第49卷 向量的内积 -考点训练卷 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 紧扣向量内积考纲，以三阶递进基础层为核心，通过微目标拆解实现概念-运算-应用的精准训练，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择10题+填空8题|聚焦内积定义、模长、夹角的直接计算|从内积概念生成（定义、夹角）到坐标运算、模长公式的推导应用| |综合应用|解答3题+综合1题|涉及向量垂直条件、参数求解及综合运算|衔接基础运算与实际应用，强化运算能力与模型意识| |逻辑证明|证明2题|通过非零向量关系及垂直性质进行推理|深化内积性质的逻辑推导，培养推理意识与数学语言表达|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》 第49卷 向量的内积 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若向量满足，与的夹角为，则等于（    ） A．2 B． C． D． 2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则向量与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，满足且，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A．6 B． C．9 D． 7．平面向量与的夹角为，，则等于（    ） A． B． C．4 D．12 8．已知，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．25 9．已知向量，满足，则（   ） A．0 B．2 C． D． 10．若向量满足且，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．已知，，，则_________． 12．已知，，，则向量与的夹角为______． 13．已知，则______． 14．若等边三角形的边长为，则____________. 15．已知，则等于_________________. 16．已知，则=__________. 17．已知，，，则__________． 18．已知向量满足与的夹角为120°，则______． 三、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 19．已知，，且，求的值. 20．已知，求. 21．设为实数，已知向量与不共线，，，当为何值时，向量与垂直？ 四、证明题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 22．设，都是非零向量，且，求证：． 23．已知：，.求证：. 五、综合题（本题10分） 24．已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》 第49卷 向量的内积 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若向量满足，与的夹角为，则等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据内积的定义可得结果. 【详解】由已知可得，. 故选：D 2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量内积的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3．已知向量，，，则向量与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公式可求夹角的大小. 【详解】，而，故. 故选：B. 4．已知，，与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故选：B. 5．已知平面向量，满足且，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用内积公式与向量的模求夹角即可. 【详解】 ， 即，； 因为向量夹角范围为，且， 所以向量与的夹角为； 故选：C. 6．已知，则（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据向量的内积运算即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：C. 7．平面向量与的夹角为，，则等于（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】利用向量的模及内积公式求模即可. 【详解】因为，则，， 则， 则； 故选：B. 8．已知，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量内积的定义，即可求解. 【详解】因为，得，又， 所以. 故选：A. 9．已知向量，满足，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把两边同时平方，结合向量的模长可得结果. 【详解】由得，， ∵，∴，即. 故选：B. 10．若向量满足且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行和垂直的性质即可求解. 【详解】，， ，， . 故选：D. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．已知，，，则_________． 【答案】 【分析】根据向量的内积公式即可解得. 【详解】由题， . 故答案为： 12．已知，，，则向量与的夹角为______． 【答案】 【分析】先求出，再由数量积的定义求夹角. 【详解】， ，. 故答案为： 13．已知，则______． 【答案】15 【分析】根据数量积公式进行计算即可. 【详解】. 故答案为：15. 14．若等边三角形的边长为，则____________. 【答案】 【分析】由题可知的夹角为，再结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】根据题意可得的夹角为， 根据数量积的定义可得： ， 故答案为：. 15．已知，则等于_________________. 【答案】3 【分析】根据向量的数量积与向量模长的关系求解. 【详解】因为，向量的模长是非负的， 所以， 故答案为：. 16．已知，则=__________. 【答案】 【分析】利用公式及向量内积的运算律可求解. 【详解】由，可得， 即， 因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 17．已知，，，则__________． 【答案】 【分析】根据向量的内积公式求解即可. 【详解】由题可知,. 所以. 故答案为：. 18．已知向量满足与的夹角为120°，则______． 【答案】 【分析】按照向量内积公式计算. 【详解】 故答案为： 三、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 19．已知，，且，求的值. 【答案】 【分析】先将两边平方可求出，再利用，代入已知条件计算即可. 【详解】因为，，且， 所以，化简得， 即，， 所以 . 所以的值为. 20．已知，求. 【答案】 【分析】利用内积的运算律即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以. 21．设为实数，已知向量与不共线，，，当为何值时，向量与垂直？ 【答案】 【详解】由两个向量垂直易得数量积为0求出参数. 【分析】解：当向量与垂直时， 得， 又，， 所以， 解得， 所以当时，与垂直. 四、证明题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 22．设，都是非零向量，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将两边平方，化简整理后即可证明. 【详解】∵， ∴，即，则， ∵，都是非零向量， ∴. 23．已知：，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量数量积为0，证明向量垂直. 【详解】因为，，所以 即， 两式相减，得，即， 所以. 五、综合题（本题10分） 24．已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的计算法则计算. （2）根据向量垂直的充要条件求解. 【详解】（1），，与的夹角是， 则， 即有； （2）由 可得， 即， 即， 解得. 则当k为时，， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $