第1～4章 综合能力评价 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数与整式核心内容，通过概念辨析、运算推理及实际应用，系统整合知识逻辑，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数基础|选择1-4、填空11|概念辨析与简单计算|从相反意义量、绝对值到科学记数法，构建实数概念体系| |整式运算|选择5、7、填空14、解答17-19|化简求值与同类项应用|单项式系数次数→整式加减→整体代入，形成运算逻辑链| |图形与几何|选择6、10、解答20-21|数轴分析与图形分割|数轴上点的位置→图形面积计算，发展几何直观与空间观念| |新定义与应用|选择9、填空16、解答22-24|新运算与实际问题|“奇数式”“偶数式”定义→促销方案设计，体现模型意识与应用能力|

第1~4章综合能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.在下列各组量中，具有相反意义的是( ) A.向东走3米和向北走5米 B.气温上升2 ℃和气温上升4 ℃ C.胜1局和亏损70元 D.收入500元和支出400元 2.国庆假期期间，某景区接待游客46.96万人次，数据46.96万用科学记数法表示应为( ) A.4.696×10 B.4.696×104 C.4.696×105 D.46.96×104 3.在下列运算中，正确的是( ) A.=3 B.=－3 C.=±3 D.=3 4.在下列各组数中，互为相反数的一组是( ) A.－2与－ B.－2与 C.－2与 D.|－2|与 5.单项式的系数和次数分别是( ) A.3，3 B.3，2 C.，3 D.，2 6.有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下列结论：①a＜0；②|a|＞|b|；③a＋b＞0；④b－a＞0。其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①③④ 7.在下列计算中，正确的是( ) A.(－4)－(－1)=－3 B.－7－2×5=－9×5=－45 C.－=－=－1 D.3÷=3÷1=3 8.若当x=1时，整式ax3＋bx＋1的值为－2 026，则当x=－1时，整式ax3＋bx－1的值为( ) A.2 026 B.－2 026 C.2 025 D.－2 025 9.已知 ＋2的小数部分为a，9－的小数部分为b，则a＋b的值为( ) A.0 B.1 C.－1 D.3－ 10.如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4 cm，有下列说法：①小长方形的较长边为(y－12)cm；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为(x－y＋4)cm；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值。其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①③④ 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)－3的绝对值是 ，－的倒数是 。  12.(3分)用代数式表示a与b的的和是 。  13.(3分)已知|x|=5，y=3，则 x－y的值为 。  14.(3分)已知x6y2和－x3myn是同类项，则 = 。  15.(3分)曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗；若分给(m＋10)个学生，则每个学生分3颗，还剩(b＋1)颗，则a的值是 。  16.(3分)定义一种运算，设[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.25]=2，[－1.5]=－2。计算： (1)(1.5分)[－3.7]＋[－2.3]= ；  (2)(1.5分)= 。  三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)计算： (1)(2分)×(－4)3； (2)(3分)； (3)(3分)－12－×12。 18.(8分)化简： (1)(4分)5(3a2b－ab2)－2(ab2＋3a2b)； (2)(4分)6xy2－。 19.(8分)已知A=3x2－x＋2y－4xy，B=2x2－3x－y＋xy。 (1)(4分)化简：2A－3B。 (2)(4分)若x＋y=，xy=－1，求2A－3B的值。 20.(8分)如图所示为某款智能手机背面的摄像头模组抽象出的图形，中心圆的半径为r(cm)，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆(摄像头)分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的。 (1)(4分)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积S(单位：cm2，需化简)。 (2)(4分)当r= cm时，计算图中阴影部分的面积S(π≈3.14，结果精确到0.1 cm2)。 21.(8分)如图，两个4×4网格都由16个边长为1的小正方形组成。 (1)(2分)如图1，阴影正方形的顶点都在网格的格点上，这个阴影正方形的面积是多少？边长是多少？ (2)(2分)请在图2中画出面积是5的正方形，使它的顶点都在网格的格点上，然后写出这个正方形的边长。 (3)(4分)通过上面的启发，请你在数轴上表示实数 ，－， ，－。 图1 图2 22.(10分)已知关于x的代数式M，当x的值任取一组相反数a与－a时，若M的值都互为相反数，则称M为“奇数式”；若M的值都相等，则称M为“偶数式”。例如，M=x3是“奇数式”，M=x2是“偶数式”。 (1)(2分)若N是奇数式，且当x=2时，N=3，则当x=－2时，N的值为 。  (2)(4分)以下代数式中，属于“偶数式”的有 (填序号)。  ①|x|＋2；②2x2＋1；③x3－x；④x4－x2。 (3)(4分)对于整式x7－x5＋x2＋1，当x分别取－3，－2，－1，1，2，3时，整式的值分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，请你根据上述性质，求S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6的值。 23.(10分)某中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔，笔记本的单价是10元，签字笔的单价是2元，商店决定在“文学周”开展促销活动，提供了两种促销方案。 方案一：买一本笔记本送一支签字笔。 方案二：笔记本和签字笔都按定价的90%付款。 说明：两种方案可以同时选择。 现一名学生要到该商店购买笔记本20本，签字笔x支(x＞20)。 (1)(2分)分别用含x的代数式表示单独选择方案一和方案二所需要的费用。 ①(1分)单独选择方案一的费用为 元。  ②(1分)单独选择方案二的费用为 元。  (2)(4分)若x=30，通过计算说明单独选择方案一划算，还是单独选择方案二划算。 (3)(4分)当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出这个方案，并计算所需费用是多少元。 24.(12分)阅读下列材料： 若代数式ax－y＋6＋3x－5y－1的值与x的取值无关，求a的值。 解：原式=(a＋3)x－6y＋5，所以a＋3=0，所以a=－3。 根据上述方法，解答下列问题： (1)(4分)若多项式(2x－3)m＋2m2－3x的值与x的取值无关，求m的值。 (2)(4分)已知A=2x2＋3xy－2x－1，B=－x2＋xy－1，且3A＋6B的值与x的取值无关，求y的值。 (3)(4分)有7张如图1所示的小长方形，长为a，宽为b，将其按照如图2所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两块未被覆盖的部分(图中阴影部分)，右上角的面积为S1，左下角的面积为S2。当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系。 图1　　　　 　　 图2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1~4章综合能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 一、 选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.在下列各组量中，具有相反意义的是(　D　) A.向东走3米和向北走5米 B.气温上升2 ℃和气温上升4 ℃ C.胜1局和亏损70元 D.收入500元和支出400元 2.国庆假期期间，某景区接待游客46.96万人次，数据46.96万用科学记数法表示应为(　C　) A.4.696×10 B.4.696×104 C.4.696×105 D.46.96×104 3.在下列运算中，正确的是(　A　) A.=3 B.=－3 C.=±3 D.=3 4.在下列各组数中，互为相反数的一组是(　C　) A.－2与－ B.－2与 C.－2与 D.|－2|与 5.单项式的系数和次数分别是(　C　) A.3，3 B.3，2 C.，3 D.，2 6.有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下列结论：①a＜0；②|a|＞|b|；③a＋b＞0；④b－a＞0。其中正确的是(　D　) A.①② B.②③ C.①②③ D.①③④ 7.在下列计算中，正确的是(　A　) A.(－4)－(－1)=－3 B.－7－2×5=－9×5=－45 C.－=－=－1 D.3÷=3÷1=3 8.若当x=1时，整式ax3＋bx＋1的值为－2 026，则当x=－1时，整式ax3＋bx－1的值为(　A　) A.2 026 B.－2 026 C.2 025 D.－2 025 【解析】 根据题意可知，a×13＋b×1＋1=－2 026， 所以a＋b＋1=－2 026， 所以a＋b=－2 027。 当x=－1时， ax3＋bx－1 =－a－b－1 =－(a＋b)－1， =－(－2 027)－1 =2 026。 9.已知 ＋2的小数部分为a，9－的小数部分为b，则a＋b的值为(　B　) A.0 B.1 C.－1 D.3－ 【解析】 易知＋2的小数部分a=－2，9－的小数部分b=3－， 所以a＋b=－2＋3－=1。 10.如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4 cm，有下列说法：①小长方形的较长边为(y－12)cm；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为(x－y＋4)cm；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值。其中正确的是(　D　) A.①② B.①③ C.②③ D.①③④ 【解析】 因为小长方形的较短的边长为4 cm， 所以阴影A的较长边为(y－12)cm，较短边为(x－8)cm，阴影B的较长边为12 cm， 所以小长方形的较长边为(y－12)cm，①正确。 阴影B的较短边为x－(y－12)=(x＋12－y)cm， 阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为(x－8)＋(x＋12－y)=(2x－y＋4)cm，②错误。 阴影A和阴影B的周长和为2×(y－12＋x－8＋12＋x－y＋12)=2×(2x＋4)=4x＋8， 所以若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确。 阴影A和阴影B的面积和为(y－12)(x－8)＋12(x＋12－y)，当x=20时，(y－12)(x－8)＋12(x＋12－y)=240，所以当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值，④正确。 综上所述，正确的结论有①③④。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)－3的绝对值是　3　，－的倒数是　－2　。  12.(3分)用代数式表示a与b的的和是　a＋b　。  13.(3分)已知|x|=5，y=3，则 x－y的值为　2或－8　。  14.(3分)已知x6y2和－x3myn是同类项，则 =  　。  【解析】 由题意，得3m=6，n=2，所以m=2，所以。 15.(3分)曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗；若分给(m＋10)个学生，则每个学生分3颗，还剩(b＋1)颗，则a的值是　4　。  【解析】 由题意，得这包糖果的个数既可以表示为ma＋b，也可以表示为3(m＋10)＋(b＋1)， 所以ma＋b=3(m＋10)＋(b＋1)，所以a=3＋。 因为a，b，m为正整数，0＜b＜a，所以m=31，所以a=4。 16.(3分)定义一种运算，设[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.25]=2，[－1.5]=－2。计算： (1)(1.5分)[－3.7]＋[－2.3]=　－7　；  (2)(1.5分)=　－6 081　。  【解析】 (1)因为[x]表示不超过x的最大整数，所以[－3.7]＋[－2.3]=－4－3=－7。 (2)因为－=－184，所以=－185， 所以原式=－(184×3＋1)－(184×4＋1)－(184×5＋1)－(184×6＋2)－(184×7＋2)－(184×8＋2)=－184×(3＋4＋…＋8)－9=－184×33－9=－6 081。 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)计算： (1)(2分)×(－4)3； (2)(3分)； (3)(3分)－12－×12。 解：(1)原式=×(－64)==23。 (2)原式=－3＋9＋2=8。 (3)原式=－1＋×12=－1＋100×12－×12=－1＋1 200－2=1 197。 18.(8分)化简： (1)(4分)5(3a2b－ab2)－2(ab2＋3a2b)； (2)(4分)6xy2－。 解：(1)原式=15a2b－5ab2－2ab2－6a2b=9a2b－7ab2。 (2)原式=6xy2－(2x－x＋2xy2－xy2)=6xy2－(x＋xy2)=5xy2－x。 19.(8分)已知A=3x2－x＋2y－4xy，B=2x2－3x－y＋xy。 (1)(4分)化简：2A－3B。 (2)(4分)若x＋y=，xy=－1，求2A－3B的值。 解：(1)2A－3B=2(3x2－x＋2y－4xy)－3(2x2－3x－y＋xy) =6x2－2x＋4y－8xy－6x2＋9x＋3y－3xy=7x＋7y－11xy。 (2)因为x＋y=，xy=－1， 所以2A－3B=7x＋7y－11xy=7(x＋y)－11xy=7×－11×(－1)=2＋11=13。 20.(8分)如图所示为某款智能手机背面的摄像头模组抽象出的图形，中心圆的半径为r(cm)，模组轮廓大圆的半径是它的2倍，4个半径相等的小圆(摄像头)分布在两圆之间，其半径都为中心圆半径的。 (1)(4分)请用含r的代数式表示图中阴影部分的面积S(单位：cm2，需化简)。 (2)(4分)当r= cm时，计算图中阴影部分的面积S(π≈3.14，结果精确到0.1 cm2)。 解：(1)S=π(2r)2－πr2－4π =4πr2－πr2－πr2 =πr2(cm2)。 (2)当r= cm时，S≈×3.14××3.14×≈18.1(cm2)。 答：阴影部分的面积约为18.1 cm2。 21.(8分)如图，两个4×4网格都由16个边长为1的小正方形组成。 (1)(2分)如图1，阴影正方形的顶点都在网格的格点上，这个阴影正方形的面积是多少？边长是多少？ (2)(2分)请在图2中画出面积是5的正方形，使它的顶点都在网格的格点上，然后写出这个正方形的边长。 (3)(4分)通过上面的启发，请你在数轴上表示实数 ，－， ，－。 图1 图2 解：(1)由图形得，这个阴影正方形的面积=16－4××3×1=10， 所以边长为。 (2)如答图1，正方形ABCD即为所求，正方形ABCD的边长为。 第21题答图1 (3)表示实数，－的点C，D如答图2所示。 表示实数，－的点E，F如答图3所示。 图2 图3 第21题答图 22.(10分)已知关于x的代数式M，当x的值任取一组相反数a与－a时，若M的值都互为相反数，则称M为“奇数式”；若M的值都相等，则称M为“偶数式”。例如，M=x3是“奇数式”，M=x2是“偶数式”。 (1)(2分)若N是奇数式，且当x=2时，N=3，则当x=－2时，N的值为　－3　。  (2)(4分)以下代数式中，属于“偶数式”的有　①②④　(填序号)。  ①|x|＋2；②2x2＋1；③x3－x；④x4－x2。 (3)(4分)对于整式x7－x5＋x2＋1，当x分别取－3，－2，－1，1，2，3时，整式的值分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，请你根据上述性质，求S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6的值。 解：(3)因为x7－x5＋x2＋1=(x7－x5)＋(x2＋1)， 当x分别取－3，－2，－1，1，2，3时， x7－x5的值的和为0， x2＋1的值的和为2×(9＋4＋1)＋6=34， 所以S1＋S2＋S3＋S4＋S5＋S6=34。 23.(10分)某中学附近有一商店销售一种笔记本和一种签字笔，笔记本的单价是10元，签字笔的单价是2元，商店决定在“文学周”开展促销活动，提供了两种促销方案。 方案一：买一本笔记本送一支签字笔。 方案二：笔记本和签字笔都按定价的90%付款。 说明：两种方案可以同时选择。 现一名学生要到该商店购买笔记本20本，签字笔x支(x＞20)。 (1)(2分)分别用含x的代数式表示单独选择方案一和方案二所需要的费用。 ①(1分)单独选择方案一的费用为　2x＋160　元。  ②(1分)单独选择方案二的费用为　1.8x＋180　元。  (2)(4分)若x=30，通过计算说明单独选择方案一划算，还是单独选择方案二划算。 (3)(4分)当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出这个方案，并计算所需费用是多少元。 解：(2)当x=30时，2x＋160=2×30＋160=220(元)，1.8x＋180=1.8×30＋180=234(元)。 因为220＜234，所以单独选择方案一划算。 (3)先利用方案一，买20本笔记本送20支签字笔，再利用方案二购买10支签字笔，共需费用20×10＋10×2×0.9=218(元)。 24.(12分)阅读下列材料： 若代数式ax－y＋6＋3x－5y－1的值与x的取值无关，求a的值。 解：原式=(a＋3)x－6y＋5，所以a＋3=0，所以a=－3。 根据上述方法，解答下列问题： (1)(4分)若多项式(2x－3)m＋2m2－3x的值与x的取值无关，求m的值。 (2)(4分)已知A=2x2＋3xy－2x－1，B=－x2＋xy－1，且3A＋6B的值与x的取值无关，求y的值。 (3)(4分)有7张如图1所示的小长方形，长为a，宽为b，将其按照如图2所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两块未被覆盖的部分(图中阴影部分)，右上角的面积为S1，左下角的面积为S2。当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系。 图1　　　　 　　 图2 解：(1)(2x－3)m＋2m2－3x=2mx－3m＋2m2－3x=(2m－3)x－3m＋2m2。 因为多项式的值与x的取值无关，所以2m－3=0，所以m=。 (2)3A＋6B=3(2x2＋3xy－2x－1)＋6(－x2＋xy－1) =6x2＋9xy－6x－3－6x2＋6xy－6=15xy－6x－9=(15y－6)x－9。 因为3A＋6B的值与x的取值无关，所以15y－6=0，所以y=。 (3)设AB=x， 由图可知，S1=a(x－3b)=ax－3ab，S2=2b(x－2a)=2bx－4ab， 则S1－S2=ax－3ab－(2bx－4ab)=ax－3ab－2bx＋4ab=(a－2b)x＋ab。 因为当AB的长变化时，S1－S2的值始终保持不变， 所以S1－S2的值与x的取值无关， 所以a－2b=0，所以a=2b。 学科网（北京）股份有限公司 $