第57卷 平面与平面的位置关系（教师讲解卷）-2027年河北省对口升学《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 《平面与平面的位置关系》专项训练采用“讲练结合”模式，通过选择、填空、解答题系统覆盖位置关系判定、二面角计算等核心考点，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|考查面面平行/垂直判定、二面角余弦值、充要条件|从位置关系概念到判定定理，构建“概念-判定-性质”逻辑链| |填空|4题|涉及折叠问题、距离计算、二面角正切值|结合几何直观，强化性质定理应用| |解答|4题|面面平行证明、二面角及体积计算|通过多面体情境，实现从推理到运算的综合应用|

编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第57卷 平面与平面的位置关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如图所示，设 分别是长方体的棱，，，的中点，则平面与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理，证明平面和平面，再由面面平行判定定理证明平面平面即可求解. 【详解】因为分别是的中点， 且在长方体中且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形 所以. 因为平面，平面， 所以平面. 同理，平面. 又因为，平面，平面， 所以平面平面. 故选：A. 2．已知矩形所在的平面，图中相互垂直的平面有（     ）    A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】D 【分析】直接利用面面垂直的判定定理判断即利用题目中的条件找出线面垂直即可． 【详解】∵矩形所在的平面，且面，面， ∴面面，面面， ∵四边形为矩形，∴，， ∵矩形所在的平面，平面，∴，， ∵，，，面，∴面， ∵面，∴面面， ∵，，，面，∴面， ∵∵面，∴面面， ∵，面，∴面， ∵面，∴面面. 综上，相互垂直的平面有对. 故选：. 3．在正方体中，平面与平面所成二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，结合正方体的性质得出为平面与平面所成二面角的夹角，在中运用余弦定理求解即可． 【详解】如图：取中的，连接，，，，    ∵在正方体中，设棱长为， ∴， 根据正方体的几何性质得出平面， ， ∵平面， ∴， ∴， ∵平面，平面； 平面，平面， ∴平面，平面， 又∵平面，平面， ∴， ∴为平面与平面所成二面角的夹角， ∴ 在中，. 故选：. 4．若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（ ） A．相交 B．平行 C．在内 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质即可得解. 【详解】若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是平行， 故选：B. 5．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的是（      ） ①面面 ②面面 ③面面 ④面面． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】由于，由垂直于正方形所在平面，所以. 因为平面， 所以平面，则平面平面； 又，故平面，则平面平面． 故选：A. 6．给出如下命题：①若，则②若，则③若，则.其中正确的命题是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据面面平行，和面面垂直的判定定理结合图形逐个分析即可. 【详解】若，则，故①正确， 若，则，故②正确， 若，则或与相交，故③不正确， ， 所以正确的有①②， 故选：A. 7．设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【答案】B 【分析】利用平面与平面平行的判定定理、充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A， 内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，与可能相交，故A错误； 对于B，由平面与平面平行的判定定理得， 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行， 反之，如果，则内任意一条直线都与平行， 则内有两条相交直线与平行，故互为充要条件，故B正确； 对于C，当，平行于同一条直线，与可能相交，也可能平行，故C错误； 对于D，当，垂直于同一平面，与可能相交，也可能平行，故D错误. 故选：B 8．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角的大小是（   ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】A 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到相关线段的关系，再结合二面角的定义和已知条件求出二面角的大小. 【详解】设在等腰直线中，， 则，， 等腰三角形斜边上的高， ，，是二面角的平面角， 如图，连接，因为，即， 得到，， 二面角的大小是90°． 故选：A. 9．在三棱锥中，，，则有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】首先由线面垂直的判定定理，证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】在三棱锥中，，， 因为平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确， 故选：B. 10．设为两个平面，则的充要条件是（ ） A．平行于同一个平面 B．垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 【答案】D 【分析】根据面面垂直的判定及性质定理即可判断. 【详解】平行于同一个平面时，则，故A错误； 垂直于同一个平面时，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，故B错误； 内一条直线垂直于内一条直线，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，故C错误； 内存在一条直线垂直于，则，反之也成立，故D正确. 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．平面平面，，且，则和的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据线面平行的性质得出，再由面面垂直的性质即可解答. 【详解】设， 因为，且，所以， 又因为，所以， 因为平面平面，且，，， 所以. 故答案为：. 12．若的二面角的一个面上一点到另一个面的距离是，则这个点到棱的距离是___________． 【答案】 【分析】先作出图形，再根据线面垂直的判定与性质找出二面角的平面角，再根据直角三角形三角函数的定义求解. 【详解】 如图所示，点是二面角中平面内一点， ,交于点,平面，交于点. 因为平面，平面，平面. 所以. 因为.所以平面. 因为平面.所以. 所以为二面角的平面角.所以. 因为.所以. 因为. 所以. 故答案为：. 13．在菱形中，，，现将其沿对角线折成直二面角（如图），则______. 【答案】 【分析】取中点，连接，，根据直二面角的定义得出，结合勾股定理即可得解. 【详解】 取中点，连接，， 因为四边形为菱形，所以，， 将菱形沿对角线折成直二面角，则为二面角的平面角即， 因为即菱形的边长为，且，所以， 在中，， 故答案为：. 14．在正方体中，二面角平面角的正切值为_________. 【答案】 【分析】根据二面角的定义，结合题意，二面角的平面角为，解直角三角形即可求解. 【详解】如图    取的中点，连接， 在正方体中，可知， 所以，所以二面角的平面角为， 设正方体的棱长为2，所以， 所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明． 【详解】∵、分别是、的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面, ∵，平面，平面， ∴平面平面． 16．如图三棱锥中，平面平面，，，，且与平面所成的角为，求二面角的正切值.    【答案】2 【分析】过点在平面内作于，过点在平面内作于，连接，可得即直线与平面所成的角，结合已知可证得即二面角的平面角，解，和可得答案． 【详解】过点在平面内作于，过点在平面内作于，连接，    又∵平面平面，且平面平面， ∴平面， ∴即直线与平面所成的角，∴， ∵平面，平面，∴， ∴在中，由得：， 又∵，且，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴即二面角的平面角， 又∵中，，知，， ∴在中：． ∴在中：， 即二面角的正切值为． 17．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱平面，且，求： (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的判定定理和性质定理及菱形的性质，易证是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1） 如图，连接，交于O，连接， 因为底面是边长为2的菱形， 所以, 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以是二面角的平面角， 因为， 因为， 所以, 所以， 在中，， 所以， 即二面角的大小为； （2）由题意，,, 所以， 所以三棱锥的体积. 18．如图所示，在四棱锥中，已知底面为正方形，底面，，与底面所成的角为．求：    (1)二面角的正切值； (2)该四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，连接，交于O，连接，结合线面垂直的性质定理和判定定理，及二面角的定义，易判断即是二面角的大小，结合线面角的定义，及解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，先求得底面的边长，继而求得底面的面积，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）    连接，交于O，连接， 因为底面，底面， 所以， 又底面为正方形，所以, 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以即是二面角的大小， 因为底面， 所以是与底面所成的角，即, 所以，, 所以， 即二面角的正切值为； （2）因为底面为正方形，， 所以正方形的边长， 因为底面，所以， 所以四棱锥的体积. 试卷第10页，共10页 试卷第4页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第57卷 平面与平面的位置关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如图所示，设 分别是长方体的棱，，，的中点，则平面与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 2．已知矩形所在的平面，图中相互垂直的平面有（     ）    A．对 B．对 C．对 D．对 3．在正方体中，平面与平面所成二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（ ） A．相交 B．平行 C．在内 D．无法判定 5．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的是（      ） ①面面 ②面面 ③面面 ④面面． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．给出如下命题：①若，则②若，则③若，则.其中正确的命题是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 7．设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 8．如图所示，将等腰直角沿斜边上的高折成一个二面角，此时，那么这个二面角的大小是（   ） A．90° B．60° C．45° D．30° 9．在三棱锥中，，，则有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 10．设为两个平面，则的充要条件是（ ） A．平行于同一个平面 B．垂直于同一个平面 C．内一条直线垂直于内一条直线 D．内存在一条直线垂直于 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．平面平面，，且，则和的位置关系是________． 12．若的二面角的一个面上一点到另一个面的距离是，则这个点到棱的距离是___________． 13．在菱形中，，，现将其沿对角线折成直二面角（如图），则______. 14．在正方体中，二面角平面角的正切值为_________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    16．如图三棱锥中，平面平面，，，，且与平面所成的角为，求二面角的正切值.    17．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱平面，且，求： (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积． 18．如图所示，在四棱锥中，已知底面为正方形，底面，，与底面所成的角为．求：    (1)二面角的正切值； (2)该四棱锥的体积． 试卷第10页，共10页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $