精品解析：2022年河北省衡水中学中考数学模拟调研试卷（三）

2022年中考数学河北省衡水中学模拟调研试卷（三） 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共16小题，共42分） 1. 下列实数： 中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 如图是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形是（ ） A. 中国工商银行 B.  中国人民银行 C.   中国农业银行 D. 中国建设银行 3. 第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口成功举办，本届冬奥会的运动员达到2892人，历史规模第二．数据2892用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 4. 下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 或 6. 若B地在A地的南偏东53°的方向上，则A地在B地的方位是（　　） A. 北偏西53° B. 北偏西37° C. 南偏东53° D. 南偏东37° 7. 已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（　　） A. ∥，并且和方向一致 B. ∥，并且和方向相反 C. 和方向互相垂直 D. 和之间夹角的正切值为5 8. 绝对值等于5的数是（　　） A. 5 B. C. D. 9. 上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 10. 如图，已知，，的中垂线交于点、交于点．下列结论：①是的平分线；②是等腰三角形；③．正确的结论有几个（ ） A. B. C. D. 11. 甲、乙两人玩游戏：从1，2，3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为和，若关于的一元二次方程有实数根，则甲获胜，否则乙获胜，则甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，把一块含有30°角（∠A＝30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在长方形桌面CDEF的一个顶点处，桌面的另一个顶点F在三角板斜边AB上，如果∠1＝50°．那么∠AFE＝（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 13. 化简得（ ） A. B. C. D. 14. 直线与反比例函数的图象交于两点，点也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，⊙O中，PC切⊙O于点C，连PO交于⊙O点A、B，点F是⊙O上一点，连PF，CD⊥AB于点D，AD=2，CD=4，则PF：DF的值是（   ） A. 2 B. C. 5：3 D. 4：3 16. 抛物线y＝－x2的图象一定经过( ) A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 二、填空题（本大题共3小题，共12分） 17. 已知，则____________． 18. 如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE=_____． 19. 如图，将矩形ABCD沿EF对折，点A1恰好落在CD边上的中点处，线段A1B1交BC于点G，若AB＝6，AD＝9，则CG的长度为______. 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 20. ﹣2cos45°． 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 某校为了解该校学生平均每天运动的时间，随机抽取部分学生进行调查，并将相关数据分为，，，四个组进行统计，绘制了如图不完整的频数分布表，扇形统计图及组时间与人数分布表． 平均每天运动时间频数分布统计表 组别 时间/小时 频数/人数 10 20 平均每天运动时间扇形统计图 组时间与人数分布表 时间（小时） 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 人数（人） 1 2 4 6 7 根据以上信息解答问题． （1）所抽取的学生中，平均每天运动时间落在组的人数为_______人； （2）所抽取的学生中，平均每天运动时间的中位数为________小时； （3）已知该校有2000人，估计该校学生平均每天运动时间不少于0.8小时的人数． 23. 如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A、B、C、D均在方格纸的格点(即图中小正方形的顶点)上，线段AB与线段CD相交于点E．设图中每个小正方形的边长均为1． （1）求证：AB⊥CD； （2）求sin∠BCD的值． 24. 某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发，该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示． （1）求x≥100时，y与x之间的函数关系式； （2）已知小李为该地区的一户居民，小李家上个月用电量为120度，求小李家上个月共需缴纳电费多少元？ 25. 如图，直线l的解析式为，点，点B在y轴的正半轴上，直线与直线l交于点C，直线l与x轴交于点D，． （1）求点D的坐标； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 26. 已知，内接于，AO平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点D是上一点，连接BD交AC于点G，连接CD，弦AE交BD于F、交CD于H，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，BD经过圆心O，连接DE，，的面积为，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年中考数学河北省衡水中学模拟调研试卷（三） 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷．第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置．第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置．答案写在试卷上均无效，不予记分． 一、选择题（本大题共16小题，共42分） 1. 下列实数： 中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：=4 故有理数有：3.14，，；无理数有：，共3个 故选C. 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 如图是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形是（ ） A. 中国工商银行 B.  中国人民银行 C.   中国农业银行 D. 中国建设银行 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是指平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项B：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项C：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项D：不是轴对称图形，符合题意． 3. 第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口成功举办，本届冬奥会的运动员达到2892人，历史规模第二．数据2892用科学记数法表示应是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义进行求解即可． 【详解】解：2892用科学记数法表示应是，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，把一个数表示成的形式，其中，解题的关键是确定n的值，用科学记数法表示绝对值大于1的数时，n的值比整数位数少1． 4. 下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，分别写出各选项中从不同方向看几何体得到的平面图形，然后进行比较即可． 【详解】解：A、从正面看是长方形，从上面看是圆，从左面看是长方形，不合题意； B、从正面看是两个长方形，从上面看是三角形，从左面看是长方形，不合题意； C、从正面、上面、左面观察都是圆，符合题意； D、从正面看是长方形，从上面看是长方形，从左面看是长方形，但大小不一样，不合题意． 故选：C． 5. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：的立方根是． 6. 若B地在A地的南偏东53°的方向上，则A地在B地的方位是（　　） A. 北偏西53° B. 北偏西37° C. 南偏东53° D. 南偏东37° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目的已知画出图形即可解答． 【详解】解：如图： 若B地在A地的南偏东53°的方向上，则A地在B地的方位是：北偏西53°， 故选：A． 【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键． 7. 已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（　　） A. ∥，并且和方向一致 B. ∥，并且和方向相反 C. 和方向互相垂直 D. 和之间夹角的正切值为5 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】∵已知，为非零向量，如果＝﹣5， ∴∥，与的方向相反， 故选：B． 【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键． 8. 绝对值等于5的数是（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值等于5的数是． 故选：D． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知互为相反数的两个数绝对值相等是解题的关键． 9. 上午9时，一船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，如图所示，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东和北偏东方向，那么B处与小岛M的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作于点N，解直角三角形可求得的长；再根据直角三角形的性质可得，从而求得的长． 【详解】解：由已知得，（海里），，， ∴， 过点B作于点N， 在直角中，（海里）， 在直角中，（海里）， 即B处与小岛M的距离为海里． 10. 如图，已知，，的中垂线交于点、交于点．下列结论：①是的平分线；②是等腰三角形；③．正确的结论有几个（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可计算出，由中垂线的性质可得，进而得到，再分别计算出和即可判断正确的结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线，故①正确， ∵是的外角， ∴，故③正确， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确， 综上，正确的结论有3个． 11. 甲、乙两人玩游戏：从1，2，3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为和，若关于的一元二次方程有实数根，则甲获胜，否则乙获胜，则甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出满足△=9-4ac≥0的有a=1，c=2或a=2，c=1，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中满足△=9-4ac≥0的结果数有2种，即a=1，c=2或a=2，c=1； ∴甲获胜的概率=． 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了根的判别式． 12. 如图，把一块含有30°角（∠A＝30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在长方形桌面CDEF的一个顶点处，桌面的另一个顶点F在三角板斜边AB上，如果∠1＝50°．那么∠AFE＝（ ） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】由四边形CDEF为长方形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可． 【详解】解：∵四边形CDEF为长方形， ∴EF∥DC， ∴∠AGE=∠1=50°， ∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A=30°， ∴∠AFE=∠AGE-∠A=20°． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 13. 化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的四则运算法则进行化简即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 14. 直线与反比例函数的图象交于两点，点也在该反比例函数的图象上，则m，n，t的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得k＞0，进而根据反比例函数的性质可进行求解． 【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，且一次函数的， ∴直线与反比例函数的图象交于一、三象限， ∴k＞0， ∴反比例函数在每个分支上，y随x的增大而减小， ∵点也在该反比例函数的图象上， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合是解题的关键． 15. 如图，⊙O中，PC切⊙O于点C，连PO交于⊙O点A、B，点F是⊙O上一点，连PF，CD⊥AB于点D，AD=2，CD=4，则PF：DF的值是（   ） A. 2 B. C. 5：3 D. 4：3 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC、OC、OF、BC．由△ADC∽△CDB，推出，求出DB、OA、OD，由△ODC∽△OCP，推出，推出OC2=OD•OP，推出OF2=OD•OP，即，由∠DOF=∠POF，推出△DOF∽△FOP，可得. 【详解】连接AC、OC、OF、BC．如图所示： ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CAD=∠BCD， ∴△ADC∽△CDB， ∴， ∴， ∴DB=8，OA=OB=5，OD=3， ∵PC是切线， ∴OC⊥PC， ∵∠DOC=∠POC，∠ODC=∠OCP， ∴△ODC∽△OCP， ∴， ∴OC2=OD•OP， ∴OF2=OD•OP， ∴， ∵∠DOF=∠POF， ∴△DOF∽△FOP， ∴， 故选C． 【点睛】考查相似三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题. 16. 抛物线y＝－x2的图象一定经过( ) A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：抛物线y＝－x2对称轴是y轴，开口向下，顶点为原点，所以必定经过三四象限，故选B. 二、填空题（本大题共3小题，共12分） 17. 已知，则____________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 解得：， 将代入得：． 18. 如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE=_____． 【答案】． 【解析】 【分析】连接OD，OC，AD，由⊙O的直径AB=7可得出OD=OC，故可得出OD=CD=OC，所以∠DOC=60°，∠DAC=30°，根据勾股定理可求出AD的长，在Rt△ADE中，利用∠DAC的正切值求解即可． 【详解】解：连接OD，OC，AD， ∵半圆O的直径AB=7， ∴OD=OC=， ∵CD=， ∴OD=CD=OC ∴∠DOC=60°，∠DAC=30° 又∵AB=7，BD=5， ∴ 在Rt△ADE中， ∵∠DAC=30°， ∴DE=AD•tan30° 故答案为 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识；综合性比较强. 19. 如图，将矩形ABCD沿EF对折，点A1恰好落在CD边上的中点处，线段A1B1交BC于点G，若AB＝6，AD＝9，则CG的长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AE＝A1E，A1D＝3＝A1C，∠EA1G＝90°，由勾股定理可得DE＝4，通过证明△A1DE∽△CGA1，可得，可求CG的长. 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，∠D＝∠C＝90° ∵将矩形ABCD沿EF对折，点A1恰好落在CD边上的中点处， ∴AE＝A1E，A1D＝3＝A1C，∠EA1G＝90°， ∵A1E2＝DE2+A1D2， ∴(9﹣DE)2＝DE2+9， ∴DE＝4， ∵∠DEA1+∠DA1E＝90°，∠EA1D+∠GA1C＝90°， ∴∠DEA1＝∠GA1C，∠D＝∠C＝90° ∴△A1DE∽△CGA1， ∴ ∴， ∴GC＝. 故答案为 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求DE的长是本题的关键. 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 20. ﹣2cos45°． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、代入特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】原式＝1+3﹣2﹣（﹣1）﹣2× ＝1+3﹣2﹣+1﹣ ＝． 【点睛】本题考查零指数幂的性质以及负指数幂的性质，熟记特殊角的三角函数值并熟练掌握运算法则是解题关键． 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据多项式乘多项式法则进行计算即可． （2）先提公因式，再根据完全平方公式分解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 22. 某校为了解该校学生平均每天运动的时间，随机抽取部分学生进行调查，并将相关数据分为，，，四个组进行统计，绘制了如图不完整的频数分布表，扇形统计图及组时间与人数分布表． 平均每天运动时间频数分布统计表 组别 时间/小时 频数/人数 10 20 平均每天运动时间扇形统计图 组时间与人数分布表 时间（小时） 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 人数（人） 1 2 4 6 7 根据以上信息解答问题． （1）所抽取的学生中，平均每天运动时间落在组的人数为_______人； （2）所抽取的学生中，平均每天运动时间的中位数为________小时； （3）已知该校有2000人，估计该校学生平均每天运动时间不少于0.8小时的人数． 【答案】（1）15；（2）0.9；（3）1320人 【解析】 【分析】（1）由表格知A组学生人数为10人，由扇形统计图A组学生占20%，随机抽取部分学生的样本容量=10÷20%=50人，利用各组之和等于抽取人数列出等式10+20++=50，解方程即可； （2）把B组中学生运动时间进行从小到大排序，利用中位数定义，找出第25、26两位学生运用时间取平均数即可； （3）求出随机抽取部分学生平均每天运动时间不少于0.8小时所占抽取部分学生的百分比为，学校学生总数×66%计算即可． 【详解】解：（1）由表格知随机抽取部分学生中A组学生人数为10人，由扇形统计图A组学生占随机抽取部分学生的20%， ∴随机抽取部分学生的样本容量=10÷20%=50人， ∴10+20++=50， 解得=5， C组学生人数为=15人， 故答案为：15； （2）把B组中学生运动时间进行从小到大排序，由于机抽取部分学生一共50人， 50÷2=50， 排在25，26两个学生运动时间是0.9小时,0.9小时， 故机抽取部分学生运动时间中位数为：， 随机抽取部分学生的中位数是0.9， 故答案为：0.9； （3）机抽取部分学生平均每天运动时间不少于0.8小时的人数为50-10-1-2-4=33人， 占抽取部分学生的百分比为， 该校学生平均每天运动时间不少于0.8小时的学生数为（人）． 答：该校学生平均每天运动时间不少于0.8小时的约有1320人． 【点睛】本题考查样本容量，一元一次方程，中位数，用样本中百分含量估计总体中的数量，掌握样本容量，一元一次方程，中位数，用样本中百分含量估计总体中的数量是解题关键． 23. 如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A、B、C、D均在方格纸的格点(即图中小正方形的顶点)上，线段AB与线段CD相交于点E．设图中每个小正方形的边长均为1． （1）求证：AB⊥CD； （2）求sin∠BCD的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）证明，可得，根据同角的余角相等可得结论； （2）根据勾股定理先计算和的长，根据面积法可得的长，最后由三角函数定义可得结论． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：在中， ，， ， 同理，， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查网格型问题，还考查了三角形全等的性质和判定，勾股定理和三角函数，解题的关键是根据面积法和数形结合的思想解决问题． 24. 某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发，该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示． （1）求x≥100时，y与x之间的函数关系式； （2）已知小李为该地区的一户居民，小李家上个月用电量为120度，求小李家上个月共需缴纳电费多少元？ 【答案】（1） （2）小李家上个月共需缴纳电费88元 【解析】 【分析】（1）设当时，y与x之间的函数关系式为，然后把点（100，60），（200，200）代入关系式中求解即可； （2）把代入到（1）中所求函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， ∵点（100，60），（200，200）在函数图像上， ∴， 解得， ∴当时，y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵120＞100， ∴当时，， ∴小李家上个月共需缴纳电费88元， 答：小李家上个月共需缴纳电费88元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握求一次函数解析式的方法． 25. 如图，直线l的解析式为，点，点B在y轴的正半轴上，直线与直线l交于点C，直线l与x轴交于点D，． （1）求点D的坐标； （2）求直线的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）点D的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了两直线相交的问题，待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，仔细观察图形，数学结合是解题的关键． （1）利用直线l：与x轴交于点D，令即可得到点D坐标． （2）直线经过，，利用待定系数法即可得到直线的函数解析式． （3）作轴，垂足为点M，则点M坐标为，求得点C的坐标，即可得到的面积． 【小问1详解】 当时，， 解得． ∴点D的坐标为． 【小问2详解】 在中，由勾股定理得． ∴点B的坐标为． 设直线的解析式为，把点A，B的坐标分别代入， 得，解得 ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 如图，过点C作轴，垂足为点M． 由，得 ∴点C的坐标为． ∴点M的坐标为． ． ∵，， ． ． 26. 已知，内接于，AO平分． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点D是上一点，连接BD交AC于点G，连接CD，弦AE交BD于F、交CD于H，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，BD经过圆心O，连接DE，，的面积为，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）4+8 【解析】 【分析】（1）连接OB，OC，根据同圆半径相等，利用等腰三角形两底角相等和角平分线定义，证得∠OBA=∠OCA，∠OBC=∠OCB，所以∠OBA+∠OBC=∠OAC+∠OCB，即可得出结论； （2）连接AD，过点A作，交CD延长线于M，证△ADM≌△ADF（AAS），得AM=AF，DM=DF，再证Rt△AMC≌△AFB（HL），得CM=BF，即可得出结论； （3）连接AD， OE，设∠ABO=∠OAB=∠OAC=∠ACD =α，因为，所以∠CAE=∠ACD=α，∠AED=∠CDE，由于F，所以∠ABO+∠OAB+∠OAC+∠CAE=90°，即4α=90°，所2α=45°，从而可证得△DFH是等腰直角三角形，△OAF是等腰直角三角形，得到， EH=DH=DF，OA=OF，再由S△DEH=，求得DF=4，由OF+DF=OD=OA，即OF+4=OF，求得OF=4+4，最后由OD=OF+DF求得答案． 【小问1详解】 解：如图1，连接OB，OC， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AO平分， ∴∠OAB=∠OAB， ∴∠OBA=∠OCA， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBA+∠OBC=∠OAC+∠OCB 即∠ABC=∠ACB； 【小问2详解】 证明：如图2，连接AD，过点A作，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADM=∠ABC， 由（1）知，∠ACB=∠ABC， ∴AB=AC， ∴∠ADM=∠ACB， ∵∠ACB=∠ADB， ∴∠ADM=∠ADB， ∵于M，于F， ∴∠AMD=∠AFD=90°， 在△ADM和△ADF中， ∴△ADM≌△ADF（AAS）， ∴AM=AF，DM=DF， 在Rt△AMC和Rt△AFB中， , ∴Rt△AMC≌Rt△AFB（HL）， ∴CM=BF， ∴CD+DM=BF， ∴BD+CD=BF+DF+CD=BF+DM+CD=2BF； 【小问3详解】 解：如图3，连接AD，OH，OE， 设∠ABO=∠OAB=∠OAC=∠ACD =α， ∵， ∴∠CAE=∠ACD=α，∠AED=∠CDE， ∴DH=EH， ∵于F， ∴∠ABO+∠OAB+∠OAC+∠CAE=90°， 即4α=90°， ∴2α=45°， ∴∠BDC=∠BAC=2α=45°， ∴∠FDH=∠DHF=2α=45°， ∴△DFH是等腰直角三角形， ∴EH=DH=DF， ∵S△DEH=， ∴， ∴DF=4， ∵∠OAF=∠OAC+∠CAF=2α=45°， ∴△OAF是等腰直角三角形， ∴OA=OF， ∴OF+DF=OD=OA， ∴OF+4=OF， ∴OF=4+4， ∴OD=OF+DF=4+4+4=4+8， 答：⊙O的半径为4+8. 【点睛】本题属圆的综合题目，涉及知识有圆周角定理，三角形面积公式，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识及其运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $