第十章 排列、组合和概率（B卷·能力提升卷）-《数学》人教版（幼儿师范）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 本试卷为中职数学第十章“排列、组合和概率”单元B卷（能力提升），紧扣教材核心考点，通过基础巩固与能力提升梯度设计，强化知识整合与实际应用，适配单元复习，培养数学思维与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|排列组合（第5题）、概率（第7题）、统计量（第2题）|结合用户满意度评分（第2题）等现实情境，考查数据分析与逻辑推理| |填空题|6/18|二项式定理（第14题）、随机变量（第16题）|设置有放回抽取（第17题）等问题，强化数学抽象与模型意识| |解答题|6/52|排列应用（第22题）、概率分布（第23题）、方差计算（第27题）|以排队问题（第22题）、投篮测试（第27题）为载体，综合考查知识迁移与问题解决能力，契合核心素养中数学思维与应用意识培养需求|

编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第十章 排列、组合和概率 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．用样本估计总体分布过程中，下列说法正确的是（    ） A．总体容量越大，估计越精确 B．总体容量越小，估计越精确 C．样本容量越大，估计越精确 D．样本容量越小，估计越精确 2．公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为10分的有1人，满意度为9分的有1人，满意度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，满意度为5分和4分的各有1人，则该产品用户满意度评分的平均数､众数､中位数､85%分位数分别为（    ） A．8分，7分，7分，9分 B．8分，7分，7分，8.5分 C．7.2分，7分，7分，9分 D．7.2分，7分，7分，8.5分 3．下列命题中，真命题的个数为（   ）． ①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数； ③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．从某地成绩数学水平测试的5000名学生的成绩中抽取200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200 名学生成绩的全体是（    ） A．总体 B．个体 C．从总体中所取的一个样本 D．总体的容量 5．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子里展览，如果甲乙两种种子不允许放入1号瓶子里，那么不同的方法总数为（   ） A． B． C． D． 6．有12件产品，其中有2件次品，现从中任取3件产品，则这3件产品中至少有1件次品的概率为（    ） A． B． C． D． 7．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是（    ） A．“至少有一个红球”与“都是红球” B．“至少有一个红球”与“都是黑球” C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球” D．“恰好有一个红球”与“恰好有两个红球” 8．现从5名女生，3名男生中，选派2名女生，1名男生分别参加全校的“资源”“生态”“环保”三个活动，则不同的方案共有（    ） A．60种 B．90种 C．120种 D．180种 9．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中含的二项式系数为（   ） A．21 B．28 C．35 D．56 10．某校有5名教师和3名学生参加志愿者活动，需从中选出3人组成服务小组，若要求至少包含1名教师和1名学生，则不同的选法（ ） A． B． C． D． 11．已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 12．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 13．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A． B． C． D． 14．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C． D． 15．9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5名参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有（    ）种． A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．随机变量X服从，若，，则n为______. 17．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法. 18．____________. 19．将4张不同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为___________个. 20．抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则____________ . 21．设随机变量的可能取值分别为，0，1，相应的概率值分别为，又成等差数列，，则_________． 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．某校数学学习小组有3名男生和4名女生，这7人站成一排留影，求以下有多少种不同的站法． (1)甲乙两人必须站在两头； (2)男生必须排在一起； (3)男生互不相邻； (4)甲乙两人之间恰好间隔1人． 23．标有数字的5张卡片.求： (1)若从中任意抽取3张，设其中标有偶数的卡片张数为随机变量，求随机变量的概率分布； (2)若每次抽取1张后再放回，如此有放回地抽取3次，求得到两次标有偶数卡片的概率. 24．一个箱子中有个白球，个红球， (1)摸两个球，求恰好有一个红球的概率； (2)有放回摸次球，每次摸一个，求摸到红球个数的分布列及其期望. 25．已知二项式． (1)求展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数． (2)求展开式中系数最大的项． 26．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，现随机抽出两件产品： (1)求恰好有一件次品的概率； (2)求抽到次品的概率. 27．甲、乙两名同学参加投篮测试，每人投5次，命中的次数如下： 甲：3，4，3，5，5，乙：2，4，4，4，6 (1)分别求甲、乙两人命中次数的平均数； (2)分别求甲、乙两人命中次数的方差，并判断谁的成绩更稳定. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第十章 排列、组合和概率 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．用样本估计总体分布过程中，下列说法正确的是（    ） A．总体容量越大，估计越精确 B．总体容量越小，估计越精确 C．样本容量越大，估计越精确 D．样本容量越小，估计越精确 【答案】C 【分析】根据样本估计总体的概念分析即可. 【详解】用样本估计总体的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，和容量在总体中所占的比例有关，故样本容量越大，估计的越准确． 故选:C. 2．公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为10分的有1人，满意度为9分的有1人，满意度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，满意度为5分和4分的各有1人，则该产品用户满意度评分的平均数､众数､中位数､85%分位数分别为（    ） A．8分，7分，7分，9分 B．8分，7分，7分，8.5分 C．7.2分，7分，7分，9分 D．7.2分，7分，7分，8.5分 【答案】C 【分析】根据平均数、众数、中位数和百分位数的定义和计算方法进行解答即可. 【详解】把10个数据从小到大排列：4，5，7，7，7，7，8，8，9，10， 故平均数为：（分），出现次数最多的是7，因此众数为7分，中位数为（分），又，所以85%分位数在第9位，即9分. 故选：C. 3．下列命题中，真命题的个数为（   ）． ①方差是衡量一组数据波动大小的统计量；②影响超市进货决策的主要统计量是众数； ③折线统计图反映一组数据的变化趋势；④水中捞月是必然事件． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据方差、众数、折线统计图、必然事件的概念依次分析每个命题的真假. 【详解】命题①：方差越大，表明这组数据波动越大；方差越小，表明这组数据波动越小， 所以“方差是衡量一组数据波动大小的统计量”是真命题； 命题②：众数是一组数据中出现次数最多的数据值．超市进货时，通常会考虑哪种商品的销售量最大， 也就是哪种商品出现的次数最多，这样可以保证商品的销售情况，减少库存积压， 所以“影响超市进货决策的主要统计量是众数”是真命题， 命题③：折线统计图通过折线的上升或下降来表示数据的增减变化情况， 能够清晰地反映一组数据的变化趋势．所以“折线统计图反映一组数据的变化趋势”是真命题， 命题④：“水中捞月”是不可能发生的事情，所以“水中捞月是必然事件”是假命题． 综上，真命题有①②③，共3个， 故选：C． 4．从某地成绩数学水平测试的5000名学生的成绩中抽取200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200 名学生成绩的全体是（    ） A．总体 B．个体 C．从总体中所取的一个样本 D．总体的容量 【答案】C 【分析】根据总体、个体、样本与样本容量的概念即可解答. 【详解】由题意可知，总体是5000名学生的成绩，总体的容量为5000，据此判断A、D选项错误； 接下来再根据个体和样本的概念可知，个体是每一名学生的成绩，所以B选项错误， 而200名学生的成绩的全体是样本， 故选：C. 5．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子里展览，如果甲乙两种种子不允许放入1号瓶子里，那么不同的方法总数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，在除甲、乙之外的8种种子中任选1种，放进第一号瓶子内，②，在剩下的9种种子中，任选5种，安排在剩下的5个瓶子中， 分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】甲乙两种种子不能放入1号瓶子里，则要从另外8种作物种子里选1种放入1号瓶子中，有种. 再从其余9种不同作物种子中选出5种放入剩余5个不同的瓶子展览，有种，所以由乘法原理得总共有种方法. 故选：B. 6．有12件产品，其中有2件次品，现从中任取3件产品，则这3件产品中至少有1件次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出． 【详解】任取3件产品至少有1件次品的情况为：1件次品2件合格品或2件次品1件合格品， 所以任取3件产品至少有1件次品的概率. 故选：A. 7．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是（    ） A．“至少有一个红球”与“都是红球” B．“至少有一个红球”与“都是黑球” C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球” D．“恰好有一个红球”与“恰好有两个红球” 【答案】B 【分析】根据对立事件的定义逐项分析. 【详解】设红球的编号为1,2，黑球的编号为a，b，取2个球的全集， 对于A，事件A：“至少有1个红球”，事件B：“都是红球”， ，错误； 对于B，事件C：“都是黑球”，，并且，即A与C必然有一个会发生，正确； 对于C，事件D：“至少1个是黑球”，，错误； 对于D，事件E：“恰好1个是红球”，事件F：“恰好2个是红球”， 所以，但，所以E和F不是对立事件，只是互斥事件，错误； 故选：B. 8．现从5名女生，3名男生中，选派2名女生，1名男生分别参加全校的“资源”“生态”“环保”三个活动，则不同的方案共有（    ） A．60种 B．90种 C．120种 D．180种 【答案】D 【分析】先选出2名女生，1名男生，选出的 3 人分配到 3 个不同活动全排即可得解. 【详解】根据题意，选出2名女生，1名男生，有种， 再安排到全校的“资源”“生态”“环保”三个活动，有种， 由分步乘法计数原理，得种. 故选：D. 9．若的展开式中各项系数之和为，则展开式中含的二项式系数为（   ） A．21 B．28 C．35 D．56 【答案】C 【分析】根据题意令求出，结合二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】的展开式中各项系数之和为， 令得各项系数之和为，解得， 所以，令，解得， 即展开式中含的项的二项式系数为. 故选：. 10．某校有5名教师和3名学生参加志愿者活动，需从中选出3人组成服务小组，若要求至少包含1名教师和1名学生，则不同的选法（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从8人中任选3人的选法为：， 全是教师的选法为：， 全是学生的选法为：， 至少包含1名教师和1名学生的选法为：． 11．已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解. （i）若排在从左到右的第二个位置， 则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能相邻，但这与题意矛盾， 若不能排在从左到右的第三或第四个位置， 则此时有种不同的排法； （ii）若排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有种不同的排法； 由加法原理可知，所求为. 故选：A. 12．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【分析】采用先捆绑，再插空，即将丙与丁绑定，内部排序，作一个整体与戊看作两个元素做一个全排列，最后将甲乙两人插入形成的三个空中即可求解. 【详解】由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与戊看作两个元素做一个 全排列有种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲、乙两人插入三个空，排法种数为， 则不同的排法种数为. 故选：B 13．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 14．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式系数的性质得到，再写出展开式的通项，即可求出常数项. 【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，所以， 则展开式的通项为（且）， 令，解得， 所以，即展开式中常数项为. 故选：D 15．9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5名参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意9名翻译中有1人既懂英语又懂日语，根据英语翻译是否存在既懂英语又懂日语的翻译分类，利用分类计数原理即可求解. 【详解】因为9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语， 则有1人既懂英语又懂日语，5人只懂英语，3人只懂日语， 当英语翻译从只懂英语的5人中挑选时，共有种选法； 当英语翻译选中了既懂英语又懂日语的翻译时，共有种选法； 故选拔的方法有种. 故选：A 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．随机变量X服从，若，，则n为______. 【答案】10 【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求解. 【详解】随机变量X服从， 已知，即①； ，即②， 将①代入②可得：，则， 再把代入①式中，可得，解得， 故答案为：10. 17．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法. 【答案】112 【分析】f根据分类加法计数原理以及组合数公式求解即可. 【详解】设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支. 因为一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题， 总的放法为. 故答案为：112. 18．____________. 【答案】161 【分析】依据组合数的性质进行求解. 【详解】 . 故答案为：161. 19．将4张不同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为___________个. 【答案】120 【分析】根据组合以及排列的概念求解即可. 【详解】由题意，从5名同学中选取4名同学，则有种分法. 然后每一名同学分一张参观票，有种分法， 所以不同的分法种数为. 故答案为：. 20．抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则____________ . 【答案】 【分析】可知，利用二项分布的概率公式求解. 由题意可知，，则. 故答案为： 21．设随机变量的可能取值分别为，0，1，相应的概率值分别为，又成等差数列，，则_________． 【答案】 【分析】由题意结合等差中项可求出，在由均值和方差的公式即可求出. 【详解】因为，解得：， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．某校数学学习小组有3名男生和4名女生，这7人站成一排留影，求以下有多少种不同的站法． (1)甲乙两人必须站在两头； (2)男生必须排在一起； (3)男生互不相邻； (4)甲乙两人之间恰好间隔1人． 【答案】(1)240 (2)720 (3)1440 (4)1200 【分析】（1）根据特殊元素优先排列的原则，即可求解； （2）根据相邻问题利用捆绑法，即可求解； （3）根据不相邻问题利用插空法，即可求解； （4）结合组合数及排列数的应用，即可求解. 【详解】（1）由题意，可先让甲乙两人站在两头有种，再让其余5人全排列， 故不同的站法种数为种； （2）由题意，可利用捆绑法，男生之间先全排列，再将3名男生看成一个元素与4名女生全排列， 故不同的站法种数为种； （3）由题意，可利用插空法，将4名女生全排列，产生5个空隙，再让3名男生插空站， 故共有不同的站法种数为种； （4）由题意，可从除去甲乙以外的5人中选1人站到甲乙之间，将此3人看成一个元素，和剩余的4人全排列，甲乙内部排列， 故共有不同的站法种数为种. 23．标有数字的5张卡片.求： (1)若从中任意抽取3张，设其中标有偶数的卡片张数为随机变量，求随机变量的概率分布； (2)若每次抽取1张后再放回，如此有放回地抽取3次，求得到两次标有偶数卡片的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分析出随机变量的所有可能取值，再求其概率，最后得到分布列即可. （2）根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】（1）随机变量的所有可能取值为1，2，3，且 ， ， ， 因此随机变量的概率分布是 1 2 3 （2）设事件有放回地抽取3次，两次标有偶数卡片}，则 . 24．一个箱子中有个白球，个红球， (1)摸两个球，求恰好有一个红球的概率； (2)有放回摸次球，每次摸一个，求摸到红球个数的分布列及其期望. 【答案】(1). (2)分布列见详解，期望为. 【分析】（）根据题意结合古典概型的性质及组合数的计算即可得解. （）根据题意结合二项分布写出分布列，代入期望公式即可得解. 【详解】（1）一个箱子中有个白球，个红球， 摸两个球，恰好有一个红球的概率为. （2）设摸到红球个数为，则的可能取值为， 一个箱子中有个白球，个红球，每次摸一个球， 则摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， 则；； ；， 所以分布列为： 因为，所以期望为. 25．已知二项式． (1)求展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数． (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)，系数2016；，4032． (2) 【分析】（1）根据可知展开式共10项即可求解二项式系数最大的项，再由通项公式即可求解该项. （2）先由系数最大项求出m的取值范围，再由通项公式求解系数最大的项即可. 【详解】（1）因为，所以展开式共有10项， 由二项式系数的性质可知，第项和第项二项式系数最大，即第5项和第6项， 所以，系数为2016； ，系数为4032. （2）的展开式的通项为， 设第项的系数最大，则有，解得， 因为，， 所以系数最大的项为． 26．一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品，现随机抽出两件产品： (1)求恰好有一件次品的概率； (2)求抽到次品的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设“恰好有一件次品”为事件，利用组合分别计算出随机抽出两件产品及事件的个数，再根据古典概型计算公式求解； （2）设“抽到次品”为事件，利用组合分别计算出随机抽出两件产品和事件的个数，再根据古典概型计算公式及对立事件的概率公式可求解. 【详解】（1）设“恰好有一件次品”为事件，则 从6件中任选2件，共有（种），而事件个数为：（种）. 所以； （2）设“抽到次品”为事件，则事件为“抽到的全是正品”，由题可知， 事件的个数有（种）， . 27．甲、乙两名同学参加投篮测试，每人投5次，命中的次数如下： 甲：3，4，3，5，5，乙：2，4，4，4，6 (1)分别求甲、乙两人命中次数的平均数； (2)分别求甲、乙两人命中次数的方差，并判断谁的成绩更稳定. 【答案】(1)甲的平均数为4，乙的平均数为4 (2)甲的方差为，乙的方差为，甲的成绩更稳定. 【分析】（）根据平均数公式即可得解. （）根据方差公式即可得解. 【详解】（1）命中的次数如下： 甲：3，4，3，5，5，乙：2，4，4，4，6， ，. （2）甲的方差 乙的方差. 因为甲的方差小，所以甲稳定. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $