第6章 微专题7 重构数列问题（PPT课件）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦数列重构问题，覆盖公共项、增减项、计数数列等高考核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，归纳等差数列与等比数列公共项、插入项求和等常考题型，构建系统备考框架，体现针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养提升”策略，如以2025杭州期末增减项问题为例，详解分组求和技巧，培养学生推理能力与模型观念。设“方法总结库”和“易错警示”，助力学生掌握答题技巧，教师可精准教学，高效冲刺高考。

第六章 微专题7　重构数列问题 数列 1 视角 1 公共项问题 　　　(1) 设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列{bn}，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2 027，n∈N*}中元素的个数为 (　　) A．167　　　　B．168　　　　C．169　　　　D．170 1 【解析】 C 【解析】 1 3×241 　　　(3) 将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝ (　　) A．237　　　　B．238　　　　C．239　　　　D．240 【解析】 　　　　数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…，经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n－1}中的项，即2，8，32，128，…可以写成3n－1的形式，观察归纳可得an＝22n-1，所以a20＝22×20-1＝239. C 1 处理两个数列的公共项问题的两种方法 (1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式． (2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 特别地，两个等差数列的公共项构成等差数列，公差是原来两个公差的最小公倍数；公比分别为qm1和qm2的两个等比数列，公共项构成等比数列，公比为qm(m为m1和m2的最小公倍数). 总 结 提 炼 变式1　已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 变式1　(2) 已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 【解答】 视角 2 增减项问题 　　　(2025·杭州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3. (1) 求数列{an}的通项公式； 2 【解答】 　　　　由an＋1＝2Sn＋3，得n≥2时，an＝2Sn－1＋3，两式相减得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2).又{an}是等比数列，所以q＝3.当n＝1时，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝3a1，解得a1＝3，所以an＝3n. 　　　(2025·杭州期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝2Sn＋3. (2) 在数列{an}的相邻项ak与ak＋1(k∈N*)之间插入k个相同的数(－1)k，使其与原数列构成新数列{bn}，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T40. 【解答】 2 对于增加项或减少项数列问题，弄清插入(或减少)的项数及插入(或减少)的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法即可求解． 总 结 提 炼 变式2　(2025·广州三模)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列． (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式； 【解答】 变式2　(2025·广州三模)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列． (2) 令cn＝3an，去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*)，余下的项顺序不变，构成新数列{tn}，写出数列{tn}的前4项，并求{tn}的前2n项和S2n. 【解答】 视角 3 计数数列 　　　(2025·天津二模节选)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，d∈N*，q∈N*，2a3＋a2＝b3，a3－a2＝b1，a1＝b1＋1. 3 【解答】 　　　(2025·天津二模节选)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，d∈N*，q∈N*，2a3＋a2＝b3，a3－a2＝b1，a1＝b1＋1. (2) 记{an}落在区间(bk，bk＋1)之内的项的个数为{ck}，k∈N*，求c1，c2及数列{ck}的通项公式． 3 【解答】 　　　　因为(b1，b2)＝(3，9)，a1＝4，a2＝7，所以c1＝2.因为(b2，b3)＝(9，27)，所以b2<an<b3即为9<3n＋1<27⇔8<3n<26⇔9≤3n≤24⇔3≤n≤8，所以c2＝8－3＋1＝6. 因为(bk，bk＋1)＝(3k，3k+1)，所以bk<an<bk＋1即为3k<3n＋1<3k+1⇔3k－1<3n<3k+1－1⇔3k≤3n≤3k+1－3，所以3k-1≤n≤3k－1，所以ck＝3k－1－3k-1＋1＝3k－3k-1＝2×3k-1，所以数列{ck}的通项公式为ck＝2×3k-1. 配套精练 1．已知数列{an}，{bn}满足an＝2n－1，bn＝3n－2，由这两个数列的公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为 (　　) A．cn＝3n－2　　　　B．cn＝4n－1　　　　C．cn＝5n－3　　　　D．cn＝6n－5 【解析】 　　　　因为数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，所以这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1，公差为6的等差数列，故cn＝1＋(n－1)×6＝6n－5. D 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 2．(多选)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝6，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，下列说法正确的有 (　　) A．an＝6n－5 B．当k＝2时，bn＝2n－1 C．当k＝2时，b19不是数列{an}中的项 D．若b8是数列{an}中的项，则k的值可能为6 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 【解析】 　　　　对于A，an＝1＋6(n－1)＝6n－5，故A正确； 【答案】ABD 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 3．(2025·郑州一模)(多选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则 (　　) A．a1＋a2＋a3＋a4＝26 B．b5＝10 C．a4<b15<a5 D．c1＋c2＋…＋c10＝170 【解析】 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 对于B，bn＝2log2(1＋2n－1)－1＝2n－1，则b5＝2×5－1＝9，故B错误． 对于C，因为a4＝15，b15＝29，a5＝31，所以a4<b15<a5，故C正确． 【答案】ACD 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 4．(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 (　　) A．an＝5n B．an＝5n 【解析】 BC 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 5．(2025·湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则a5＝_____，{an}的前202项和为_________． 【解析】 14 49 609 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 【解析】 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 由于an>0，Sn>0，所以Sn＝2n－1(n≥2)，又S1＝a1＝1也符合上式，故Sn＝2n－1.bn＝2Sn－1＝22n-1－1，b1＝1，b2＝7，b3＝31，b4＝127，b5＝511，{bn}是递增数列， 【答案】2n－1　10 650 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 7．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*). (1) 求{an}的通项公式； 【解答】 　　　　由an＋1＝Sn＋2(n∈N*)，得an＝Sn－1＋2(n≥2)，则an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2).又a2＝S1＋2＝a1＋2＝4，满足an＋1＝2an，所以an＋1＝2an(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n. 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 7．(2025·芜湖二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2(n∈N*). (2) 保持{an}的各项顺序不变，在ak和ak＋1之间插入k个1，使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为Tn，求T55. 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3. (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 　　　　在2Sn＝3an－3①中，令n＝1，得a1＝3.当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3②，①－②得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n. 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3. (2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除掉属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100. 【解答】 　　　　因为bn＝3n，所以数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}的前5项：3，9，27，81，243都在数列{bn}的前105项中，这5项的和为363，数列{bn}的前105项为3，6，9，…，它们的和为105×3＋105×52×3＝16 695. 所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}的前105项和减去3，9，27，81，243的和，故T100＝16 695－363＝16 332. 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 9．(2025·襄阳模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列．给定k∈N*，记集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk. (1) 求b1，b2的值； 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 9．(2025·襄阳模拟)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比数列．给定k∈N*，记集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素个数为bk. (2) 求满足b1＋b2＋…＋bn>2 025的最小自然数n的值． 【解答】 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 配套精练 4 1 2 3 5 6 7 8 9 $