第58卷 平面与平面的位置关系（学生练习卷）-2027年河北省对口升学《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦平面与平面位置关系，通过选择、填空、解答题系统覆盖平行垂直判定、二面角计算等核心考法，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系判定|选择1-2,4-6,8-9|以命题判断、充要条件形式考查平行垂直判定定理|从概念辨析到定理应用，构建"线面关系→面面关系"推导链条| |二面角计算|选择3,10,填空12-13,解答15-16|结合折叠问题、几何体模型考查二面角求解|从静态几何到动态折叠，体现空间角的转化思想| |空间距离与综合|填空11,14,解答17-18|涉及点面距离、异面直线距离及面面平行证明|整合距离计算与位置关系证明，强化几何直观与逻辑推理|

编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第58卷 平面与平面的位置关系 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如图所示，在正方体中，分别为，的中点，则下列结论中：①平面；②平面；③平面平面；④正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2．设为两个平面，则的充要条件是（ ） A．平行于同一个平面 B．垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 3．把正三角形沿高折成二面角后，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中不正确的是（   ） A．两个平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面 B．平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面 C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 5．如图所示，沿等腰底边上的高AD，把折成二面角，则（    ）    A．平面ABD和平面BDC可能不垂直 B．平面ADC和平面BDC可能不垂直 C．平面ABD和平面ADC只能有一个与平面BDC垂直 D．平面ABD和平面ADC都与平面BDC垂直 6．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（  ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有一条直线与平面内的一条直线平行 D．平面与平面不相交 7．如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 8．已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．下列说法中，正确的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面必平行 B．垂直于同一平面的两个平面互相平行 C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D．如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线也平行 10．如图，以等腰三角形的斜边上的高位折痕，将和折起，使折起后的成等边三角形，则二面角的余弦值等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知三棱锥顶点都在球的表面上，，，，侧面是以为直角顶点的直角三角形，若平面平面，则球的表面积为_______________________． 12．在一个的二面角内，有一条直线与二面角的棱成，则此直线与二面角的另一个面所成的角为__________. 13．如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 14．如图，在长方体中，在平面内，于点，则与的位置关系是________.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．如图，在直三棱柱中，，，．    (1)求异面直线与的距离； (2)求二面角的余弦值． 16．如图所示，点是边长为2的等边三角形所在平面外一点，，.求:    (1)二面角的余弦值； (2)点到平面的距离. 17．如图所示，在长方体中，底面是边长为1的正方形，高为2，求： (1)点到直线的距离； (2)二面角的正切值. 18．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    试卷第10页，共10页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第58卷 平面与平面的位置关系 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如图所示，在正方体中，分别为，的中点，则下列结论中：①平面；②平面；③平面平面；④正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平面图形中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直判断①，由线面平行的判定定理判断②，根据线面垂直的性质和面面垂直的判定判断③，根据线面垂直的定义判断④. 【详解】已知为正方体， 分别为，的中点， 所以， 若平面，因为平面， 所以，但， 与平面图形中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，①不正确； ，平面，平面， 所以平面，②正确； 因为平面，， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面，③正确； 因为平面，平面， 所以，④正确． 故选：D． 2．设为两个平面，则的充要条件是（ ） A．平行于同一个平面 B．垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 【答案】D 【分析】根据面面垂直的判定及性质定理即可判断. 【详解】平行于同一个平面时，则，故A错误； 垂直于同一个平面时，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，故B错误； 内一条直线垂直于内一条直线，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，故C错误； 内存在一条直线垂直于，则，反之也成立，故D正确. 故选：D． 3．把正三角形沿高折成二面角后，，则二面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据于，易得沿折成二面角后，即为二面角的平面角，解即可求出二面角的大小． 【详解】∵， ∴沿折成二面角后，，，    故即为二面角的平面角， 又∵， ∴， 故选：C． 4．下列命题中不正确的是（   ） A．两个平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面 B．平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面 C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 【答案】A 【分析】根据平面平行的性质判定即可； 【详解】对于A，两个平面，一条直线平行于平面，则直线a可能与平行，也可能在内，所以A不正确； 对于B，平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面，所以B正确； 对于C，三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确； 对于D，分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线，所以D正确； 故选：A 5．如图所示，沿等腰底边上的高AD，把折成二面角，则（    ）    A．平面ABD和平面BDC可能不垂直 B．平面ADC和平面BDC可能不垂直 C．平面ABD和平面ADC只能有一个与平面BDC垂直 D．平面ABD和平面ADC都与平面BDC垂直 【答案】D 【分析】根据两个平面垂直的判定与性质判断即可. 【详解】由题意，，平面，所以平面， 对于A选项，因为平面，平面，所以平面和平面垂直，故A选项错误； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面和平面垂直，故B选项错误； 对于C选项，同理，平面和平面都与平面垂直，故C选项错误； 同理，故D选项正确. 故选：D. 6．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（  ） A．平面内有一条直线与平面平行 B．平面内有两条直线与平面平行 C．平面内有一条直线与平面内的一条直线平行 D．平面与平面不相交 【答案】D 【分析】根据平面与平面平行的定义和判定定理来进行判断. 【详解】选项A中，平面内有一条直线与平面平行，平面和平面可能相交，比如这条直线平行于两个平面的交线时，不能推出平行，A错误； 选项B中，平面内有两条直线与平面平行，如果这两条直线平行，也可能是平面相交的情况，不能推出平行，只有两条相交直线都平行于另一个平面时才可以推出两平面平行，B错误； 选项C中，平面内有一条直线与平面内的一条直线平行，也可能是平面相交的情况，不能推出平行，C错误； 选项D中，平面与平面不相交，而两个不重合的平面只有平行和相交两种关系，所以不相交的两个平面一定平行，D正确. 故选：D. 7．如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【分析】由题设知，，，，共面，根据面面平行的性质，可证与的位置关系. 【详解】由题意知，，，，在同一平面内， 且平面平面，平面平面，且， 所以， 故选：A. 8．已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由面面垂直的定义知，当”时，“”成立， 当时，不一定成立，即“”是“”的充分不必要条件. 故选：． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．平行于同一直线的两个平面必平行 B．垂直于同一平面的两个平面互相平行 C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D．如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线也平行 【答案】C 【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系求解即可. 【详解】A.平行于同一直线的两个平面的位置关系有平行、相交两种，故A错误； B.垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故B错误； C.垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故C正确； D.如果两个平面平行，则分别在这两个平面内的两条直线的位置关系有平行、异面两种，故D错误. 故选：C. 10．如图，以等腰三角形的斜边上的高位折痕，将和折起，使折起后的成等边三角形，则二面角的余弦值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设中点为，，则为所求二面角，证明，即可求得二面角的余弦值． 【详解】设中点为，，连接，，      ∵，， ∴， ∴为所求二面角， ∵，∴，，， ∴，∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知三棱锥顶点都在球的表面上，，，，侧面是以为直角顶点的直角三角形，若平面平面，则球的表面积为_______________________． 【答案】 【分析】根据题意作出图像，根据外接球的性质找到球心，求出半径代入球的表面积公式即可得解. 【详解】如图，分别取、的中点，    因为，满足， 所以，又， 所以分别为截面、截面外接圆的圆心， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，， 所以平面，故为球心，得球的半径为， 所以球的表面积为：. 故答案为：. 12．在一个的二面角内，有一条直线与二面角的棱成，则此直线与二面角的另一个面所成的角为__________. 【答案】 【分析】根据题意画出图像，再由已知边角关系即可解得. 【详解】由题，可画出图形如下图所示： 由题可知，平面形成的二面角为，且， 过点作于点，连接，则即为与所成的角， 由，则，过点作于点，连接， 由平面，平面，， 则平面，又知平面，则， 故为二面角的平面角，则， 设，则， 又知为直角三角形，，故. 故答案为： 13．如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 【答案】/ 【分析】取BC的中点D，连结PD，AD，根据线面垂直关系可知即为二面角的平面角，根据所给边长关系可求得的正弦值. 【详解】 取BC的中点D，连结PD，AD，因为，所以， 因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD， 因为平面PAD，所以， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以，， 即二面角的正弦值是. 故答案为：. 14．如图，在长方体中，在平面内，于点，则与的位置关系是________.    【答案】垂直 【分析】利用面面垂直的性质定理可得平面，进而可得. 【详解】在正方体中，可得平面平面， 又因为平面平面，且平面，， 所以平面， 又由平面，所以. 故答案为：垂直. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．如图，在直三棱柱中，，，．    (1)求异面直线与的距离； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明平面，然后取中点，可得即为异面直线与的距离； （2）由（1）可知，证明，则即为所求角，求余弦值即可． 【详解】（1），，，，即． 平面，平面，, 又，平面． 平面． 取的中点，连接，如图所示，   平面，则， 又，为等腰三角形， ， 即为异面直线与的距离． ， ∴． （2）连接，如图所示，    由（1）可知． 又，，，， ． 为等边三角形，， 则即为二面角的平面角． ，，， ． ∴二面角的余弦值为． 16．如图所示，点是边长为2的等边三角形所在平面外一点，，.求:    (1)二面角的余弦值； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作出辅助线，找到二面角的平面角，求出所需线段长度，代入余弦定理即可得解. （2）根据棱锥的体积公式，利用等体积法即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，，    在中，，所以，同理， 所以为二面角的平面角， 在中，，故，同理， 在中，由余弦定理，得 （2）由（）可知，所以平面， 设到平面的距离为，根据三棱锥体积相等，得， 即， 在中，，则， 所以，， 所以，解得. 17．如图所示，在长方体中，底面是边长为1的正方形，高为2，求： (1)点到直线的距离； (2)二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，连接，由线面垂直证明线线垂直可得，则的长就是点到的距离，根据等面积求出的值，利用勾股定理即可求出的值. （2）由二面角的定义可知就是二面角的平面角，利用直角三角形中的正切定义即可求解. 【详解】（1）过点作于点，连接， 在长方体中， 平面，又平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 即的长就是点到的距离， 在中，， 由三角形面积相等得：， 在中，， 所以， 即点到的距离为. （2）由（1）知， 所以就是二面角的平面角， 在中，. 18．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明． 【详解】∵、分别是、的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面, ∵，平面，平面， ∴平面平面． 试卷第10页，共10页 试卷第7页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $