综合测试卷（三）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 分层设计（AB卷+综合卷）覆盖教材核心考点，通过基础巩固与能力提升结合，构建代数、几何、统计知识网络，培养数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|选择1-2、11-12、19、22-23|概念辨析与函数应用|从不等式解集到函数建模，体现数量关系抽象与应用拓展| |几何|选择3-4、6-7、14、16-17、21|空间形式与方程求解|从直线方程到圆的位置关系，构建空间形式认知与逻辑推理链条| |统计|选择5、8、13、20|数据处理与抽样分析|从频率计算到统计推断，形成数据意识与模型应用能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．不等式的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由指数函数的单调性列不等式，再由含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】已知不等式， 因为在上单调递增， 所以由，得， 即，解得， 所以原不等式的解集为， 故选：A. 2．计算（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则求解. 【详解】. 故选：A． 3．直线与 的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立两直线方程求得交点坐标. 【详解】联立两直线方程，解得. 则两直线的交点坐标为. 故选：A. 4．若圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则其体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱的轴截面可得圆柱底面半径和高，再利用圆柱的体积公式计算可得结果. 【详解】因为圆柱的轴截面是面积为16的正方形，所以该正方形的边长为4， 则圆柱的底面直径和高都为4，即圆柱的底面半径，高， 所以圆柱的体积. 故选：B. 5．已知一组样本数据的频率直方图中，组距为5，某组对应的矩形面积为0.15，则该组的频率为（    ） A．0.03 B．0.15 C．0.75 D．3 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的定义求解即可. 【详解】频率分布直方图中矩形面积纵坐标组距频率， 故某组对应的矩形面积为0.15，则频率为0.15. 故选：B. 6．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线绕原点顺时针旋转，求出旋转后的直线的斜率，再结合平移知识，可得到所求直线. 设的倾斜角为，则， 当直线绕原点顺时针旋转时， 旋转后的直线的倾斜角为， 其斜率为， 该直线方程为， 再将该直线向左平移1个单位可得：，即. 7．直线关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于点对称的两直线平行，可设直线方程为，再根据点到两直线的距离相等列式求解即可. 【详解】由题意知，所求直线与已知直线平行，设直线方程为， 点到直线即的距离为 ， 点到直线即的距离为 ， 根据题意得，解得（舍去）或， 即所求直线方程为. 故选：C. 8．某校高二年级有学生人，其中男生人，女生人.现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则应抽取女生（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】首先计算出抽样比，再由女生数量乘以抽样比即可解答. 【详解】已知高二年级有学生人，取一个容量为的样本， 则抽样比例为，女生有人， 所以女生应抽人， 故选：B. 9．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用表示，公园外两点与公园边上任意一点连接后修建一处三角形状舞台，则舞台面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再计算|AB|，然后求圆上的点到直线AB的最小距离，最后根据三角形面积公式求出舞台面积的最小值. 【详解】圆的方程可化为，即圆心为，半径为， 又， 则直线的斜率为，, 所以， 则圆心到l的距离， 所以圆上点到直线的最小距离为，即边上的高的最小值为， 所以舞台面积． 故选：A. 10．直线的倾斜角取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直线方程求出倾斜角的正切值的取值范围，再结合倾斜角的取值范围确定倾斜角的具体范围. 【详解】已知直线方程为，将其转化为斜截式， 可得该直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为的值域是， 所以的值域是，即， 由于倾斜角， 正切函数在上单调递增，且，可得； 正切函数在上单调递增，且，可得， 综上，倾斜角的取值范围是. 故选：B. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知，则x的取值范围为_____________________． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为在上为增函数， 由， 得，即， 解得， 所以x的取值范围为， 故答案为：. 12．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：月）满足函数，若投资个月后收益为1500元，则____________． 【答案】18 【分析】根据题意把代入函数中即可得解. 【详解】由题可知收益与投资时间满足函数， 所以当收益，代入函数中为， 整理为，即，解得. 故答案为：. 13．某学校为了解1800名学生的睡眠质量情况，将这1800名学生随机编号为1，2，…，1800，利用系统抽样抽取50名学生进行测试.若样本中的个体编号第一个是19，则第11个编号是________． 【答案】379 【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得解. 【详解】由题意可知，样本间隔为， 已知第一个编号， 则， 故答案为：379. 14．某工厂要在一个圆形场地内规划一条直线通道，已知圆的方程为，直线过点且与圆相切，则该直线方程为______. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程得到圆心和半径，分析直线与圆相切，计算圆心与点连线的斜率，即可得到直线斜率，进而求解. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为，半径， 直线过点，点在圆上，所以直线与圆相切， 又圆心与点连线的斜率, 则直线的斜率为， 故所求直线方程为，即 . 故答案为： 15．函数的最小值为__________. 【答案】 【分析】函数表达式变形为，可以看成轴上的一动点以及定点，的连线距离和：，于是将题目问题转化成了求的最小值，通过数形结合，运用将军饮马的知识即可求最值. 【详解】对被开方数均进行配方可得：， 可以看成轴上的一动点以及定点，的连线距离和：， 于是将题目问题转化成了求的最小值. 设点关于轴的对称点，于是， 所以，当，，三点共线时取等号. 由两点距离公式知， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．写出满足下列条件的直线的方程； (1)经过点，斜率是； (2)斜率是，在轴上的截距是7； (3)经过两点； (4)在轴、轴上的截距分别是. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据点斜式方程列出直线方程即可. （2）根据斜截式方程列出直线方程即可. （3）先求出直线的斜率，再由点斜式方程列出直线方程即可. （4）由截距确定直线与坐标轴的交点，再求出直线的斜率，最后由斜截式方程列出直线方程即可. 【详解】（1）已知直线经过点，斜率是， 则直线的点斜式方程为， 整理得. （2）已知直线斜率是，在轴上的截距是7， 所以直线的斜截式方程为. （3）已知直线经过两点， 则直线的斜率， 则直线的点斜式方程为， 整理得. （4）已知在轴、轴上的截距分别是， 则直线与轴、轴的交点分别为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为. 17．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，求该正三棱柱的体积. 【答案】 【分析】利用球的体积公式求得其半径，再利用球与正三棱柱的所有面均相切，依次求得其高与底面边长，再利用棱柱的体积公式即可得解. 【详解】依题意，设球的半径为， 则，解得， 由于球与正三棱柱的所有面均相切， 所以正三棱柱的高等于球的直径，即， 正三棱柱的底面是正三角形，设其边长为， 因为底面正三角形的内切圆半径就是球的半径， 所以，即，则， 则该正三棱柱的体积为. 故答案为：. 18．已知直线和直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行的条件列式即可求解. （2）根据两直线垂直的条件列式即可求解. 【详解】（1）直线和直线． 因为，可得，解得或， ，解得且， 综上所述，． （2）直线和直线， 因为，所以，解得. 19．已知函数（，）的图像过点. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数求值即可； （2）根据二次函数和指数函数的单调性求出复合函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像过点， 将其代入得，解得或（舍）. （2）令，则， 对于二次函数，对称轴为，开口向上， 当时，t取最小值：. 当时，， 当时，，所以. 因为函数是增函数， 所以当时，； 当时，， 因此时，函数的值域为. 20．某学校为了了解高一学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生的数学成绩（满分100分），将成绩分成5组：，已知第一组的频率为0.10，第二组的频率为0.20，第四组的频率为0.30，第五组的频率为0.15. (1)求第三组的频率； (2)估计这100名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)估计这100名学生数学成绩的70%分位数. 【答案】(1) (2)（分） (3)85 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可. （2）根据平均数公式求解即可. （3）根据分位数的概念求解即可. 【详解】（1）第三组频率. （2）平均数 （分）. （3）前三组频率之和为. 前四组频率之和为. 所以70%分位数位于第四组内. 设70%分位数为，则 . 21．已知圆C的方程为. (1)求该圆的圆心坐标和半径. (2)过原点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】(1)圆心坐标为，半径为. (2)切线方程为或. 【分析】（1）将圆的一般方程配方转化为标准方程，即可得到圆心坐标和半径. （2）分切线斜率存在和不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】（1）已知圆的方程为，即， 所以圆心坐标为，半径. （2）当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线的距离为， 而圆的半径，则，所以不是切线方程； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 圆心到切线的距离等于半径，即， 整理得：，解得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为，即， 综上，切线方程为或. 22．为了预防等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒，已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示. (1)从药物释放开始，写出与的函数关系式. (2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室. (3)若空气中每立方米的含药量不少于毫克，且连续分钟时，才有消毒效果，根据所得函数模型，问这样消毒是否达到预期的效果. 【答案】(1). (2)小时 (3)可达到预期效果. 【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法，可求函数解析式； （2）当药物释放完毕，即在中，令，解不等式可求解； （3）在与的函数关系式中，令，求出的范围即可判断结果. 【详解】（1）①当时，由题可设， 因为时，，则， 所以，； ②当时，由，，代入，得， 则，此进； 所以； （2）由题知，令，即， 可得，即， 即至少经过小时，方可回到教室； （3）由题，需要，且至少持续分钟才有效果， ①当时，令，即，解得，所以， ②当时，令，即，， 所以，即，所以. 综上，当时，， 持续时间为（分钟），， 所以可达到预期效果. 23．已知函数且的图象恒过定点，点是二次函数图象的顶点，且. (1)求解析式. (2)当，求函数的值域. (3)若在区间为增函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对数函数过定点的性质得到定点，再利用二次函数的顶点式，结合待定系数法即可得解； （2）利用二次函数的性质求得的值域，从而得解； （3）利用二次函数的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）对于且， 令，得，，则定点， 因为点是二次函数图象的顶点，设， 又，所以，解得， 所以. （2）由（1）知，其图象开口向下，对称轴为， 又， 所以当时，取得最大值，， 又，，则， 所以当时，函数的值域是. （3）由（1）得 ， 其图象开口向下，对称轴为， 因为在区间为增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．不等式的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．计算（   ） A． B． C．2 D．1 3．直线与 的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．若圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则其体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知一组样本数据的频率直方图中，组距为5，某组对应的矩形面积为0.15，则该组的频率为（    ） A．0.03 B．0.15 C．0.75 D．3 6．直线绕原点顺时针旋转，再向左平移1个单位，所得到的直线为（ ） A． B． C． D． 7．直线关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．某校高二年级有学生人，其中男生人，女生人.现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则应抽取女生（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 9．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用表示，公园外两点与公园边上任意一点连接后修建一处三角形状舞台，则舞台面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．直线的倾斜角取值范围（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知，则x的取值范围为_____________________． 12．某理财产品的收益（单位：元）与投资时间（单位：月）满足函数，若投资个月后收益为1500元，则____________． 13．某学校为了解1800名学生的睡眠质量情况，将这1800名学生随机编号为1，2，…，1800，利用系统抽样抽取50名学生进行测试.若样本中的个体编号第一个是19，则第11个编号是________． 14．某工厂要在一个圆形场地内规划一条直线通道，已知圆的方程为，直线过点且与圆相切，则该直线方程为______. 15．函数的最小值为__________. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．写出满足下列条件的直线的方程； (1)经过点，斜率是； (2)斜率是，在轴上的截距是7； (3)经过两点； (4)在轴、轴上的截距分别是. 17．体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，求该正三棱柱的体积. 18．已知直线和直线． (1)当时，求a的值； (2)当时，求a的值． 19．已知函数（，）的图像过点. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 20．某学校为了了解高一学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生的数学成绩（满分100分），将成绩分成5组：，已知第一组的频率为0.10，第二组的频率为0.20，第四组的频率为0.30，第五组的频率为0.15. (1)求第三组的频率； (2)估计这100名学生数学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)估计这100名学生数学成绩的70%分位数. 21．已知圆C的方程为. (1)求该圆的圆心坐标和半径. (2)过原点作圆C的切线，求切线方程. 22．为了预防等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒，已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示. (1)从药物释放开始，写出与的函数关系式. (2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室. (3)若空气中每立方米的含药量不少于毫克，且连续分钟时，才有消毒效果，根据所得函数模型，问这样消毒是否达到预期的效果. 23．已知函数且的图象恒过定点，点是二次函数图象的顶点，且. (1)求解析式. (2)当，求函数的值域. (3)若在区间为增函数，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $