第53卷 空间中两条直线的位置关系（教师讲解卷）-2027年河北省对口升学《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦空间直线位置关系，通过选择、填空、解答题递进设计，强化平面确定公理、线线位置判断及异面直线所成角计算的逻辑链，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|选择1-2|平面确定条件判断|从平面确定公理切入，构建空间几何基础| |位置关系判断|选择3-7、填空11|线线平行/相交/异面辨析|结合空间四边形、正方体模型，理解位置关系本质| |异面直线所成角|选择8-10、填空13、解答15(1)16(1)18(2)|结合正方体/正三棱柱计算|从定义到几何法（平移）求角，培养推理意识| |综合应用|解答15(2)16(2)17-18|体积计算与图形判断|综合空间几何知识，提升应用能力|

编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第53卷 空间中两条直线的位置关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列说法错误的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 2．下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 3．已知空间中三条直线a，b，c与平面分别交于不同的三点A，B，C，则“，，三点共线”是“直线a，b，c共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．在空间中，平行于同一条直线的两条直线一定（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 6．设是正方体的一条棱，则这个正方体中与平行的棱共有（    ）. A．条 B．条 C．条 D．条 7．在空间四边形中，如果、分别是、上的点，且，、分别是、的中点，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．菱形 8．在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（   ）    A． B． C． D． 9．如图所示，正方体中，直线与的位置关系是（   ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 10．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．空间中的四条直线若则直线的位置关系为_____________. 12．已知，则______． 13．正方体中， （1）异面直线与所成角的大小为________； （2）异面直线与所成角的大小为________； （3）异面直线和所成角的大小为________． 14．正方体的棱与体对角线所成角的正切值为______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 16．在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 17．已知空间四边形（如图）中，分别为的中点，且．判断四边形是什么图形．为什么？ 18．如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 试卷第10页，共10页 试卷第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第53卷 空间中两条直线的位置关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列说法错误的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】A 【分析】根据平面的性质即可求解. 【详解】对于ABCD，由平面的基本性质可得，由不共线的三个点可以确定一个平面， 一条直线和直线外一个点可以确定一个平面，两条相交直线确定一个平面， 两条平行直线确定一个平面，故A错误，BCD正确. 故选：A. 2．下列条件中，能够确定一个平面的是（ ）． A．两个点； B．三个点； C．两条相交直线 D．一条直线和一个点 【答案】C 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；两条相交直线能确定一个平面，可判断C；若点在直线上，则不能确定一个平面，可判断D. 【详解】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面，A错误； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B错误； 对于C，两条相交直线能确定一个平面，故C正确； 对于D，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故D错误. 故选：C. 3．已知空间中三条直线a，b，c与平面分别交于不同的三点A，B，C，则“，，三点共线”是“直线a，b，c共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】    如图所述，空间中三条直线分别于平面交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面，故充分性不成立； 若共面，设该平面为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面的交线上，所以三点共线，故必要性成立， 所以“，，三点共线”是“直线a，b，c共面”的必要不充分条件， 故选：. 4．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相交直线与平行直线的概念判断①与②，根据中位线的性质可证明③④. 【详解】①连接，如图，    根据两条相交直线确定一个平面可知，若与是相交直线， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故①错误； ②根据两条平行直线确定一个平面可知，若， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故②错误； ③∵点E，F，G，H分别是边，，，的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴且，且， ∴，故③正确； ④由③可知，且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形，故④正确， 则结论正确的是③④，正确的个数是2个. 故选：B. 5．在空间中，平行于同一条直线的两条直线一定（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 【答案】A 【分析】根据平行公理求解即可. 【详解】根据公理4，平行于同一条直线的两条直线是平行的. 所以平行于同一条直线的两条直线一定平行. 故选：A. 6．设是正方体的一条棱，则这个正方体中与平行的棱共有（    ）. A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】由正方体的结构特征即可得解. 【详解】如图所示，由于正方体的各个面都是正方形，    则有， 由平行公理得， 所以正方体中与平行的棱有，共3条. 故选：C. 7．在空间四边形中，如果、分别是、上的点，且，、分别是、的中点，那么四边形是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．矩形 D．菱形 【答案】B 【分析】根据线线平行可证明，即可证明四边形的形状. 【详解】因为，所以，且， 又因为，分别是、的中点，所以，且， 于是，但，即四边形是梯形. 故选：B. 8．在正方体中，中点为，中点为，求异面直线与所成角的大小（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出为异面直线与所成角，结合全等三角形，直角三角形的性质即可求解. 【详解】取中点，连接，，    则， 在正方体中，， 所以， 则四边形为平行四边形，所以， 则或其补角为异面直线与所成角，且， 因为， 所以， 则， 所以， 在三角形中，所以， 即异面直线与所成角的大小为. 故选：D. 9．如图所示，正方体中，直线与的位置关系是（   ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念即可解答. 【详解】在正方体中， 平面，而平面， 且， 所以直线与的位置关系是异面， 故选：C. 10．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的性质找出异面直线与所成的角，即可求解. 【详解】在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 因为为正方形，为对角线， 所以，即异面直线与所成的角为. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．空间中的四条直线若则直线的位置关系为_____________. 【答案】平行 【分析】根据平行线之间的传递性求解即可. 【详解】若空间中的四条直线且， 则，进而. 则直线的位置关系为平行. 故答案为：平行. 12．已知，则______． 【答案】或 【分析】根据等角定理求解即可. 【详解】因为，由等角定理知，所以与相等或互补， 所以或. 故答案为：或. 13．正方体中， （1）异面直线与所成角的大小为________； （2）异面直线与所成角的大小为________； （3）异面直线和所成角的大小为________． 【答案】 【分析】运用平移法找出异面直线所成的角度即可. 【详解】异面直线与所成角即为； 异面直线与所成角即为; 异面直线和所成角，由于面对角线， 则为等边三角形，则.则异面直线和所成角大小为. 故答案为：. 14．正方体的棱与体对角线所成角的正切值为______． 【答案】 【分析】根据正方体中的直线关系确定所成角的正切值即可； 【详解】如图，由正方体的对称性可知，体对角线与正方体的八条棱所成的角都相等，    现仅以与所成的角为例来求解． 在正方体中，因，故即与所成的角（或其补角）． 因平面，平面，则， 在中，， 即正方体的棱与体对角线所成角的正切值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异面直线所成的角的定义结合正方体的结构特征即可求解. （2）根据正方体的结构特征结合正方体对角线的概念即可求解. 【详解】（1）因为，所以为异面直线与所成的角． 在等腰直角中，， 所以异面直线与所成的角的大小是． （2）由正方体的体对角线公式得 ， 故该正方体的体对角线的长为． 16．在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的余弦值后可求异面直线与所成角的余弦值； （2）利用等积法可求三棱锥的体积. 【详解】（1） 因为，故或其补角为异面直线与所成角的余弦值， 因为平面平面，所以， 而，，故， 故异面直线所成的角为. （2）. 17．已知空间四边形（如图）中，分别为的中点，且．判断四边形是什么图形．为什么？ 【答案】四边形是矩形，理由见详解 【分析】先由中位线的性质证明四边形为平行四边形，再由一个内角为直角可证明四边形为矩形. 【详解】因为分别为的中点， 所以为的中位线， 即且， 又因为分别为的中点， 所以为的中位线， 即且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 又因为， 所以四边形为矩形. 18．如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点． (1)求该三棱柱的侧面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)12. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用三棱柱的侧面积公式求解. （2）取AC中点E，连结DE，，利用几何法求出异面直线夹角. 【详解】（1）由正三棱柱的各棱长均为2， 得该三棱柱的侧面积. （2）取AC中点E，连结DE，， 由D为棱BC的中点，得，， 则是异面直线AB与所成角(或其补角)，， . 试卷第10页，共10页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $