第7章 第34讲 基本立体图形及几何体的表面积与体积（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何专题，覆盖基本立体图形结构特征、表面积与体积计算、直观图斜二测画法、最短路径及球的切接等核心考点，对接高考评价体系，分析体积计算、球的截面等高频考点权重，归纳选择填空及解答题常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题深度融入与应试技巧指导，如以2024新高考Ⅰ卷圆柱圆锥体积题为例，通过“公式法+几何关系”突破计算，以最短路径问题展示“化曲为直”思维，培养学生空间观念与几何直观。教师可依托题型分类与真题解析，帮助学生掌握得分技巧，高效冲刺高考。

第七章 立体几何 第34讲　基本立体图形及几何体的表面积与体积 1 知识梳理　体系构建 1．将一个正方体切一刀，可能得到的以下几何体中的种类数为 (　　) ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体． A．3种　　　　B．4种　　　　C．5种　　　　D．以上均不正确 【解析】 　　　　如图(1)，平面A1EF截正方体，可得到四面体A1-AEF；如图(2)，平面EFGH截正方体，可得到四棱柱ADHE-A1D1GF；如图(3)，平面EFGH截正方体，可得到五棱柱ABB1FE-DCC1GH，也是七面体． B 图(1) 图(2) 图(3) 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 D 激活思维 知识梳理　体系构建 【解析】 B 激活思维 知识梳理　体系构建 4．(教材经典题)当一个球的半径为____时，其体积和表面积的数值相等． 【解析】 3 激活思维 知识梳理　体系构建 5．(教材经典题改编)如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝16.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面高为_____． 【解析】 又当底面ABC水平放置时，水的体积为V′＝S△ABC·h＝ah，于是ah＝12a，解得h＝12，所以当底面ABC水平放置时，液面高为12. 12 激活思维 知识梳理　体系构建 1．直观图的斜二测画法 (1) 原图形中，x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为___________，z′轴与x′轴、y′轴所在平面_______． (2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的_______． (3) 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图面积与原图形面积的关系： 45°(或135°) 垂直 一半 聚焦知识 知识梳理　体系构建 2．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点， 但不一定相等 延长线 交于一点 聚焦知识 知识梳理　体系构建 说明：多面体的表面积是各个面的面积的和． 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧面 形状 _____________ _________ _______ 体积公式 V＝_____ V＝_______ V＝_______________________ 平行四边形 三角形 梯形 Sh 聚焦知识 知识梳理　体系构建 3．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点   轴截面 _______ _____________ ___________ 圆面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 聚焦知识 知识梳理　体系构建 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图   侧面积公式 S圆柱侧＝_______ S圆锥侧＝______ S圆台侧＝_____________ S球＝_______ 体积 公式 V圆柱＝_____ V圆锥＝_______ V圆台＝ ____________________ V球＝________ 2πrl πrl π(r1＋r2)l 4πR2 Sh 聚焦知识 知识梳理　体系构建 4．重要结论 (1) 四棱柱、四面体的结构特征及关系 聚焦知识 知识梳理　体系构建 聚焦知识 知识梳理　体系构建 题型突破　能力进阶 目标 1 基本立体图形 视角1　结构特征 　　　　　下列说法正确的是 (　　) A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 【解析】 　　　　A不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥；C错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；由棱台的定义知，棱台各侧棱的延长线交于一点，D正确． D 1－1 举题说法 题型突破　能力进阶 识别空间几何体的两种方法 (1) 定义法：紧扣定义，由已知条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定． (2) 反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可． 总 结 提 炼 变式1-1　(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是 (　　) A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．长方体是直平行六面体 C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 【解析】 　　　　对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误；易知B正确； 对于C，如图(1)，下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误； 图(1) 举题说法 题型突破　能力进阶 D中，如图(2)，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形，故D正确． 【答案】BD 图(2) 举题说法 题型突破　能力进阶 视角2　直观图 　　　　　已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的面积为 (　　) 1－2 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 【答案】B 举题说法 题型突破　能力进阶 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 总 结 提 炼 变式1-2　如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是 (　　) A．AB＝2 【解析】 D 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 1－3 A 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　　　(2) 如图，圆台的母线AB的长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点B，则这条绳长的最小值为_____cm. 1－3 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 图(1) 图(2) 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】50 图(1) 图(2) 举题说法 题型突破　能力进阶 最短路径问题的解题策略 (1) 解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面； (2) 方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题的关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解． 总 结 提 炼 变式1-3　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，高为5，从点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线长度为_____． 【解析】 13 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 2 多面体的表面积与体积 2 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】B 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2) (2025·漳州一模)在正四棱锥P-A1B1C1D1中，PB1⊥PD1.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体ABCD-A1B1C1D1，若AB＝1，A1B1＝2，则几何体ABCD-A1B1C1D1的体积为 (　　) 【解析】 2 举题说法 题型突破　能力进阶 【答案】C 举题说法 题型突破　能力进阶 变式2　(2024·天津卷)如图，已知五面体ABC-DEF中，AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1.已知AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为 (　　) 【解析】 　　　　用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，N；E，M；F，L重合． C 举题说法 题型突破　能力进阶 目标 3 旋转体的表面积与体积 3 【解析】 A 举题说法 题型突破　能力进阶 3 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 【答案】B 举题说法 题型突破　能力进阶 【解析】 C 举题说法 题型突破　能力进阶 微探究 球的截面与交线问题 　　　(1) (2025·秦皇岛三模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在球O的表面 上，若球O的表面积为12π，则平面C1BD截球O所得的截面面积为_____． 4 【解析】 举题说法 题型突破　能力进阶 　　　(2) 已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，则以D1为球心、半径为2的球面与侧面BCC1B1的交线的长度为_____． 【解析】 　　　　如图，连接D1B1.因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，所以C1D1＝2，B1C1＝1，∠B1C1D1＝60°. 4 举题说法 题型突破　能力进阶 举题说法 题型突破　能力进阶 球的截面圆问题 (1) 球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面； (2) 球心到截面的距离d、球的半径R及截面圆的半径r之间满足勾股定理． 总 结 提 炼 【解析】 B 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 　　　　设上、下底面半径和母线长分别为r1＝1，r2＝3，l＝4.对于A，圆台的侧面积S＝πl(r1＋r2)＝π×4×(1＋3)＝16π，故A正确． 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 对于D，因为轴截面两条母线所成角最大，为60°，所以不存在互相垂直的母线，故D错误． 【答案】AC 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，E为棱AB的中点．一个点从E出发，在正方体的表面上依次经过棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA上的点，又回到E，则整个线路的长度的最小值为______. 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 【解析】 随堂内化 题型突破　能力进阶 4 1 2 3 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2025·泉州三检)已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于 (　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 3．(2025·枣庄期末)已知在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝4，AC＝3，AA′＝2，∠BAC＝60°，则直三棱柱ABC-A′B′C′的体积为 (　　) 【解析】 D 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 4．(2025·南通一调)某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为 (　　) 【解析】 A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 5．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝5，E，F，G分别为侧棱BB1，CC1，DD1上一点，则AE＋EF＋FG＋GA1的最小值为 (　　) 【解析】 图(1) 图(2) A 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 C 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 7．(2025·济南一模)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的绝对值为 (　　) A．π　　　　B．2π　　　　　C．4π　　　　D．8π 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 B 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 二、 多项选择题 9．下列说法正确的是 (　　) A．直四棱柱是长方体 B．平行六面体的侧面和底面均为平行四边形 C．棱台的各侧棱延长后必交于一点 D．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 BC 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【答案】ABD 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 图(1) 图(2) 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 12．(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_____． 【解析】 28 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 　　　　DP，PC1分别在平面A1B1CD与平面CB1C1内移动，如图，将平面CB1C1以CB1为轴旋转至平面A1B1CD所在平面，得到B1CC′1，则C′1D即为DP＋PC1的最小值． 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 【解析】 3 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 B组　教材经典回归 15．请用切割法(大圆锥切去小圆锥的方法)推导圆台的体积和侧面积公式． 【解答】 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 4 1 2 3 5 6 10 7 8 9 11 12 13 14 15 配套精练 　　　　方法一：由已知求得O′C′＝，把直观图还原后如图所示，可得原图形为直角梯形，OA∥CB，OA⊥OC，且OA＝1，BC＝2，OC＝2，故原四边形OABC的面积为×(1＋2)×2＝3. 因为PB1⊥PD1，所以在Rt△PB1D1中，a2＋a2＝(2)2，解得a＝2，所以PO1＝＝＝.用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，则几何体ABCD-A1B1C1D1为正四棱台． 连接AC，BD交于点O，则O为PO1的中点，所以OO1＝＝，所以几何体ABCD-A1B1C1D1的体积为×(22＋12＋)×＝. 13．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，CC1＝3，若P为线段B1C上的动点，则DP＋PC1的最小值为_____． $