第47卷 平面与平面的位置关系（2）-考点训练卷 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦平面与平面位置关系，通过选择、填空、解答等多元题型，系统覆盖位置判断、角与距离计算及综合证明，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系判断|选择1-4,9|线面/面面平行垂直判定、命题真假辨析|从概念辨析到定理应用，构建判定逻辑链| |空间角与距离计算|选择5-8,14-17,19,24|二面角、线面角、点面距离计算|以几何模型为载体，强化空间转化与运算能力| |综合证明与应用|证明22-23,综合24|折叠问题、多面体性质证明|整合线面关系与几何体性质，提升综合推理与应用意识|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》 第47卷 平面与平面的位置关系（2） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若，，，则a和b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 2．分别在两个平行平面内的两条直线位置关系是（   ） A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．不可能平行 3．下列命题中正确的是（    ） A．若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面 B．分别在两个已知平面内的两条直线是异面直线 C．如果一条直线平行于两个平行平面中的一个，那么该直线也平行于另一个 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 4．设是直线，，是两个不同的平面，则下列能判断的是（    ） A．， B．与平面内无数条直线平行 C．， D．， 5．如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（    ） A．是直线与平面所成角 B．是二面角的一个平面角 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点A到平面的距离 6．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，在棱长都相等的正三棱锥S-ABC 中，二面角S-AC-B 的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 8．正方体中，二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：    ①： ②是等边三角形； ③三棱锥是正三棱锥； ④平面平面． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．设是两条不同的直线是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若则； 其中正确的序号是___________. 12．长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为___________． 13．已知 ，且 ，则 与 的位置关系是_____. 14．已知二面角，为面上一点，到的距离为，到的距离为4，求二面角为_________度. 15．若的二面角的一个面上一点到另一个面的距离是，则这个点到棱的距离是___________． 16．正三棱锥高为，底面边长为，那么侧面与底面所成的二面角大小是_________rad. 17．如图，已知二面角且，A到平面的距离为，A到l的距离为4，则此二面角的大小为________． 18．如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有________． 三、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 19．如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，底面半径为2．若为底面圆周上的两个点，且为正三角形．求：    (1)圆锥的侧面积与体积； (2)二面角的平面角的正切值． 20．如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长． 21．正六棱柱底面边长为2，最长的对角线长为5，求正六棱柱的高． 四、证明题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 22．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．求证：平面．    23．如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面 五、综合题（本题10分） 24．如图，平面，在中，，，，求：    (1)点到直线的距离； (2)直线与平面所成角； (3)平面与平面所成角的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年河南省对口招生《数学考纲百套卷》 第47卷 平面与平面的位置关系（2） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若，，，则a和b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】根据线面平行推断直线与直线的位置关系即可解得. 【详解】因为平面平行于平面，直线a在平面内，直线b在平面内， 所以和没有公共点，它们可能平行，也可能异面， 不可能相交，因为分别在两个平行平面内的直线不会有交点. 故选：C. 2．分别在两个平行平面内的两条直线位置关系是（   ） A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．不可能平行 【答案】A 【分析】利用空间中两直线的位置关系求解． 【详解】两个平行平面没有公共点，那么分别在这两个平面内的直线肯定没有公共点。没有公共点的两条直线要么平行，要么异面. 故选：A. 3．下列命题中正确的是（    ） A．若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面 B．分别在两个已知平面内的两条直线是异面直线 C．如果一条直线平行于两个平行平面中的一个，那么该直线也平行于另一个 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 【答案】D 【分析】利用正方体模型举例说明判断ABC，利用面面平行的概念判断D. 【详解】正方体中， 直线与平面内的两条直线都垂直，但直线在这个平面内，直线与平面不垂直，故A错误； 直线分别在两个已知平面内，但由于直线均在平面内，直线不是异面直线，故B错误； 直线平行于两个平行平面中的平面，但直线在平面，得直线与平面不平行，故C错误； 如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面一定平行．否则，这两个平面就会有公共点，这样在一个平面内通过这个公共点直线就不平行于另一个平面了．故D正确． 故选：D． 4．设是直线，，是两个不同的平面，则下列能判断的是（    ） A．， B．与平面内无数条直线平行 C．， D．， 【答案】C 【分析】根据空间中线面的位置关系，结合面面平行的性质逐一判断即可求解. 【详解】对A：，，可能在内，故A错误. 对B：与平面内无数条直线平行，可能在内，故B错误. 对C：由面面平行的性质可得，，，则，故C正确. 对D：，，可能在内，故D错误. 故选：C. 5．如图，在四面体中，平面，，则下列叙述中错误的是（    ） A．是直线与平面所成角 B．是二面角的一个平面角 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点A到平面的距离 【答案】B 【分析】根据线面垂直即可求解AD，根据平面，即可得，进而判断C，结合二面角的定义即可判断B. 【详解】对于AD，由于平面，所以是直线与平面所成角，线段的长是点到平面的距离，故AD正确， 对于B，平面，平面,所以,又， 平面，所以平面， 平面,故, 又，平面,平面, 故是二面角的一个平面角，故B错误， 对于C，由于，所以线段的长是点A到直线的距离，C正确, 故选：B 6．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，又，从而平面，，所以二面角的平面角为，求解即可. 【详解】因为底面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以二面角的平面角为． 在中，，则． 故二面角的大小为． 故选：D． 7．如图所示，在棱长都相等的正三棱锥S-ABC 中，二面角S-AC-B 的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的定义找到二面角的平面角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】 因为正三棱锥各棱长相等. 设三棱锥的边长为.令点为的中点，连接. 因为. 所以为二面角的平面角. 在中，. 在中，. 在中，由余弦定理可知 故选：B. 8．正方体中，二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的几何特征得出，得出为二面角的平面角即可得出结论. 【详解】因为为正方体，则平面，则平面， 所以，所以为二面角的平面角， ，二面角的大小为. 故选：B. 9．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面之间的关系可判断C选项正确，A、B、D选项可通过反例进行判断. 【详解】对于A选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于B选项，如图，若，，则l不一定在平面内，该选项错误； 对于D选项，如图，若，，则l不一定垂直于平面，该选项错误； 对于C选项，若，，根据两平行平面的性质定理证明可得，该选项正确. 故选：C. 10．以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：    ①： ②是等边三角形； ③三棱锥是正三棱锥； ④平面平面． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】由面面垂直的性质和线面垂直性质判断①，设，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可判断②③，取的中点，连接，，求出二面角的大小即可判断④，进而得出答案． 【详解】由题意知，，，又平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故①正确； 由①知， 设， 因为为等腰直角三角形斜边上的高， 所以， 又因为， 所以， 所以，即为等边三角形，故②③正确； 取的中点，连接，， 则，，， 因为平面平面，平面，平面，且， 所以是二面角的平面角， 由余弦定理得， 所以二面角不为， 即平面与平面不垂直，故④错误； 所以正确的有3个，    故选：B． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．设是两条不同的直线是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若则； 其中正确的序号是___________. 【答案】③④ 【分析】根据线面平行性质分析①，根据面面垂直性质分析②，根据线面垂直和平行的性质判定③，根据面面平行和线面垂直的性质判定④. 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行也可能异面或相交，所以①错误； 垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，只需交线垂直于这个平面即可，所以②错误； 一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面的垂线垂直，所以③正确； 三个平面相互平行，一个平面的垂线也垂直于其余两个平面，所以④正确. 故答案为：③④ 12．长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为___________． 【答案】 【分析】根据长方体的性质，结合线面角的定义以及面面距的定义，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下：    在长方体中，平面， 则，且平面和之间的距离为， 在矩形中，，则， 所以在中，. 故答案为：. 13．已知 ，且 ，则 与 的位置关系是_____. 【答案】平行 【分析】根据两个平面平行关系的判定定理即可解答. 【详解】由两个平面平行关系的判定可知， 如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面互相平行， 即，且 ，则， 故答案为：平行. 14．已知二面角，为面上一点，到的距离为，到的距离为4，求二面角为_________度. 【答案】 【分析】先利用线线垂直找到线面角，再将面面角放到三角形中，利用特殊角的正弦值即可求解面面角. 【详解】作于O，因为，所以，再作于D， 因为，所以平面AOD，所以，    所以是二面角的平面角， 由题意和图可知，， 在中，因为， 所以 所以二面角为. 故答案为:. 15．若的二面角的一个面上一点到另一个面的距离是，则这个点到棱的距离是___________． 【答案】 【分析】先作出图形，再根据线面垂直的判定与性质找出二面角的平面角，再根据直角三角形三角函数的定义求解. 【详解】 如图所示，点是二面角中平面内一点， ,交于点,平面，交于点. 因为平面，平面，平面. 所以. 因为.所以平面. 因为平面.所以. 所以为二面角的平面角.所以. 因为.所以. 因为. 所以. 故答案为：. 16．正三棱锥高为，底面边长为，那么侧面与底面所成的二面角大小是_________rad. 【答案】 【分析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角的一个顶点到底面中心的距离.通过解直角三角形得到答案. 【详解】 如图三棱锥为正三棱锥.为三棱锥的高.点为三角形的中心. 所以. 取的中点，连接. 所以. 所以为侧面与底面所成二面角的平面角. 因为底面.面. 所以. 因为. 所以. 所以.即侧面与底面所成的二面角为. 故答案为：. 17．如图，已知二面角且，A到平面的距离为，A到l的距离为4，则此二面角的大小为________． 【答案】 【分析】根据二面角的定义，结合勾股定理即可求解. 【详解】 作于点O，平面于点B，连接， ∵于点B，，， 又，且两直线在平面内 ，平面， 平面，∴，∴即为二面角的平面角， 易知，，，， 因为二面角的平面角的范围是，∴， 即二面角的大小为． 故答案为:. 18．如图，在正方体所有经过四个顶点的平面中，垂直于平面的平面有________． 【答案】平面，平面，平面 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明出平面⊥平面，同理可证明平面⊥平面，平面⊥平面. 【详解】连接面对角线，因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以平面⊥平面， 同理可知平面⊥平面，平面⊥平面. 故答案为：平面，平面，平面. 三、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 19．如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，底面半径为2．若为底面圆周上的两个点，且为正三角形．求：    (1)圆锥的侧面积与体积； (2)二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)侧面积，； (2)． 【分析】（1）由题可知，是等腰直角三角形，故得圆锥的高，底面半径，母线，利用侧面积和体积公式可求解； （2）取中点，连接．可证明为二面角的平面角．在中可求解. 【详解】（1）由题意知， 圆锥的高，底面半径，母线， 因此圆锥的侧面积， 圆锥的体积． （2）    如图，取中点，连接． 因为为正三角形，所以， 在中，因为，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，因为， 所以． 因此二面角的平面角的正切值为． 20．如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长． 【答案】 【分析】根据面面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可 【详解】由题意可知：平面，平面， 因为平面平面，所以， 因此有. 21．正六棱柱底面边长为2，最长的对角线长为5，求正六棱柱的高． 【答案】3 【分析】根据正六棱柱的结构特征可得，，，利用勾股定理即可求出棱柱的高． 【详解】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，如图， 底面，底面，， 又，正六棱柱的高． 四、证明题（本题共2小题，每小题6分，共12分） 22．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】根据平面与平面垂直的性质定理证明即可. 【详解】∵四边形是正方形， ∴． 又∵平面平面，平面平面，且平面， ∴平面． 23．如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，证明平面，平面，通过面面平行的判定定理可得平面平面，最后得到平面 【详解】取的中点，连接，， 则，， 又平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 五、综合题（本题10分） 24．如图，平面，在中，，，，求：    (1)点到直线的距离； (2)直线与平面所成角； (3)平面与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可证平面，从而，即为所求，在可求解； （2）由于平面，故在平面的射影为，即为所求，在求得，从而可求解； （3）由（1）可知，且，故是平面与平面所成角.在中可求解. 【详解】（1）平面，平面， 又， 平面， 又平面， . 即点到直线的距离为， 在中，，， 故； （2）由于平面， 故在平面的射影为， 即为所求. 在中，，， 故， 在，， 所以； （3）由（1）知，且， 故平面与平面所成角. 在中 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $