第51卷 简单几何体（教师讲解卷）-2027年河北省对口升学《数学考点双析卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 讲练结合的“考点双析”模式，系统覆盖简单几何体的概念、表面积体积计算及三视图，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-4、9题|几何体类型判断、性质辨析|从基本几何体定义到性质特征，构建概念体系| |空间量计算|选择5-8、10，填空11-13|表面积、体积、体对角线、外接球计算|以公式为核心，推导空间量关系，培养运算能力| |组合体应用|解答15-17题|熔化铸体、正四棱锥、组合体表面积体积|综合基本几何体知识，提升几何直观与应用意识| |三视图绘制|解答18题|几何体三视图作图|从空间形态到平面表示，发展空间观念|

编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第51卷 简单几何体 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．底面边长和高都是1的正三棱柱的表面积是（    ）． A．3 B． C． D． 2．若正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（   ） A．48 B． C． D． 3．如图所示，下列四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是四棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④是四棱柱 4．如果一个几何体的三视图分别由两个三角形和一个矩形组成，那么这个几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 5．一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则以长直角边为轴旋转一周所围成几何体的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 7．长方体的体对角线长为，一个面上相邻两边长为3和5，长方体的表面积为（    ） A．60 B．47 C．94 D．120 8．正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，则这个正三棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 9．关于棱锥的性质正确的是（    ）. A．正棱锥的底面是正方形，且顶点在底面中心的棱锥. B．棱锥的侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形. C．棱锥的所有棱长相等. D．棱锥的高与斜高是不相同的概念. 10．已知一个正方体的内切球的体积为，则正方体的表面积是（    ） A．36 B．72 C．162 D．216 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知从长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6，则其体对角线的长为______. 12．一个正四棱柱的底面边长与侧棱长的比是 2：3，且该正四棱柱的表面积为512cm2，它的体积是______cm³. 13．表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为__________． 14．有下列说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的直径是球面上任意两点间的连线； ③半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球． 其中正确说法的序号是_____________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），求铸成后的铜块的棱长. 16．如图，正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为8，求这个棱锥的高及斜高.    17．如图，某组合体是由正方体与正四棱锥组成，已知，且． (1)求该组合体的体积； (2)求该组合体的表面积. 18．画出如图所示的几何体的三视图.    试卷第10页，共10页 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河北对口升学《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河北省对口升学《数学考点双析卷》 第51卷 简单几何体 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．底面边长和高都是1的正三棱柱的表面积是（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正三棱柱侧面积公式可直接求得. 【详解】因为底面边长和高都为1. 所以底面面积为. 所以正三棱柱的表面积. 故选：D. 2．若正方体的表面积为，则正方体外接球的表面积为（   ） A．48 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意求出正方体的体对角线长，进而得到正方体外接球的半径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】设正方体的棱长为．由题意得，解得， 所以正方体的体对角线，故正方体外接球的半径， 因此外接球的表面积． 故选：B. 3．如图所示，下列四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是四棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④是四棱柱 【答案】C 【分析】根据几何体判断即可 【详解】A选项：侧棱不交于一点，故①不是四棱台，A错误； B选项：上下底面不平行，故②不是圆台，B错误； C选项：是三棱锥，故C正确； D选项：是五棱柱，故D错误， 故选：. 4．如果一个几何体的三视图分别由两个三角形和一个矩形组成，那么这个几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【分析】三视图中主视图,左视图,俯视图是分别从物体正面,左面和上面看,所得到的图形,依据图形特点予以分析判断. 【详解】已知几何体的三视图分别由两个三角形和一个矩形组成，说明该几何体是棱锥. 三棱锥的三视图都是三角形；四棱锥的三视图两个三角形，一个四边形； 三棱柱的三视图一个三角形，两个是四边形；四棱柱的三视图都是四边形. 故选：B. 5．一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则以长直角边为轴旋转一周所围成几何体的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】∵以长直角边为轴旋转一周所围成几何体为圆锥， 由此可知该圆锥的底面圆半径为3，高为4， ∴该圆锥的母线为， ∴该几何体的侧面积为. 故选：B. 6．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三视图可知其原图形为圆锥，再利用圆锥的体积公式即可得解. 【详解】由三视图可知其原图形为圆锥， 其底面圆的直径为4，母线为4， 所以底面圆的半径为2，高为， 所以圆锥的体积为. 故选：D. 7．长方体的体对角线长为，一个面上相邻两边长为3和5，长方体的表面积为（    ） A．60 B．47 C．94 D．120 【答案】C 【分析】根据长方体的结构特征长表面积公式即可求解. 【详解】因为长方体的一个面上相邻两边长为3和5， 设正方体另一条棱长为, 所以长方体的对角线为， 解得， 则长方体的表面积为. 故选：C. 8．正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，则这个正三棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正三棱柱的结构特征，计算侧面积. 【详解】正三棱柱的侧面积为， 故选：A. 9．关于棱锥的性质正确的是（    ）. A．正棱锥的底面是正方形，且顶点在底面中心的棱锥. B．棱锥的侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形. C．棱锥的所有棱长相等. D．棱锥的高与斜高是不相同的概念. 【答案】D 【分析】根据棱锥的性质解题. 【详解】对于选项A：正棱锥的底面是正多方形，且顶点在底面中心的棱锥，故选项A说法错误； 对于选项B：正棱锥的侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，故选项B错误； 对于选项C：棱锥的所有棱长不一定相等，故选项C错误； 对于选项D：棱锥的高是顶点到底面的垂直距离，斜高是斜高是侧面三角形的高，故选项D正确. 故选：D. 10．已知一个正方体的内切球的体积为，则正方体的表面积是（    ） A．36 B．72 C．162 D．216 【答案】D 【分析】由正方体的内切球的体积可求正方体的棱长，即可求解正方体表面积. 【详解】设正方体的棱长为a，内切球的半径为r， 因为正方体的内切球的体积为， 所以，解得， 又因为内切球的直径为正方体的棱长，即， 所以正方体的表面积为. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知从长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6，则其体对角线的长为______. 【答案】7 【分析】由长方体的特征求其体对角线即可. 【详解】长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，6， 则其体对角线长为. 故答案为：. 12．一个正四棱柱的底面边长与侧棱长的比是 2：3，且该正四棱柱的表面积为512cm2，它的体积是______cm³. 【答案】768 【分析】根据题意设出棱长与侧棱长，结合棱柱的表面积公式及体积公式即可得解. 【详解】一个正四棱柱的底面边长与侧棱长的比是 2：3， 设底面边长为cm，则侧棱长为cm， 正四棱柱表面积，即， 解得，所以底面边长为，侧棱长为， 所以体积， 故答案为：. 13．表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为__________． 【答案】 【分析】根据正方体的对称性，球的对称性，球的体积公式即可求解. 【详解】 设正方体的棱长为a，则，得. 设球的半径为R，则正方体得体对角线即为外接球的直径. 所以，即. 所以. 故答案为：. 14．有下列说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的直径是球面上任意两点间的连线； ③半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球． 其中正确说法的序号是_____________． 【答案】①③ 【分析】根据球的知识确定正确的说法. 【详解】①，球的半径是球面上任意一点与球心的连线，正确； ②，球的直径是球面上任意两点间的连线，错误，因为球的直径是最长的弦； ③，半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球，正确. 故答案为：①③ 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），求铸成后的铜块的棱长. 【答案】 【分析】长方体形铜块的体积等于正方体形铜块的体积，再结合长方体与正方体的体积公式求解即可得解. 【详解】由题意可得，长方体形铜块的体积等于正方体形铜块的体积， 设正方体形铜块的棱长为， 则， 解得， 故铸成后的铜块的棱长为4. 16．如图，正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为8，求这个棱锥的高及斜高.    【答案】棱锥的高，斜高 【分析】根据正四棱锥的性质，利用勾股定理分别求出棱锥的高及斜高. 【详解】因为四棱锥是正四棱锥， 所以底面是正方形，为正方形的中心. 已知底面边长，可得， 又因为侧棱长，且， 所以， 因为为中点，所以， 又因为，可得. 综上，棱锥的高，斜高. 17．如图，某组合体是由正方体与正四棱锥组成，已知，且． (1)求该组合体的体积； (2)求该组合体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接、交于点，连接，取的中点，连接、，求出，再根据锥体的体积公式及柱体的体积公式计算可得； （2）求出正四棱锥的斜高，再根据表面积公式计算可得. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接、交于点，连接，取的中点，连接、， 因为，且，则， 所以，所以， 所以，所以， 又正方体的体积， 所以. （2）由（1）可知，所以， 所以， 所以. 18．画出如图所示的几何体的三视图.    【答案】作图见解析 【分析】根据三视图的概念和基本要求完成即可. 【详解】如图所示    试卷第10页，共10页 试卷第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $