专题22 等差数列的性质与前n项和（讲义）-2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题22 等差数列的性质与前n项和 【复习目标】 1.理解等差数列定义，准确判断数列是否为等差数列，掌握公差d的计算； 2. 熟记等差数列通项公式，熟练利用两项建立方程组求首项、公差； 3.掌握等差数列两个前n项和公式，能已知求； 考点 1 等差数列基础定义与公差 【考点知识回顾】 知识点 1：等差数列定义 一个数列，如果从第2项起，每一项与它前一项的差都等于 ，那么这个数列叫做等差数列。 数学表达式： 常数d叫做数列的公差。 知识点 2：公差d相关要点 公差计算：； d取值对应的数列类型： d>0： ； d=0： （特殊等差数列）； d<0： ； 易错提醒：作差必须是后项减前项，顺序颠倒公差符号相反。 知识点 3：等差数列判定方法 定义法：证 常数； 中项法：证 。 【即时训练】 1．已知数列满足，，则（   ）． A．5 B．3 C． D． 2．数列，…的一个通项公式是（    ）； A． B． C． D． 3．数列：3，，9，，（   ），，⋯，按这个数列的规律，括号内的数是（   ） A．15 B． C．16 D． 考点 2 等差数列通项公式（真题核心考点） 【考点知识回顾】 知识点 1：标准通项公式 字母含义： ：首项；d：公差；n：项数；：第n项。 知识点 2：拓展通项推论（跨项计算） 任意两项关系： 用处：已知任意两项可直接求公差，无需先求首项。 知识点 3：已知两项求标准解题步骤 将两项代入通项公式，列出二元一次方程组； 两式相减消去，先算出公差d； 把d代回任意一个方程，求出首项； 如需求指定项，再将、项数代入通项计算。 【即时训练】 1．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ）． A． B． C． D． 2．数列的首项为，，则通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 4．等差数列的前n项和是，则公差（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．数列的前项和，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．已知数列的前n项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 考点 3 等差数列核心性质 【考点知识回顾】 性质 1：等差中项 若三个数成等差数列，则A叫做的等差中项，满足： 推广：等差数列中，任意连续三项满足 。 性质 2：下标和相等定理 在等差数列，则： 特殊推论： 【即时训练】 1．在数列 中，已知 ，，，则 （     ） A．100 B．121 C．102 D．103 2．设是等差数列的前项和，，则公差（    ） A． B． C．1 D． 3．已知在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，已知，则（    ） A．27 B．12 C．6 D．0 5．在等差数列中，，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 6．在等差数列中，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 7．等差数列中，，则（      ） A．130 B．62 C．155 D．47 8．在等差数列中，若，则（   ）． A．20 B．30 C．40 D．50 9．如果等差数列中，，那么（    ） A．14 B．21 C．28 D．35 10．已知无穷等差数列的前n项和为，公差为，若 ，则不正确的（    ） A．数列单调递减 B．数列没有最小值 C．数列{}单调递减 D．数列{}有最大值 考点 4 等差数列前n项和公式（高频必考） 【考点知识回顾】 等差数列前n项和：数列前n项相加总和，记作，两套公式按需选用。 公式 1（已知首项、公差、项数） 适用场景：题目给出，直接求和；已知两个不同前 n 项和，联立方程组求 公式 2（已知首项、末项、项数） 适用场景：已知首尾两项，无需公差快速求和；结合等差下标性质简化计算。 综合题型解法：已知求指定项 分别把m、k代入求和公式 1，得到两个含的方程； 联立二元一次方程组，求解出首项与公差d； 代入通项公式，计算目标项。 【即时训练】 1．在等差数列中，若前项和，则公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在等差数列中，，，则（   ） A．390 B．395 C．400 D．405 3．已知数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列是等差数列，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．24 5．在等差数列中，，则当取得最小值时，（   ）． A．5 B．6 C．7 D．6或7 6．已知等差数列中，，则其前10项为（   ）． A．80 B．90 C．100 D．110 1.（2026·安徽·真题T9）已知等差数列中，的值为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 2.（2025·安徽·真题T10）在等差数列中，若公差，，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．23 3.（2023·安徽·真题T10）在等差数列中，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4.（2022·安徽·真题T21）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝9，S4＝30，则a3＝（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题22 等差数列的性质与前n项和 【复习目标】 1.理解等差数列定义，准确判断数列是否为等差数列，掌握公差d的计算； 2. 熟记等差数列通项公式，熟练利用两项建立方程组求首项、公差； 3.掌握等差数列两个前n项和公式，能已知求； 考点 1 等差数列基础定义与公差 【考点知识回顾】 知识点 1：等差数列定义 一个数列，如果从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 数学表达式： 常数d叫做数列的公差。 知识点 2：公差d相关要点 公差计算：； d取值对应的数列类型： d>0：递增等差数列； d=0：常数列（特殊等差数列）； d<0：递减等差数列； 易错提醒：作差必须是后项减前项，顺序颠倒公差符号相反。 知识点 3：等差数列判定方法 定义法：证常数； 中项法：证。 【即时训练】 1．已知数列满足，，则（   ）． A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. 【详解】数列满足，，， 数列是以3为首项，为公差的等差数列， ． 故选：. 2．数列，…的一个通项公式是（    ）； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断数列为等差数列，求出首项和公差，即可得到通项式. 【详解】观察数列，…发现这是一个等差数列，首项. 根据等差数列的性质，第二项减去第一项，得到公差. 故，. 故选：C. 3．数列：3，，9，，（   ），，⋯，按这个数列的规律，括号内的数是（   ） A．15 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】观察数列中每一个数字绝对值以及符号的规律进行求解. 【详解】这个数列的奇数项均为正数，偶数项均为负数． 又数列3，6，9，12，是等差数列，公差为3， 括号内的数是． 故选：A. 考点 2 等差数列通项公式（真题核心考点） 【考点知识回顾】 知识点 1：标准通项公式 字母含义： ：首项；d：公差；n：项数；：第n项。 知识点 2：拓展通项推论（跨项计算） 任意两项关系： 用处：已知任意两项可直接求公差，无需先求首项。 知识点 3：已知两项求标准解题步骤 将两项代入通项公式，列出二元一次方程组； 两式相减消去，先算出公差d； 把d代回任意一个方程，求出首项； 如需求指定项，再将、项数代入通项计算。 【即时训练】 1．在等差数列中，，，则数列的通项公式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，，得，解得， 所以数列的通项公式为． 故选：B． 2．数列的首项为，，则通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数列的递推公式判断数列类型，再利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】已知，即，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以其通项公式为. 故选：C. 3．已知等差数列的公差为d，它的前n项和，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据，可求出，进一步判断选项即可. 【详解】因为， 所以时， ， 又时， ,符合上式， 故，所以公差. 故选： 4．等差数列的前n项和是，则公差（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由数列中的关系分别求出，进而求公差即可. 【详解】因为等差数列的前n项和是， 所以，， 所以公差. 故选：B. 5．数列的前项和，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据的关系求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6．已知数列的前n项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据通项与前n项和的关系，分与两种情况分别求解即可. 【详解】当时，；当时，，且当时也满足. 故. 故选：D 考点 3 等差数列核心性质 【考点知识回顾】 性质 1：等差中项 若三个数成等差数列，则A叫做的等差中项，满足： 推广：等差数列中，任意连续三项满足。 性质 2：下标和相等定理 在等差数列，则： 特殊推论： 【即时训练】 1．在数列 中，已知 ，，，则 （     ） A．100 B．121 C．102 D．103 【答案】B 【分析】首先解出，进而计算出. 【详解】由 和 ， 解得：， ， 故选：B. 2．设是等差数列的前项和，，则公差（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式和前n项和公式即可求解. 【详解】在等差数列中， ， 根据等差数列通项公式和前n项和公式， 得 故选：D 3．已知在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式列方程求出，再由通项公式求出即可. 【详解】已知为等差数列，设公差为， 由，， 可得， 解得， 则， 故选：A. 4．在等差数列中，已知，则（    ） A．27 B．12 C．6 D．0 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式，可求出首项和公差，进而即可求的值. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，即，解得：， 所以， 故选：D. 5．在等差数列中，，则（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质求解. 【详解】∵是等差数列， ∴根据等差中项可知，，. 而题目已知，，代入得到. ∴. 故选：B. 6．在等差数列中，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 【答案】D 【分析】根据等差中项的应用以及等差数列的前项和的公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 7．等差数列中，，则（      ） A．130 B．62 C．155 D．47 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质和前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 即, 解得. 故选：D. 8．在等差数列中，若，则（   ）． A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前项和公式求解. 【详解】在等差数列中，． 故选：B. 9．如果等差数列中，，那么（    ） A．14 B．21 C．28 D．35 【答案】C 【分析】由等差数列的性质求解． 【详解】在等差数列中 ， . 故选：C 10．已知无穷等差数列的前n项和为，公差为，若 ，则不正确的（    ） A．数列单调递减 B．数列没有最小值 C．数列{}单调递减 D．数列{}有最大值 【答案】C 【分析】根据等差数列的公差即可判断AB,根据的函数特征即可结合二次函数的性质求解CD. 【详解】由于公差，所以单调递减，故A正确，由于为无穷的递减等差数列，所以B正确，由，故为开口向下关于 的二次函数，且对称轴为，由于对称轴与1的关系不明确，所以无法确定单调性，但是由于开口向下，故有最大值，故C错误，D正确， 故选：C 考点 4 等差数列前n项和公式（高频必考） 【考点知识回顾】 等差数列前n项和：数列前n项相加总和，记作，两套公式按需选用。 公式 1（已知首项、公差、项数） 适用场景：题目给出，直接求和；已知两个不同前 n 项和，联立方程组求 公式 2（已知首项、末项、项数） 适用场景：已知首尾两项，无需公差快速求和；结合等差下标性质简化计算。 综合题型解法：已知求指定项 分别把m、k代入求和公式 1，得到两个含的方程； 联立二元一次方程组，求解出首项与公差d； 代入通项公式，计算目标项。 【即时训练】 1．在等差数列中，若前项和，则公差（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据和，求出即可确定公差. 【详解】已知在等差数列中，前项和， 因为，， 所以， 故选：B. 2．在等差数列中，，，则（   ） A．390 B．395 C．400 D．405 【答案】D 【分析】根据等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，， 所以. 故选：D. 3．已知数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出该数列为等差数列并求出公差，再利用之后的条件进一步求出的值. 【详解】由得，数列是公差为的等差数列. 由得，，故，即. 故选：. 4．已知数列是等差数列，且，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，所以也成等差数列， 则，即，解得. 故选：C. 5．在等差数列中，，则当取得最小值时，（   ）． A．5 B．6 C．7 D．6或7 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式和性质即可求解. 【详解】因为在等差数列中，，， 所以， 由，得，又，等差数列单调递增， 所以等差数列的前6项均小于零，第7项等于零，从第8项开始大于零， 故当或时，取得最小值． 故选：D. 6．已知等差数列中，，则其前10项为（   ）． A．80 B．90 C．100 D．110 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质：若，所以，再根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】等差数列中，，， ， . 故选：C. 1.（2026·安徽·真题T9）已知等差数列中，的值为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 答案：B 解析：等差数列的通项公式为（其中 为首项,d为公差）。将 代入通项公式，可得方程组：，两式相减消去，得 3d=-6，解得 ，故选B。 2.（2025·安徽·真题T10）在等差数列中，若公差，，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．23 【答案】C 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】先求出首项，再利用等差数列的前n项和公式可以直接求解． 【详解】∵等差数列的公差，， ∴，∴， ∴． 故选：C． 3.（2023·安徽·真题T10）在等差数列中，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】利用等差数列的通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列的通项公式 【分析】先求得等差数列的首项和公差，再写出等差数列通项式，即可求解. 【详解】∵等差数列中，，， 令首项为，公差为，则，. 得到. 故数列的通项式为：. 即. 故选：D. 4.（2022·安徽·真题T21）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝9，S4＝30，则a3＝（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 答案：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $