精品解析：黑龙江大庆市第六十九中学中考考前模拟数学试卷（20260616）

25－26大庆六十九中初四下考前模拟数学试卷（20260616） 数学学科考前测试（三） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，其常见的造型为口大底小．如图是“米斗”的几何示意图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点 为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在中，，图中所作直线 与射线交于点D，且点D在边 上，根据图中尺规作图的痕迹，则度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法不正确的是（     ） A. 斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 B. 一款跑步鞋在进价的基础上提高标价，商场为了促销打八折销售，仍可获利元， 则这款跑步鞋的进价为元 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 D. 甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差 8. 已知反比例函数（ ）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 9. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 1 展开式系数和为1 1 1 展开式系数和为 1 2 1 展开式系数和为 1 3 3 1 展开式系数和为 　1 4 6 4 1 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 10. 如图所示，菱形ABCD的边长是2厘米，∠BAD＝120°，动点M以1厘米/秒的速度自A点出发向B移动，动点N以2厘米/移的速度自B点出发向D移动，两点中任一个到达线段端点移动便告结束．若点M、N同时出发运动了t秒，记△BMN的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 13. 已知点位于第一象限，若它的横、纵坐标均为整数，则 的值为__________． 14. 2026年中国国产工具已形成规模化落地态势，张老师的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“秘塔”，若张老师从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是_____． 15. 如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 16. 已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为______． 17. 如图，正方形 的边长为，以 为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第 个正方形的面积为________． 18. 如图，二次函数的图象经过坐标轴上 、两点，且与 轴交于，点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上，下列结论正确的是______． ①点 的坐标是； ②若点是抛物线对称轴上的一点，当最短时的坐标为； ③若点，在抛物线上，满足，则一定有； ④连接，将直线沿 轴向上平移个单位，当抛物线与直线只有一个公共点时，； ⑤若点为抛物线上的一点（不与重合），连接，当时，点的横坐标为． 三．解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：﹣3tan30°﹣（）﹣2． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 年，中国第 次南极考察队在东南极麒麟冰下湖区域完成冰层热水钻探试验，刷新热水钻探世界纪录．考察队第一阶段钻探的深度为 ，实际施工时，每天钻探的深度比原计划每天钻探的深度增加了 ，结果提前天完成第一阶段的钻探任务．求原计划每天钻探的深度． 22. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） （1）请计算台阶的高度． （2）求出孔子雕像 的高度． 23. 为响应“全民阅读”号召，某中学深入开展“书香校园·每日阅读”主题读书活动．现随机抽取八年级部分学生，统计其每日阅读时长（时长用 表示，单位：分钟），并对数据（时长）进行统计整理．下面给出了部分信息： a．在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，掩盖了部分数据，如下表所示： 组别 阅读时间 分钟 数据 第一组 22，25，23 第二组 31，34，36，35，32 第三组 43，47，46 第四组 51，57，54 b．不完整的学生阅读时长的频数分布直方图和扇形统计图如图： 根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是_____度； （3）若第四组数据的中位数是53，则第四组中被盖住的数字为_____； （4）若该校共有学生1500人，试估算该校约有多少名学生每日阅读时长不少于30分钟． 24. 如图，在平行四边形 中，点 是的中点，连接并延长交的延长线于点 ，连接，且． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 26. 如图，用一段长为的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为．矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等．设长为长为，矩形 的面积为． （1）直接写出 与x，z与 之间的函数关系式； （2）当 为何值时， 有最大值？最大值是多少？ （3）若需要对矩形和矩形区域进行装修改造，单价分别为64元和40元．受资金投入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出 的取值范围． 27. 如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接 、 、 ，且． （1）求证：直线 是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线 交于P，交于E，连接 、，若，求的值． 28. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线于F，求线段 的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25－26大庆六十九中初四下考前模拟数学试卷（20260616） 数学学科考前测试（三） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中即是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键．中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为正整数以及的确定方法． 先确定的值，再根据原数与的关系确定的值，从而得出科学记数法的表达式． 【详解】， 故选C． 4. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，其常见的造型为口大底小．如图是“米斗”的几何示意图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由俯视图的定义可得“米斗”的俯视图是． 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点 为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标平面内的图形关于原点 同向或反向位似时点的坐标变化规律求解即可． 【详解】如果所画三角形与关于原点 同向位似，则点 的对应点的坐标是，即； 如果所画三角形与关于原点 反向位似，则点 的对应点的坐标是，即； 综上，点 的对应点的坐标是或． 6. 如图，在 中，，图中所作直线 与射线交于点D，且点D在边 上，根据图中尺规作图的痕迹，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-基本作图，角平分线的定义与性质，线段垂直平分线的定义与性质，三角形内角和定理等知识，由图中尺规作图痕迹可得 平分， 是 的垂直平分线，结合角平分线和线段垂直平分线的定义与性质分析，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由作图可得： 平分， 是 的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 下列说法不正确的是（     ） A. 斜边相等的两个等腰直角三角形一定全等 B. 一款跑步鞋在进价的基础上提高标价，商场为了促销打八折销售，仍可获利元， 则这款跑步鞋的进价为元 C. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 D. 甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形，一元一次方程的应用，圆周角定理，方差与标准差，根据全等三角形，一元一次方程的应用，圆周角定理，方差与标准差逐一判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵斜边相等的两个等腰直角三角形， ∴直角边也对应相等， ∴这两个等腰直角三角形一定全等，原选项说法正确，不符合题意； 、设进价为 元，则标价为（元），售价为（元）， ∴， 解得：， ∴原选项说法正确，不符合题意； 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补 ，原选项说法错误，符合题意； 、甲、乙两组数据的方差，则这两组数据的标准差，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 8. 已知反比例函数（ ）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象确定的符号以及的值，再根据二次函数解析式的系数符号，进行判断即可. 【详解】解：由图可知，反比例函数的图象过第一象限，一次函数的图象过一，三象限且过原点， ∴， ∴，，， ∴抛物线的开口向下，对称轴在 轴的左侧，抛物线与 轴交于正半轴， 故符合要求的只有选项B的图象. 9. 我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 1 展开式系数和为1 1 1 展开式系数和为 1 2 1 展开式系数和为 1 3 3 1 展开式系数和为 　1 4 6 4 1 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 612 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，解题的关键是熟练掌握观察展开式中所有项的系数和．由“杨辉三角”得到是（n为非负整数）展开式的项系数和为，即可求解． 【详解】解：由系数和可得： 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ⋯， ∴（n为非负整数）展开式的项系数和为 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：C． 10. 如图所示，菱形ABCD的边长是2厘米，∠BAD＝120°，动点M以1厘米/秒的速度自A点出发向B移动，动点N以2厘米/移的速度自B点出发向D移动，两点中任一个到达线段端点移动便告结束．若点M、N同时出发运动了t秒，记△BMN的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H，根据菱形的性质以及题目给出的条件可得BO＝cm，进而得出BD＝cm，根据题意可知AM＝tcm，BN＝2tcm，根据题意得出t的取值范围，再根据三角形的面积公式得出S与t之间的函数关系式即可得出正确选项． 【详解】解：如图，连接AC与BD交于点O，作MH⊥BD，垂足为H， ∵ABCD是菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝60°，∠ABO＝30°， ∴BO＝AB•cos30°＝＝（cm）， ∴BD＝（cm）， 根据s＝vt可知，AM＝t（cm），BN＝2t（cm）， ∵0≤AM≤2，得0≤t≤2，， ∴， ∵在△BMH中，BN＝2t，MH＝BM•sin30°＝， ∴＝＝（）， 此函数的图象为开口方向向下的抛物线的一部分，且图象两个端点的横坐标分别为0，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件及自变量的取值范围是解题的关键；由题意易得且，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且； 故答案为且． 12. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，． 13. 已知点位于第一象限，若它的横、纵坐标均为整数，则 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，列出关于 的不等式组，求出 的取值范围，再结合横纵坐标均为整数的条件，确定 的值． 【详解】解：点位于第一象限，第一象限内点的横纵坐标均为正数， ∴，解得：， 点的横纵坐标均为整数， 为整数，可得． 14. 2026年中国国产工具已形成规模化落地态势，张老师的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“秘塔”，若张老师从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：张老师从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“豆包”的概率是． 15. 如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为 ，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 16. 已知一次函数．若当时，函数有最小值，则k的值为______． 【答案】7或##或7 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或 时，，分别代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得：； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当 时，， ∴， 解得：； ∴k的值为7或． 故答案为：7或． 17. 如图，正方形 的边长为，以 为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第 个正方形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过勾股定理找出正方形边长的递推规律，得到第个正方形的边长表达式，代入再利用正方形面积公式求解． 【详解】解：根据题意可知， ， ， ， ， ， 据以上分析可知，第个正方形的边长为， 则第 个正方形的边长为，其面积为． 18. 如图，二次函数的图象经过坐标轴上 、两点，且与 轴交于，点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上，下列结论正确的是______． ①点 的坐标是； ②若点是抛物线对称轴上的一点，当最短时的坐标为； ③若点，在抛物线上，满足，则一定有； ④连接 ，将直线 沿 轴向上平移个单位，当抛物线与直线 只有一个公共点时，； ⑤若点为抛物线上的一点（不与重合），连接，当时，点的横坐标为． 【答案】①⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，函数的平移，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，逐一判断，即可求解． 【详解】解：点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上， 点、关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线， 二次函数的图象与 轴交于，点 ， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 将，代入得， ， 二次函数为，， 、 关于对称轴直线对称， ， 当、 、共线时，最短， 设直线 的解析式为，将、代入得 ， 解得， 直线 的解析式为， 点是抛物线对称轴上的一点， 点的横坐标是， 当时，， ，故②错误； 当时，， 若，则，此时， 若，则，此时，故③错误； 直线 沿 轴向上平移个单位后得到， 联立， 整理得到， 抛物线与直线只有一个公共点， ， 解得，故④错误； 点为抛物线上的一点（不与重合），， 点在 轴的下方，且点关于 轴的对称点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 则 解得（舍去）或， 点的横坐标为，故⑤正确； 故答案为：①⑤． 三．解答题（共10小题，共66分） 19. 计算：﹣3tan30°﹣（）﹣2． 【答案】﹣4． 【解析】 【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】原式=2﹣3×﹣4 =﹣4． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分母，对括号内的分式通分，将除法转化为乘法，约分后得到最简分式，再代入x的值计算即可求解． 【详解】 解： 原式      将代入得，原式． 21. 年，中国第 次南极考察队在东南极麒麟冰下湖区域完成冰层热水钻探试验，刷新热水钻探世界纪录．考察队第一阶段钻探的深度为，实际施工时，每天钻探的深度比原计划每天钻探的深度增加了 ，结果提前天完成第一阶段的钻探任务．求原计划每天钻探的深度． 【答案】原计划每天钻探的深度为． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用－工程问题，设参数原计划每天钻探的深度为，找出等量关系，列方程，解出即可，解题的易错点在于忽略检验所求 值是否为原分式方程的解． 【详解】解：设原计划每天钻探的深度为，依题意列方程得， ， 去分母得 ， 合并同类项得， 系数化为1得 ． 经检验， 是原分式方程的解． 原计划每天钻探的深度为． 22. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） （1）请计算台阶的高度． （2）求出孔子雕像 的高度． 【答案】（1）台阶的高度为 （2）孔子雕像 的高度为 【解析】 【分析】（1）作于 ，结合可得答案； （2）设，则，表示，，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：作于 ， 由题意，得，，，，， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴台阶的高度为． 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴孔子雕像 的高度为． 23. 为响应“全民阅读”号召，某中学深入开展“书香校园·每日阅读”主题读书活动．现随机抽取八年级部分学生，统计其每日阅读时长（时长用 表示，单位：分钟），并对数据（时长）进行统计整理．下面给出了部分信息： a．在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，掩盖了部分数据，如下表所示： 组别 阅读时间 分钟 数据 第一组 22，25，23 第二组 31，34，36，35，32 第三组 43，47，46 第四组 51，57，54 b．不完整的学生阅读时长的频数分布直方图和扇形统计图如图： 根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是_____度； （3）若第四组数据的中位数是53，则第四组中被盖住的数字为_____； （4）若该校共有学生1500人，试估算该校约有多少名学生每日阅读时长不少于30分钟． 【答案】（1）随机抽取的学生人数为20人，图见解析 （2）72 （3）52 （4）估计该校约有1275名学生每日阅读时长不少于30分钟 【解析】 【分析】（1）用第一组的人数除以所占的比例即可得出随机抽取的学生人数，求出第二组、第四组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以第四组人数所占的比例即可得出结果； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用乘以每日阅读时长不少于30分钟的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：（人）， 故随机抽取的学生人数为 人， 第二组人数为（人）， 第四组人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：， 故扇形统计图中第四组的圆心角的度数是度； 【小问3详解】 解：∵第四组数据的中位数是53， ∴第四组中被盖住的数字为； 【小问4详解】 解：（人）， 故该校约有名学生每日阅读时长不少于30分钟． 24. 如图，在平行四边形 中，点 是的中点，连接并延长交 的延长线于点 ，连接，且． （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 点 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）先证明，进而得出，根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进而证明四边形是矩形； （2）根据正切的定义得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ． 四边形是矩形， ． ， ． 在中，， 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是y轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先求出值，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得； 综上：点坐标为或或． 26. 如图，用一段长为的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为．矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等．设长为长为，矩形 的面积为． （1）直接写出 与x，z与 之间的函数关系式； （2）当 为何值时， 有最大值？最大值是多少？ （3）若需要对矩形和矩形区域进行装修改造，单价分别为64元和40元．受资金投入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时， 有最大值，最大值是420 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，然后根据围栏的长度为得到，进而得到，然后根据矩形的面积公式得到； （2）首先将配方成顶点式，然后求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）首先表示出矩形的面积和矩形的面积，设改造总费用为w，根据单价分别为64元和40元表示出，然后求出时，，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等，设长为， 长为 ∴， ∵用一段长为的围栏 ∴ ∴； ∴矩形 的面积； 【小问2详解】 由（1）可得． ，即． 抛物线的开口向下． 对称轴 当时， 随 的增大而减小． 当时， 有最大值，最大值是420． 【小问3详解】 解：矩形的面积为，矩形的面积为， 设改造总费用为w ∵单价分别为64元和40元 ∴ 当时， 整理得， 解得， ∵改造总费用不能超过11520元，且 ∴． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27. 如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接 、 、 ，且． （1）求证：直线 是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线 交于P，交于E，连接 、，若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接OA， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴直线 是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论； （2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案； （3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由知，令半径，则，， 在中，， 在中，， 即； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，， ∴， ∴， 在中，，， 解得，， ∵ 平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 28. 如图1，抛物线与x轴交于、，与y轴交于点C．直线与抛物线交于点B与点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．连接，将线段绕O点逆时针旋转90°，得到线段，过点E作轴交直线 于F，求线段 的最大值； （3）如图3，将抛物线在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于点，过点 作轴于点，证明，进而得到点 的坐标，进而求出点 的坐标，转化为二次函数求最值即可； （3）分别求出直线与新图象相切时，以及直线过点 时的值，利用平移的思想即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于、， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵点的横坐标为， ∴， 过点作轴于点，过点 作轴于点，则：，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线 的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值为； 【小问3详解】 ∵翻折， ∴ 轴下方的抛物线的解析式为：， 当与只有一个交点时，此时与新图象只有一个交点， 联立，整理，得：， ∴， ∴， ∴，解得：， 所以与的交点在点的左侧， 将直线向下平移直至经过点 之前时，与新图象有2个交点， 当过点 时， 即：， ∴， 联立 ，解得：（舍去）或， ∴当过点 时，直线与新图象仍有2个交点， 将直线继续向下平移直至直线与只有一个交点时， 联立，整理，得：， ∴，解得：， ∴，解得：， 交点位于点 的右侧上方部分， ∴此时直线与新图象仍有2个交点 继续往下平移，与新图象有2个交点， ∴综上：当时，直线与新图象有且只有两个交点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数求最值，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键. 第1页/共1页 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