：根据多项式乘法，结合组合的计数原理，结合题意，可得答案. 【详解】法1：因为的展开式的通项， 令，解得，所以常数项为，解得. 法2：的展开式中，常数项为从4个因式中1个取， 其余3个取，即常数项为，由，解得. 故答案为：. 25．两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有_______种． 【答案】 【分析】先根据分组分配策略计算“把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本”的分法种数，再减去“两本图画书分给同一个小朋友”的分法种数即可. 【详解】把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，有种分法， 其中两本图画书分给同一个小朋友的分法有种， 故两本图画书不分给同一个小朋友的分法有种. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知的二项展开式中二项式系数之和为64． (1)求正整数的值，第3项二项式系数及第3项系数； (2)求常数项； (3)求二项展开式中各项系数之和． 【答案】(1)，第3项二项式系数为15，系数为240 (2)60 (3)729 【详解】（1）二项式系数之和为，由题意得，解得， 所以二项展开式的第项， 第3项即时，二项式系数为，系数为． （2）令，解得， 所以常数项为． （3）令，代入原式得 ， 所以各项系数之和为729． 27．已知数列分别是等差、等比数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式. （2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以. （2）由（1）可知， 则. 28．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 【答案】(1)（ⅰ）3；（ⅱ）9 (2)（ⅰ）36；（ⅱ）78 【分析】（1）（ⅰ）利用组合数公式和分步乘法原理求解即可；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况，利用组合数公式和分类加法原理求解即可；解法二：利用在5件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数可得答案； （2）（ⅰ）利用捆绑法可得答案；（ⅱ）解法一：利用间接法法可得答案；解法二：分为B站左端和B不站左端分别计算可得答案. 【详解】（1）（ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品， 则有种不同的抽法； （ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况： 只有1件次品的抽法和2件次品的抽法， 由（ⅰ）得有2件次品的抽法为种不同的抽法， 只1件次品的抽法为种不同的抽法， 共有种不同的抽法； 解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法数， 是在5件产品中任意抽出3件的抽法数， 减去抽出的3件产品全是正品的抽法数， 所以共有种不同的抽法； （2）（ⅰ）将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑， 再将另外两人一起排列，所以一共有36种排法； （ⅱ）解法一：因为5个人全排列有排法， 且A站左端有种排法，B站右端有种排法， A站左端且B站右端有种排法， 所以A不站左端，且B不站右端有种排法； 解法二：依题意可得：整件事可分为B站左端，和B不站左端． 若B站左端，则其他4人全排列，有种排法； 若B不站左端，则其他3人中选出1人站在左端，有种选法， 又由于B不站左端，也不站右端，有种排法， 剩下3人有有种排法，所以B不站左端有排法； 所以A不站左端，且B不站右端有排法. 29．已知函数的最小正周期为． (1)求函数的解析式； (2)若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据最小正周期得到，得到函数解析式； （2）根据平移变换和伸缩变换的法则得到答案. 【详解】（1） ， 最小正周期为，故，故， 所以； （2）的图象向左平移个单位长度，得到， 将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数. 30．儿童的身高随年龄的增加而增加，已知某城市1-5岁儿童的平均身高如下表所示． 年龄x/岁 1 2 3 4 5 平均身高y/cm 76.0 86.5 97.5 103.5 111.5 (1)儿童的平均身高y与年龄x之间是相关关系还是函数关系？请依据判断求出平均身高y关于年龄x的回归直线方程（或函数解析式）； (2)能否用第（1）问求出的关系式预测该城市30岁市民的平均身高？若能，请求出预测值；若不能，请简要说明理由． 参考数据：． 参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【答案】(1)相关关系， (2)不能，理由如下： 因为该回归模型是基于儿童数据建立的，仅适用于描述该年龄段的统计规律，对30岁成年人的预测超出了模型的适用范围． 【分析】（1）先计算出和，然后计算，用题目中给的数据代入公式计算. （2）按照回归直线的定义分析，言之有理即可. 【详解】（1）解：相关关系 得 ∴ （2）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $