专题23 等比数列的性质与前n项和（讲义）-2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 等比数列的性质与前n项和 【复习目标】 1.理解等比数列定义，掌握公比q取值限制，能判定等比数列； 2.熟记等比数列通项公式，已知任意两项联立方程求； 3.区分两种前n项和公式，熟练代入计算； 4.掌握等比中项、下标和核心性质，快速化简求值； 考点 1 等比数列基础定义与公比 【考点知识回顾】 知识点 1：等比数列定义 从数列第 2 项起，每一项与它前一项的比值等于 ，该数列为等比数列。 数学表达式： 常数q称为公比。 知识点 2：公比q关键限制与计算 公比计算公式： 硬性限制：，且数列所有项（分母不能为 0）； q取值对应数列特征： ： ； ： ； ： ； ： 。 知识点 3：等比数列判定方法 定义法：证非零常数； 中项法：证 （各项不为 0）。 【即时训练】 1．在等比数列中，，则公比（   ）． A．1 B．2 C． D．1或 2．已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知等比数列，则第四项（   ）． A．8 B． C．4 D． 4．数列3，3，3，3，（    ） A．是等差数列但不是等比数列 B．是等差数列又是等比数列 C．是等比数列但不是等差数列 D．即不是等差数列也不是等比数列 考点 2 等比数列通项公式（真题核心） 【考点知识回顾】 知识点 1：标准通项公式 字母含义：为首项，q为公比，n为项数。 知识点 2：任意两项跨项推论 已知数列中任意两项，满足： 作用：无需求首项，直接利用两项求公比，简化计算。 知识点 3：已知两项列方程求标准步骤 将两项代入通项公式，列出二元方程组； 两式作除法消去，先求出公比q； 把q代回原式，求出首项； 舍去不符合题意的q。 【即时训练】 1．等比数列64，32，16，，则是它的第（   ）项． A．9 B．10 C．11 D．13 2．在等比数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．等比数列中，前项和，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．在等比数列中，，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为正项等比数列，记前n项和为，若，，则数列的通项公式为（    ）． A． B． C． D． 6．已知等比数列的通项公式为，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 7．公差不为0的等差数列中，恰好成等比数列，则的值是（    ） A．9 B． C．3 D． 考点3 等比数列核心性质 【考点知识回顾】 性质 1：等比中项 若三个非零数x,G,y成等比数列，则G为x、y的等比中项，满足： 推广：数列中任意连续三项满足 性质 2：下标积相等定理 在等比数列中，若m+n=p+k，则： 特殊推论： 作用：求和、求项时快速替换化简，减少计算量。 【即时训练】 1．在数列中，，且，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 2．已知数列满足，且首项为，则该数列的第5项为（    ）. A． B． C． D． 3．已知在等比数列中，，，则（    ） A．22 B．28 C．32 D．42 4．等比数列中，，，那么等于（    ） A． B． C．8 D．16 5．在等比数列中，已知，，则=（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 6．已知数列为等比数列，若，，则（    ）． A．20 B．12 C． D． 7．等比数列中，，，则（   ） A．15 B． C．9 D． 8．在等比数列中，，则（   ）． A． B． C． D． 9．在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 10．在等比数列中，若，是方程的两根，则（   ） A．4 B． C．5 D． 11．已知等比数列的前项和为，则（   ）． A． B．0 C．1 D．2 考点4 等比数列前n项和公式（高频必考） 【考点知识回顾】 等比数列前n项和记作，分两种情况，不可混用。 公式 1：公比（常数列） 适用：所有项数值相等的等比数列。 公式 2：公比 适用：绝大多数考题，已知直接求和；已知建立方程反求 综合题型解法：已知求参数 先判断公比q是否等于 1，选择对应求和公式； 将题干已知数值代入公式，得到含未知数的指数方程； 化简指数式，利用同底数幂相等求解项数n或公比q。 【即时训练】 1．已知等比数列的前n项和为，则公比（    ） A． B． C．-2 D．2 2．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．在等比数列中，，，则的前6项和为（   ） A． B．11 C．31 D．63 4．已知等比数列的首项为，公比为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 1.（2026·安徽·真题T20）在等比数列 中，，则数列的前5项和为（ ） A. B. C. D. 2.（2025·安徽·真题T17）在等比数列中，已知，则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（2024·安徽·真题T11）在等比数列中，，公比.若此数列的前n项和，则 （     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.（2023·安徽·真题T13）在等比数列中，若首项，公比，则的前6项和为（    ） A．22 B．21 C．20 D．19 5.（2022·安徽·真题T16)在等比数列{an}中，若a1+a2＝a3﹣a1＝3，则a4＝（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年安徽省分类招生和对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年安徽省分类招生和对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题23 等比数列的性质与前n项和 【复习目标】 1.理解等比数列定义，掌握公比q取值限制，能判定等比数列； 2.熟记等比数列通项公式，已知任意两项联立方程求； 3.区分两种前n项和公式，熟练代入计算； 4.掌握等比中项、下标和核心性质，快速化简求值； 考点 1 等比数列基础定义与公比 【考点知识回顾】 知识点 1：等比数列定义 从数列第 2 项起，每一项与它前一项的比值等于同一个非零常数，该数列为等比数列。 数学表达式： 常数q称为公比。 知识点 2：公比q关键限制与计算 公比计算公式： 硬性限制：，且数列所有项（分母不能为 0）； q取值对应数列特征： ：数列绝对值递增； ：数列绝对值递减； ：常数列，特殊等比数列； ：摆动数列，正负交替。 知识点 3：等比数列判定方法 定义法：证非零常数； 中项法：证（各项不为 0）。 【即时训练】 1．在等比数列中，，则公比（   ）． A．1 B．2 C． D．1或 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式以及等比数列的前项和求解即可. 【详解】当时，，符合题意； 当时，， 整理可得，解得或（舍去）． 综上所述，或． 故选：D. 2．已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的定义计算等比数列的公比，再求的值即可. 【详解】由，可得，又已知， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 3．已知等比数列，则第四项（   ）． A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据数列为等比数列求出公比，代入等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列， 公比，， 故选：. 4．数列3，3，3，3，（    ） A．是等差数列但不是等比数列 B．是等差数列又是等比数列 C．是等比数列但不是等差数列 D．即不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【分析】利用等差数列与等比数列的定义即可得解. 【详解】对于数列3，3，3，3，， 从第二项起，每一项都比前一项多同一个常数，故该数列是等差数列； 从第二项起，每一项与前一项的比值都为，且每一项都不为，故该数列是等比数列； 所以数列3，3，3，3，是等差数列又是等比数列. 故选：B. 考点 2 等比数列通项公式（真题核心） 【考点知识回顾】 知识点 1：标准通项公式 字母含义：为首项，q为公比，n为项数。 知识点 2：任意两项跨项推论 已知数列中任意两项，满足： 作用：无需求首项，直接利用两项求公比，简化计算。 知识点 3：已知两项列方程求标准步骤 将两项代入通项公式，列出二元方程组； 两式作除法消去，先求出公比q； 把q代回原式，求出首项； 舍去不符合题意的q。 【即时训练】 1．等比数列64，32，16，，则是它的第（   ）项． A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式，即可判断. 【详解】由等比数列64，32，16，，可得首项为，公比为， 则其通项公式为， 令，即， 所以，即， 所以是该数列的第项． 故选：C. 2．在等比数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式即可得解. 【详解】由等比数列，，， 可得，即，解得， 所以． 故选：C． 3．等比数列中，前项和，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和求值即可. 【详解】当时， 当时，                                              则， 因为为等比数列，所以， 所以， 则， 故选：B. 4．在等比数列中，，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比q和首项，据此可求通项公式. 【详解】设等比数列的公比为，由题可得： ，解得， 所以的通项公式为. 故选：A 5．已知数列为正项等比数列，记前n项和为，若，，则数列的通项公式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，从而求得. 【详解】设数列的公比为， 由，得，解得，（舍去）， 所以数列的通项公式为. 故选：D 6．已知等比数列的通项公式为，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为是等比数列，， 所以，则. 故选：C. 7．公差不为0的等差数列中，恰好成等比数列，则的值是（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式列式求解即可； 【详解】因为等差数列中成等比数列，令等差数列公差为, 所以，得到，解得， 所以， 故选：D. 考点3 等比数列核心性质 【考点知识回顾】 性质 1：等比中项 若三个非零数x,G,y成等比数列，则G为x、y的等比中项，满足： 推广：数列中任意连续三项满足 性质 2：下标积相等定理 在等比数列中，若m+n=p+k，则： 特殊推论： 作用：求和、求项时快速替换化简，减少计算量。 【即时训练】 1．在数列中，，且，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据条件得到为公比为2的等比数列，从而求出答案. 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列， 所以. 故选：C 2．已知数列满足，且首项为，则该数列的第5项为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到为等比数列，且得到其公比，即可求得第5项. 【详解】∵数列满足，所以. 即可知数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 故. 故选：A. 3．已知在等比数列中，，，则（    ） A．22 B．28 C．32 D．42 【答案】D 【分析】利用等比中项公式及等比数列的性质即可求. 【详解】设等比数列前项和为， 则，， 则， 由等比数列性质可知，，，，成等比数列， 所以，解得； 故选：D. 4．等比数列中，，，那么等于（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】先根据已知求出，再根据等比中项公式求解. 【详解】由，可得， 又因为， ，所以. 故选：C. 5．在等比数列中，已知，，则=（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】∵，， ∴，所以. 故选：B. 6．已知数列为等比数列，若，，则（    ）． A．20 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得公比，即， 又，，所以， 所以． 故选：D. 7．等比数列中，，，则（   ） A．15 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则，所以， 因为等比数列偶数项符号相同，所以， 故选：. 8．在等比数列中，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值即可. 【详解】根据等比数列的性质，得 ． 故选：B. 9．在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，等比数列中，， 则，解得， 则. 故选：C. 10．在等比数列中，若，是方程的两根，则（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据韦达定理得到，再根据等比数列的性质求解. 【详解】因为，是方程的两根，所以，， 由得，同号，又故都为正值， 又因为是等比数列，所以， 解得，而，故. 故选：A 11．已知等比数列的前项和为，则（   ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由题意知等比数列的前项和为， 所以， ， 因为， 所以， 解得． 故选：A. 考点4 等比数列前n项和公式（高频必考） 【考点知识回顾】 等比数列前n项和记作，分两种情况，不可混用。 公式 1：公比（常数列） 适用：所有项数值相等的等比数列。 公式 2：公比 适用：绝大多数考题，已知直接求和；已知建立方程反求 综合题型解法：已知求参数 先判断公比q是否等于 1，选择对应求和公式； 将题干已知数值代入公式，得到含未知数的指数方程； 化简指数式，利用同底数幂相等求解项数n或公比q。 【即时训练】 1．已知等比数列的前n项和为，则公比（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义与前项和的定义即可求解. 【详解】因为. 所以.. 则. 所以. 故选：B. 2．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列前项和公式求比值即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 3．在等比数列中，，，则的前6项和为（   ） A． B．11 C．31 D．63 【答案】D 【分析】根据题意，先求出公比，结合等比数列前n项和公式，代入即可求解． 【详解】设公比为q， 因为，， 所以， 所以前6项和． 故选：D． 4．已知等比数列的首项为，公比为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为等比数列的首项为，公比为， 所以数列的前项和. 故选：C. 1.（2026·安徽·真题T20）在等比数列 中，，则数列的前5项和为（ ） A. B. C. D. 选D。 2.（2025·安徽·真题T17）在等比数列中，已知，则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】等比数列中，， 由可得， ，解得. 故选：B. 3.（2024·安徽·真题T11）在等比数列中，，公比.若此数列的前n项和，则 （     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据和公比求出，从而得到等比数列前n项和，在令其为40得到方程后求解即可. 【详解】因为在等比数列中，， 公比， 得到， 所以等比数列以1为首项，以3为公比，即， 故等比数列前n项和为. 令，得到, 解得. 故选：B. 4.（2023·安徽·真题T13）在等比数列中，若首项，公比，则的前6项和为（    ） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】B 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】由等比数列前n和公式计算即可. 【详解】因为是等比数列，首项，公比， 所以. 故选：B. 5.（2022·安徽·真题T16)在等比数列{an}中，若a1+a2＝a3﹣a1＝3，则a4＝（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $