8.2.1 一元线性回归模型 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型，通过复习散点图与样本相关系数引入，以父亲与儿子身高的情境数据为载体，用问题链搭建从相关关系判断到回归模型建立的学习支架。 其亮点在于以真实数据引导学生用数学眼光观察线性相关，通过对比函数与回归模型培养数学思维，用模型公式及推导强化数学语言表达。典例与变式训练结合，助学生提升数据分析素养，为教师提供逻辑清晰的教学实例。

8.2.1 一元线性回归模型 第八章 成对数据的统计分析 作者编号：32100 1 复习回顾 通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等. 思考 是否可以建立适当的统计模型来刻画两个变量之间的相关关系？并通过模型进行预测？ Y x 统计模型 作者编号：32100 新知学习 情境：生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高相关。一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高。为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 由这组样本数据能否推断儿子的身高与父亲的身高有关系？关系的相关程度如何？为什么？ 作者编号：32100 新知学习 从图上看，散点大致分布在一条直线附近. 由散点图的分布趋势表明儿子的身高与父亲的身高线性相关. 画出散点图： 利用统计软件求得相关系数r＝0.886， 表明儿子的身高与父亲的身高正线性相关，且相关程度较高． 作者编号：32100 新知学习 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 问题1：根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间能用函数模型刻画吗？ 不能，不符合函数定义， 集合A中的任意一个数，在集合B中都存在唯一的数与它对应. 因此它们之间不是函数关系，不能用函数关系刻画. 作者编号：32100 新知学习 问题2：由于其他因素的存在，使得儿子身高和父亲身高有关系但不是函数关系，那么影响儿子身高的其他因素是什么？ 母亲的身高 生活的环境 饮食习惯 ... 营养水平 体育锻炼 作者编号：32100 新知学习 建立模型：如果用x表示父亲身高，Y表示儿子的身高，用e表示各种其它随机因素影响之和，称e为随机误差，由于儿子身高与父亲身高线性相关，所以 假设：①随机误差e的均值为 0； Y＝bx＋a＋e ②方差为与父亲身高无关的定值σ2. 作者编号：32100 新知学习 思考：为什么要假设E(e)＝0，而不假设其为某个不为 0 的常数？ 因为误差是随机的，取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为 0 . 如果随机误差是一个不为 0 的常数e，则可以将 e 合并到截距项 a 中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解. 请根据以上的分析，你能建立一个数学模型表示儿子身高与父亲身高的关系吗？ 作者编号：32100 概念生成 如果用 x 表示父亲身高，Y 表示儿子的身高，e 表示随机误差。假定随机误差 e 的均值为 0，方差为与父亲身高无关的定值 σ2，则它们之间的关系可以表示为 我们称上式为 Y 关于 x 的一元线性回归模型，其中，Y 称为因变量或响应变量，x 称为自变量或解释变量. a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差． 作者编号：32100 函数模型与回归模型之间的差别： 新知学习 函数模型：y＝bx＋a 回归模型：Y＝bx＋a＋e 一元线性回归模型Y ＝bx＋a＋e 增加了随机误差项 e，因变量 Y 的值由自变量 x 和随机误差项 e 共同确定，即自变量 x 只能解释部分 Y 的变化. 解释变量x (身高) 模型误差e (其它所有变量) 响应变量Y (体重) 作者编号：32100 新知学习 问题3：结合父亲与儿子身高的实例，说明回归模型的意义是什么? 可以解释为父亲身高为 xi 的所有男大学生身高组成一个子总体，该子总体的均值为bxi＋a，即该子总体的均值与父亲的身高是线性函数关系. 作者编号：32100 新知学习 对于父亲身高为 xi 的某一名男大学生，他的身高 yi 并不一定为bxi＋a，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项ei＝yi －(bxi＋a). 问题4：对于父亲身高为xi的某一名男大学生，他的身高yi一定是bxi＋a吗？ 作者编号：32100 新知学习 问题5：你能结合具体实例解释产生模型中随机误差项的原因吗? 忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 在测量身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差； 用线性回归模型近似真实模型所引起的误差. 以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。 作者编号：32100 典例剖析 例1 某公司的利润 y (单位：千万元)与销售总额 x (单位：千万元)之间有如下表对应数据： (1)画出散点图； (2)判断 y 与 x 是否具有线性相关关系. x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 (1)散点图如右图所示： (2)由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为 y 与 x 有线性相关关系，且为正相关. 解析： y 10 15 17 20 25 28 32 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 变式训练 练习1 说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子. 路程与速度的关系、正方体体积与边长的关系可以应用函数模型刻画，体重与身高的关系、冷饮销量与气温的关系可以用回归模型刻画。 举例： ►课本P107 变式训练 练习2 将图中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？ 一是父亲的身高与儿子的身高之间是随机关系，不是函数关系； 二是这组数据仅是总体的一个样本，不一定能很好地描述两个变量之间的关系. 解析： 不能. ►课本P107 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.写出一元线性回归模型，并说说其各参数分别表示什么？ 2. 函数模型与一元线性回归模型之间的差别在哪？ 作者编号：32100 $