专题21 数列的概念与通项公式（讲义）-2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 数列的概念与通项公式 【复习目标】 1.理解数列的定义、数列项、项数等基础概念，分清数列与函数的联系； 2.掌握数列通项公式含义，能根据通项公式求指定项； 3.熟练掌握前n项和与通项的转换关系，由； 4.会观察数列前几项，归纳简单数列的通项公式； 5.掌握数列的分类、递推公式基础应用，规避分段讨论易错点。 考点 1 数列基础概念 【考点知识点回顾】  数列定义：按照 依次排成的一列数，称为数列。  项：数列中的每一个数字都叫做数列的项；排在第 位的叫首项，记作；排在第n位的项称为第n项，记作。  项数：n代表项数，取值只能是正整数，代表该项在数列中的位置。  数列记法：一个完整数列统一记作。 数列本质：数列是定义域为正整数集（或正整数子集） 的特殊函数，图像是离散点。 数列分类 （1）按项数： 、 ； （2）按单调性： 、 、 、 。 【即时训练】 1．下列说法中，错误的是（     ） A．数列 与数列 是同一数列 B．一个数列可能有几个不同形式的通项公式，也可能没有通项公式 C．数列 与数列 是不同数列 D．有些数列可能不存在最大项 2．下列说法中正确的是（    ） A．数列，，，可以表示为 B．数列，，，与，，，是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列与是相同的 3．已知数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项 4．以下说法正确的是（   ）. A．是等差数列 B．是等比数列 C．是常数列 D．是无穷数列 考点 2 数列的通项公式（真题高频） 【考点知识点回顾】 通项公式定义：如果数列的第n项能用关于n的式子表达，这个式子就是数列的通项公式。 已知通项求项：将项数n直接代入通项解析式计算对应。 归纳通项：观察数列前几项数字规律，写出对应表达式。 补充：不是所有数列都存在通项公式。 前n项和定义：，代表数列前n项全部相加。 核心分段关系式（必考） 解题两类考法： ① 求指定项： ② 求完整通项：先算时，再验证n=1是否满足该式，满足则合并，不满足写分段形式。 【即时训练】 1．已知数列 的通项公式为，则 （    ） A． B． C．2 D．6 2．已知数列 的通项公式为 ，则 是该数列的（   ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 3．已知数列 的前 项和 ，则 （    ） A． B．7 C． D． 4．已知数列 的前 项和为 ，则 （    ） A．171 B．35 C．136 D．135 5．已知数列 的前 项和为 ，则 （   ） A． B．16 C．15 D．14 6．数列 的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．数列 的一个通项公式为（      ） A． B． C． D． 考点3 递推公式 【考点知识点回顾】 递推公式：已知首项（前几项），用相邻项关系表示后一项的式子； 基础用法：由首项结合递推式逐项求出数列前若干项。 【即时训练】 1．已知数列的通项公式为，那么（    ） A． B． C． D． 2．已知数列 满足 ，则 （    ） A．1 B． C． D． 3．已知数列 中，，则 （    ） A． B． C． D． 4．在数列中，，，则（   ）． A．19 B．121 C．244 D．364 5．数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 6．在数列中，若，且，则（   ） A．4 B． C． D． 7．已知数列的前四项为，，，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·安徽·真题T19）若数列的前n项和，则（        ） A．8 B．6 C．4 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题21 数列的概念与通项公式 【复习目标】 1.理解数列的定义、数列项、项数等基础概念，分清数列与函数的联系； 2.掌握数列通项公式含义，能根据通项公式求指定项； 3.熟练掌握前n项和与通项的转换关系，由； 4.会观察数列前几项，归纳简单数列的通项公式； 5.掌握数列的分类、递推公式基础应用，规避分段讨论易错点。 考点 1 数列基础概念 【考点知识点回顾】  数列定义：按照确定、固定的先后次序依次排成的一列数，称为数列。  项：数列中的每一个数字都叫做数列的项；排在第 1 位的叫首项，记作；排在第n位的项称为第n项，记作。  项数：n代表项数，取值只能是正整数，代表该项在数列中的位置。  数列记法：一个完整数列统一记作。 数列本质：数列是定义域为正整数集（或正整数子集） 的特殊函数，图像是离散点。 数列分类 （1）按项数：有穷数列（项数有限）、无穷数列（项数无限）； （2）按单调性：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 【即时训练】 1．下列说法中，错误的是（     ） A．数列 与数列 是同一数列 B．一个数列可能有几个不同形式的通项公式，也可能没有通项公式 C．数列 与数列 是不同数列 D．有些数列可能不存在最大项 【答案】A 【分析】根据数列的基础知识逐项分析即可. 【详解】A选项，错误，数列的顺序不同，不是同一数列， B选项，正确，例如，数列 的通项公式可以是 或 ， C选项，正确，前者是有限数列，后者是无限数列，是不同数列 D选项，正确，例如，数列 无最大项. 故选：A. 2．下列说法中正确的是（    ） A．数列，，，可以表示为 B．数列，，，与，，，是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列与是相同的 【答案】C 【分析】根据数列概念以及通项公式求解即可. 【详解】对于A，是一个集合，故A错误； 对于B，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，数列与是不同的，表示数列，，，…，，…， 而表示数列中的第n项，故D错误. 故选：C. 3．已知数列中，，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项 【答案】D 【分析】根据题意将化成顶点式，通过二次函数的性质即可得到的最小值. 【详解】由题可知，， 由于，所以当或时，取得最小值， 所以数列的最小项是第2项、第3项， 故选：. 4．以下说法正确的是（   ）. A．是等差数列 B．是等比数列 C．是常数列 D．是无穷数列 【答案】C 【分析】根据等差数列，等比数列，常数列，有穷数列的定义即可求解. 【详解】对于A，，所以不是等差数列，故A错误. 对于B，，所以不是等比数列，故B错误. 对于C，数列的每一项均为，所以是常数列，故C正确. 对于D，是有穷数列，故D错误. 故选：C. 考点 2 数列的通项公式（真题高频） 【考点知识点回顾】 通项公式定义：如果数列的第n项能用关于n的式子表达，这个式子就是数列的通项公式。 已知通项求项：将项数n直接代入通项解析式计算对应。 归纳通项：观察数列前几项数字规律，写出对应表达式。 补充：不是所有数列都存在通项公式。 前n项和定义：，代表数列前n项全部相加。 核心分段关系式（必考） 解题两类考法： ① 求指定项： ② 求完整通项：先算时，再验证n=1是否满足该式，满足则合并，不满足写分段形式。 【即时训练】 1．已知数列 的通项公式为，则 （    ） A． B． C．2 D．6 【答案】C 【分析】由数列的通项公式，令代入求值即可. 【详解】将 代入通项公式：. 故选：C. 2．已知数列 的通项公式为 ，则 是该数列的（   ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】C 【分析】根据数列的通项公式代入求解即可. 【详解】因为数列 的通项公式为 ， 所以令，化简得. 求得.由于项数 为正整数，故 . 故选：C． 3．已知数列 的前 项和 ，则 （    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】利用 （）结合已知条件即可求解. 【详解】因为 ，所以， 则. 故选：C. 4．已知数列 的前 项和为 ，则 （    ） A．171 B．35 C．136 D．135 【答案】D 【分析】利用通项公式与和的关系：结合已知条件即可求解. 【详解】因为数列 的前 项和为 ， 所以， 则. 故选：D. 5．已知数列 的前 项和为 ，则 （   ） A． B．16 C．15 D．14 【答案】C 【分析】利用通项公式与和的关系求解即可. 【详解】计算 ：. 故选：C. 6．数列 的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数列的规律即可求解. 【详解】观察数列的前几项： 因为 ， 可以看出，数列的每一项可以表示为 .故A项正确； 对B ： 正确，但 ，故B项错误； 对C ：，但 ，故C项错误； 对D ：，但 ，故D项错误. 故选：A. 7．数列 的一个通项公式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用观察法求数列的通项公式即可. 【详解】观察数列的规律：， 因此通项公式为：. 故选：B. 考点3 递推公式 【考点知识点回顾】 递推公式：已知首项（前几项），用相邻项关系表示后一项的式子； 基础用法：由首项结合递推式逐项求出数列前若干项。 【即时训练】 1．已知数列的通项公式为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合数列的通项公式代入即可求解. 【详解】由可得，. 故选：B. 2．已知数列 满足 ，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，即可代入求解. 【详解】因为数列 满足， 所以. 故选：B. 3．已知数列 中，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的递推公式求解即可. 【详解】因为数列 中，，则. 故选：. 4．在数列中，，，则（   ）． A．19 B．121 C．244 D．364 【答案】D 【分析】利用递推关系，依次代入，即可求解. 【详解】因为，， 所以， ， ， ， ． 故选：D. 5．数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由递推公式可知，当时，数列是等差数列即可求解. 【详解】当时，，且， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 即，所以． 故选：C. 6．在数列中，若，且，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，可得数列是以6为周期的周期数列，继而可得，即可求解. 【详解】因为在数列中， ，且， 所以， 所以数列是以6为周期的周期数列， 所以． 故选：A． 7．已知数列的前四项为，，，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合数的规律，即可求得通项公式. 【详解】，， ， 故数列，，，，的通项公式， 故选：D. 1.（2024·安徽·真题T19）若数列的前n项和，则（        ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】利用关系求通项或项 【分析】根据数列与之间的关系，求得和，即可解得. 【详解】由题，，则， ，则. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $