专题37 双曲线（练习）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为框架，按双曲线定义-方程与渐近线-焦点三角形-几何性质-离心率逻辑递进，分层覆盖选择、填空、解答题型，融合近年真题实现从概念到应用的系统突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线定义|5题|辨析方程类型、轨迹判断|从定义本质出发，强化距离差与轨迹关系的数学抽象| |标准方程与渐近线|17题|顶点、焦点、渐近线方程求解|衔接定义与方程形式，训练参数计算的数学运算能力| |焦点三角形|6题|焦点距离、面积计算|结合定义与三角形性质，培养逻辑推理能力| |几何性质|3题|中心对称、斜率关系|拓展方程几何意义，提升空间观念| |离心率|12题|离心率计算与应用|整合方程参数与几何性质，深化数学思维| |真题溯源|7题|近年浙江单招真题|对接考情，强化应用意识与实践能力|

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题37 双曲线 【考点1 双曲线定义】 1.方程表示（　　） A．焦点在x轴的双曲线 B．圆 C．两条直线 D．焦点在y轴的双曲线 2.若动点到点与的距离之差为2，则点的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．圆 3.已知点满足：，则点的运动轨迹为（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 4.根据曲线方程，，可确定该曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 5.如果方程表示焦点在轴上的双曲线，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 双曲线标准方程与渐近线方程】 6.双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 7.双曲线的一个焦点为，则虚半轴长（    ） A．8 B． C． D． 8.已知双曲线的方程是，焦距为4，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 9.若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 10若点在曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 11.渐近线方程为，且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 12.一焦点是的等轴双曲线，其方程是（　　） A． B．4 C． D． 13.已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 14．若双曲线的中心在原点，实轴在x轴上且实轴长等于虚轴长，其中一个焦点在直线上，则该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 15.已知双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 16.在平面直角坐标系中，，，若，则点的轨迹方程为__________. 17.设双曲线的实轴长为6，一个焦点的坐标为，则双曲线的标准方程为_______________． 18.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是______． 19.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1），经过点，焦点在y轴上：___________. （2）与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4：___________. 20.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为_______. 21.已知双曲线与双曲线：有公共的渐近线，且过点. (1)求的渐近线方程； (2)求已知双曲线的标准方程. 22.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点，； (2)焦点为，，经过点； (3)，经过点； (4)经过和两点． 【考点3 双曲线焦点三角形】 23.已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 24.已知、是双曲线的左、右焦点，在左支上过的弦的长为6，那么的周长是（   ） A．16 B．19 C．22 D．28 25.设 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线上的一点， ，则 的面积等于（    ） A． B． C． D． 26.设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于__________. 27.双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，若双曲线的焦距为4，则其实轴长为______. 28.已知､为双曲线C：的左右焦点，点P在双曲线C上，且，则___________. 29.已知点为椭圆上一点，焦点为，，则的周长为_____ 【考点4 双曲线的几何性质】 30.已知双曲线的左焦点为，点为双曲线上一点，点为关于原点的对称点，若，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 31.双曲线绕其中心按逆时针方向旋转，所得的双曲线的标准方程为_____. 32.已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为______. 【考点5 双曲线离心率】 33.双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．4 34.等轴双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 35.下列圆锥曲线中，离心率为2的是（　　） A． B． C． D． 36.双曲线的一条渐近线经过，则该双曲线离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 37.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 38.已知曲线的离心率为2，则（    ） A．2 B．2或1 C．-1 D．-9 39.如图，，是椭圆：与双曲线的公共焦点，A是，在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 40.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（    ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 41.已知双曲线的其中一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为___________. 42.记双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率为________． 43.如图所示，已知双曲线的焦点分别是，，是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于______．    44.双曲线两条渐近线的夹角是，则它的离心率是________． 【考点1 双曲线定义与标准方程】 45.双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 46.已知双曲线右支上一点到它的左、右焦点的距离之差等于6，则下列关于双曲线的说法错误的是（    ） A．焦距为 B．渐近线方程为 C．实轴长为6 D．离心率 47.已知双曲线的焦点在轴上，且双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 48.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点是它们的一个公共点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 49.已知点是双曲线渐近线上的一点，点E，F是它的左、右焦点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 50.已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【考点2 椭圆焦点三角形】 51.如图，，是椭圆：与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则双曲线的实轴长是（   ） A．4 B．8 C． D． 52.已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【考点3 双曲线离心率】 53.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 54.已知双曲线的右焦点为，点O为坐标原点．过F作渐近线的垂线，垂足为H．若，则双曲线的离心率____________． 55.已知点是双曲线：的右一点，、是双曲线的左、右焦点，，，则双曲线的离心率为______． 56.已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点P．若，则双曲线的离心率为__________． 【真题溯源】 1.（2026年浙江，23）已知双曲线，焦距为，一条渐近线的方程为，求的值为______. 2. （2025年浙江，29）如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线AB的斜率； （3）求的面积. 3. （2024年浙江，15） 若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.（2024年浙江，24）已知双曲线的焦距为8，离心率为2，则其渐近线方程为______. 5.（2023年浙江，26）双曲线的渐近线与圆相切，则圆的半径______. 6.（2022年浙江，20）已知双曲线的两个焦点为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 24 7.（2021年浙江，16）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题37 双曲线 【考点1 双曲线定义】 1.方程表示（　　） A．焦点在x轴的双曲线 B．圆 C．两条直线 D．焦点在y轴的双曲线 【答案】D 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】将方程变形即可得到方程表示的图形. 【详解】方程可变形为， 所以该方程表示焦点在y轴的双曲线. 故选：D. 2.若动点到点与的距离之差为2，则点的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．圆 【答案】C 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据双曲线的定义即可解得. 【详解】由题，点到与的距离之差为，小于， 故由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的一支， 故选：C 3.已知点满足：，则点的运动轨迹为（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．圆 【答案】A 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的定义可知结果. 【详解】解：由题可知，点满足方程， 此式表示点到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹， 而由两点间的距离公式可知， 即满足双曲线的定义，可得轨迹为双曲线的一支， 故选：A. 4.根据曲线方程，，可确定该曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 【答案】D 【知识点】双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、判断方程是否表示双曲线、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】由已知可得，根据双曲线方程与焦点的位置特征可判断. 【详解】∵， ∴. 所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线. 故选：D 5.如果方程表示焦点在轴上的双曲线，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】由焦点在轴上双曲线的方程的特点即可得解. 【详解】因为表示焦点在轴上的双曲线. 所以 解得. 故选：. 【考点2 双曲线标准方程与渐近线方程】 6.双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、求双曲线的顶点坐标 【分析】根据双曲线的方程得到顶点在轴上，求出值即可得解. 【详解】由双曲线方程可知顶点在轴上，， 所以顶点坐标为. 故选：. 7.双曲线的一个焦点为，则虚半轴长（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据双曲线的焦点可求解c的值，再由双曲线中求解即可. 【详解】双曲线的一个焦点为，即，又， 所以， 所以虚半轴长为. 故选：C. 8.已知双曲线的方程是，焦距为4，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由焦距为4求出，再根据求出的值，然后得出的值，最后代入即可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】已知双曲线的方程是， 可得，， 由焦距为4，可得， 所以， 解得， 则，， 所以. 则双双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 9.若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据双曲线的性质求解. 【详解】由题可得，解得， 因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选:C. 10若点在曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程 【分析】点的坐标代入曲线的方程即可求解. 【详解】∵点在曲线上，∴，解得. 故选：B. 11.渐近线方程为，且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线渐近线方程设出双曲线方程，将点代入即可得解. 【详解】由渐近线方程为，则可设双曲线方程为， 代入点，得， 所以双曲线方程为. 故选：B. 12.一焦点是的等轴双曲线，其方程是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】等轴双曲线、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】由双曲线的标准方程及性质即可得解. 【详解】双曲线的一个焦点是，所以焦点在轴上且. 因为为等轴双曲线，所以. 则. 解得或（舍）. 所以. 所以双曲线方程为：. 故选：. 13.已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【答案】B 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得c=3， 又双曲线C：=1的离心率为， 所以，即a=2， 所以b=， 故所求的双曲线方程为=1. 故选：B. 14．若双曲线的中心在原点，实轴在x轴上且实轴长等于虚轴长，其中一个焦点在直线上，则该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的一般式方程及辨析、等轴双曲线 【分析】根据双曲线的实轴与虚轴相等，再结合焦点的坐标求解即可； 【详解】∵双曲线的实轴在x轴上，一个焦点在直线上， ∴令，得，即双曲线的左焦点坐标为， ∵实轴长等于虚轴长,， ∴， ∴双曲线的标准方程是， 故选：C． 15.已知双曲线的离心率为2，则双曲线两条渐近线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、两直线的夹角、直线的倾斜角 【分析】利用离心率求出的关系，再求出渐近线方程，进而求出双曲线两条渐近线的夹角. 【详解】双曲线的离心率为，解得，，所以. 双曲线两条渐近线方程分别是和，它们倾斜角分别是和， 从而双曲线两条渐近线的夹角为. 故选：B 16.在平面直角坐标系中，，，若，则点的轨迹方程为__________. 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】利用之间的关系和双曲线的基本性质即可求解. 【详解】，所以点的轨迹是以两点为焦点，以8为实轴长的双曲线. 即，，所以，，所以双曲线的方程为. 故答案为：. 17.设双曲线的实轴长为6，一个焦点的坐标为，则双曲线的标准方程为_______________． 【答案】 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】由焦点坐标得出且焦点在轴上，由实轴长得出，再利用即可求解. 【详解】因为焦点坐标为， 所以焦点在轴上，且， 双曲线的标准方程为， 因为双曲线的实轴长为6， 所以，即， 所以， 所以双曲线的标准方程为 故答案为： 18.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是______． 【答案】 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据已知条件设出双曲线方程，再将已知点代入求出参数即可解得. 【详解】由题，可设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为， 又知该双曲线过点，将点代入双曲线方程可得， 解得，故双曲线方程为，即. 故答案为： 19.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1），经过点，焦点在y轴上：___________. （2）与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4：___________. 【答案】 【知识点】求共焦点的双曲线方程、根据双曲线过的点求标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】（1）依题意可设双曲线的标准方程为，再根据，及过点，即可得到方程组，从而求出、，即可得解； （2）首先求出椭圆的焦点坐标，双曲线与椭圆的一个交点坐标，设双曲线的标准方程为，依题意得到方程组，解得即可； 【详解】解：（1）因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为. 由题设知，，且点在双曲线上，所以，解得. 故所求双曲线的标准方程为. （2）椭圆的两个焦点为，，双曲线与椭圆的一个交点为或. 设双曲线的标准方程为，则，解得. 故所求双曲线的标准方程为. 故答案为：；； 20.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为_______. 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，可求得，进而求得双曲线方程中的，利用渐近线方程可求解. 【详解】由题知：椭圆焦点在x轴，，故，， 故焦点坐标为， 所以双曲线的焦点为, 在双曲线中：，得， 所以双曲线的渐近线方程为：. 故答案为： 21.已知双曲线与双曲线：有公共的渐近线，且过点. (1)求的渐近线方程； (2)求已知双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】（1）由抛物线的方程得，，代入渐近线方程即可求解； （2）设的方程为，代入点求出，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，即，， 所以的渐近线方程为. （2）因为双曲线与双曲线有公共的渐近线， 所以设的方程为， 又过点， 代入得， 所以， 所以的标准方程为. 22.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点，； (2)焦点为，，经过点； (3)，经过点； (4)经过和两点． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用双曲线定义求方程 【分析】(1)根据题意，由双曲线经过点，，分析可得双曲线的焦点为轴上，且，设双曲线的标准方程为：，将点代入计算可得的值，将的值代入双曲线的方程，即可得答案； (2)根据题意，分析可得双曲线的焦点在轴上，且，由双曲线的定义计算可得的值，结合双曲线的几何性质可得的值，将、的值代入双曲线的方程，即可得答案． (3)根据题意，设双曲线的方程为：，将点代入其中计算可得的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案； (4)根据题意，设双曲线的方程为，将和，两点坐标代入双曲线方程可得，解可得：、的值，将、的值代入双曲线方程即可得答案． 【详解】（1）根据题意，双曲线经过点，，则双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线的标准方程为：， 双曲线经过，则有，解可得， 则双曲线的标准方程为：； （2）根据题意，焦点为，，则双曲线的焦点在轴上，且， ∵双曲线过点，故根据双曲线的定义可知： ， 则，则， 则双曲线的标准方程为：； （3）根据题意，双曲线中，设双曲线的方程为：， 又由双曲线经过点，则有， 则双曲线的方程为， 则双曲线的标准方程为：； （4）根据题意，设双曲线的方程为， 双曲线经过和，两点，则有， 解可得：，， 则双曲线的标准方程为：． 【考点3 双曲线焦点三角形】 23.已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题、求双曲线的焦点坐标 【分析】由双曲线方程求出右焦点坐标，根据题意求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】是双曲线：的右焦点， 由得，所以， 因为是上一点，且与轴垂直， 将代入，得，所以， 又点的坐标是，故的面积为， 故选：D． 24.已知、是双曲线的左、右焦点，在左支上过的弦的长为6，那么的周长是（   ） A．16 B．19 C．22 D．28 【答案】D 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的定义求出的值，进而求出的周长. 【详解】    因为双曲线方程为，所以， 因为在双曲线的左支上，所以, 两式相加得, 即, 所以， 所以的周长为. 故选：D. 25.设 是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线上的一点， ，则 的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】双曲线中距离（和差）的值或最值、双曲线中的焦点三角形问题 【分析】根据双曲线方程得到和 ，即可求出的长度，结合焦距，可判断是直角三角形，继而求解. 【详解】因为双曲线标准方程为， 所以，， 即， 因为，所以， 所以， 得到， 又，满足， 所以是直角三角形， 故 的面积. 故选：C. 26.设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于__________. 【答案】22 【知识点】双曲线定义的理解、双曲线中的焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线方程可求得，结合双曲线定义以及可求得，即可得答案. 【详解】由题意知，， 又， ∴，， 故的周长为， 故答案为：22 27.双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，若双曲线的焦距为4，则其实轴长为______. 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、双曲线中的焦点三角形问题、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据双曲线的定义进行计算得解. 【详解】设双曲线的右焦点为，因为，焦距为4， 所以，则， 所以，， ，故实轴长为. 故答案为：. 28.已知､为双曲线C：的左右焦点，点P在双曲线C上，且，则___________. 【答案】 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题、余弦定理解三角形 【分析】根据双曲线定义及，求得，再由余弦定理求解即可. 【详解】由双曲线的方程可得：. 又因为点P在双曲线C上，. 所以，且， 所以. 因为. 所以在中，由余弦定理可得，. 故答案为：. 29.已知点为椭圆上一点，焦点为，，则的周长为_____ 【答案】22 【知识点】椭圆中距离（和差）的值或最值、椭圆中的焦点三角形问题 【分析】根据题意，结合椭圆的方程，可求得的值，根据椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆， 所以， 即， 因为点为椭圆上一点，焦点为，， 所以， 所以的周长是. 故答案为：22. 【考点4 双曲线的几何性质】 30.已知双曲线的左焦点为，点为双曲线上一点，点为关于原点的对称点，若，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】双曲线中距离（和差）的值或最值、双曲线的对称性、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的对称性得到边的关系，再由直角三角形中边的关系得到与的关系，再代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】如图所示，不妨设点在左支． 设右焦点为，连接， 由对称性知四边形为矩形， 所以． 由双曲线定义知，， 即，所以， 因为，在中，， 即，整理得，即，所以， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：C． 31.双曲线绕其中心按逆时针方向旋转，所得的双曲线的标准方程为_____. 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线的对称性 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程和对称性，即可求解. 【详解】因为双曲线， 所以，且焦点在x轴上， 将此双曲线绕其中心按逆时针方向旋转，则焦点在轴上，的值不变， 故所得的双曲线的标准方程为. 故答案为：. 32.已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为______. 【答案】 【知识点】双曲线的对称性、求双曲线的顶点坐标、已知两点求斜率 【分析】利用对称性，再结合双曲线的标准方程计算． 【详解】由题意，， 由于双曲线与圆都关于轴对称，因此它们的交点关于轴对称， 所以， 设，则，， ． 故答案为：． 【考点5 双曲线离心率】 33.双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线方程确定的值，即可得出离心率. 【详解】由双曲线得， ， 所以，离心率为， 故选：C. 34.等轴双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由双曲线的离心率概念即可求解. 【详解】因为双曲线为等轴双曲线，所以， 即有，所以 所以双曲线的离心率为， 故选：B. 35.下列圆锥曲线中，离心率为2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】分别求出选项中双曲线、椭圆的离心率即可判断. 【详解】对A，，焦点在轴上的双曲线，其离心率，故A选项错误； 对B，，焦点在轴上的椭圆，其离心率，故B选项错误； 对C，，焦点在轴上的双曲线，其离心率，故C选项正确； 对D，，焦点在轴上的双曲线，其离心率，故D选项错误. 故选：C. 36.双曲线的一条渐近线经过，则该双曲线离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】利用点代入双曲线的渐近线方程求得，从而求得离心率. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 将代入渐近线方程得， 所以. 故选：B． 37.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】双曲线离心率大小与双曲线形状的关系、椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于， 根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故， 根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故， 综上， 故选：C. 38.已知曲线的离心率为2，则（    ） A．2 B．2或1 C．-1 D．-9 【答案】D 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】对分类讨论结合圆锥曲线离心率公式即可求解. 【详解】由题意，若大于0且不等于3，则或，两个方程都无解， 所以只能，所以，解得. 故选：D. 39.如图，，是椭圆：与双曲线的公共焦点，A是，在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】在中，根据椭圆的定义，可求，由双曲线的定义和共焦点，可求双曲线的实轴和焦距，从而求离心率. 【详解】设，显然. 在椭圆中，，从而， 在中，由已知条件和椭圆定义可得： 且， 由此解得. 在双曲线中，实轴 焦距，故双曲线的离心率. 故选：D 40.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（    ） A．2或 B．2或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】由圆心到直线的距离求值或最值、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在、轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的渐近线方程为， ∵渐近线与圆相切，∴，∴， 得双曲线的一条渐近线的方程为， ①当焦点在轴上时有： ②当焦点在轴上时有：． ∴求得双曲线的离心率或． 故选：A． 41.已知双曲线的其中一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知直线垂直求参数 【分析】根据两条直线垂直斜率的关系得出，又根据即可求出离心率. 【详解】由直线可知， 且双曲线一条渐近线与已知直线垂直， 则取该渐近线斜率为，则有， 得， 解得. 又，， 所以. 故答案为：. 42.记双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率为________． 【答案】/ 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义及离心率公式进行计算. 【详解】设双曲线的右焦点为. 因为，所以，故. 在中，. 由双曲线定义可知，， 所以离心率. 故答案为： 43.如图所示，已知双曲线的焦点分别是，，是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于______．    【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解 【分析】由题意可得，，，再由双曲线定义，即可求得离心率. 【详解】因为是等边三角形，点是的中点，则， ，则，， 又点在双曲线上，则， 即，所以． 故答案为：. 44.双曲线两条渐近线的夹角是，则它的离心率是________． 【答案】或2 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】分类讨论，根据渐近线方程求双曲线离心率. 【详解】解：如图所示有两种情况，第一种情况一条渐近线倾斜角为， 第二种情况一条渐近线倾斜角为， 所以渐近线斜率可能为或， 当双曲线焦点在轴上时，有或， 根据，得或， 或，即或； 当双曲线焦点在轴上时，有或，即或， 同理可得或； 故答案为：或2. 【考点1 双曲线定义与标准方程】 45.双曲线：与双曲线：的（    ） A．实轴长相等 B．焦点坐标相同 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的实轴、虚轴、判断两个双曲线共焦点 【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定. 【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为. 由双曲线的方程可得：,. 双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误； 因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误； 因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确； 因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误. 故选：C. 46.已知双曲线右支上一点到它的左、右焦点的距离之差等于6，则下列关于双曲线的说法错误的是（    ） A．焦距为 B．渐近线方程为 C．实轴长为6 D．离心率 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的焦距、利用双曲线定义求方程 【分析】先由双曲线的定义求出的值，再由双曲线的性质判断选项即可. 【详解】双曲线可化为， 因为右支上一点到它的左、右焦点的距离之差等于6， 即双曲线焦点在轴上，，， 所以，， 双曲线方程为，， 故焦距为，渐近线方程为即， 实轴长为，离心率， 故A项说法错误，B、C、D项说法正确. 故选：A. 47.已知双曲线的焦点在轴上，且双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据题意结合双曲线的定义求出，利用求出值，代入渐近线方程中即可得解. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且双曲线上的动点到其两个焦点的距离满足， 则，且焦点坐标为，即， 因为，解得， 所以双曲线的渐近线方程是， 故选：. 48.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点是它们的一个公共点，且，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】椭圆中距离（和差）的值或最值、根据椭圆方程求a、b、c、双曲线中距离（和差）的值或最值、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据题意，结合椭圆的方程，可求出c的值，结合椭圆的定义及勾股定理，可得，继而求出，结合双曲线的定义，可得，继而求出b的值，即可求出渐近线方程. 【详解】因为是椭圆圆和双曲线的公共焦点， 所以， 因为点在椭圆上，， 所以椭圆的长半轴长为7，短半轴长为， 所以， 所以， 所以， 即， 因为点在双曲线上，即， 所以， 所以，即， 又双曲线焦点在x轴上， 所以双曲线的渐近线方程为． 故选：A． 49.已知点是双曲线渐近线上的一点，点E，F是它的左、右焦点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量垂直求参数、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据点在双曲线的渐近线上，求得和的关系，再根据，解得的值， 然后利用解得和的值，从而写出双曲线的标准方程. 【详解】因为点在双曲线的渐近线上，即点在直线上， 所以，设，，则，， 由得，解得， 又因为，所以，， 则双曲线的方程为． 故选：C． 50.已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】双曲线中的面积问题、讨论双曲线与直线的位置关系、求双曲线的顶点坐标、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】设出双曲线的方程，根据离心率可得，根据题意求出点M、N的坐标，进而求得，结合三角形的面积公式化简计算即可求出a，b. 【详解】设双曲线的方程为，则， 由离心率为2，得，则， 因为直线l过点且垂直于x轴交E于点M、N， 所以点M、N的横坐标都为-c，有，解得， 所以，所以， 又，则 ， 所以，故，得， 所以双曲线的方程为：. 故选：A 【考点2 椭圆焦点三角形】 51.如图，，是椭圆：与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则双曲线的实轴长是（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆中的焦点三角形问题、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、双曲线中的焦点三角形问题 【分析】设，根据椭圆的定义及勾股定理，求出的值，再利用双曲线的定义可求解. 【详解】在椭圆：中，， 所以，从而. 设, 在矩形中，是，在第二象限的公共点， 则，解得， 所以双曲线的实轴长. 故选：D 52.已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及应用 【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 【考点3 双曲线离心率】 53.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆，双曲线的标准方程表示离心率，通过乘积为，得，进而求得双曲线渐近线方程. 【详解】∵椭圆离心率，双曲线离心率 ， ∴， ∵， ∴ 双曲线渐近线方程， 整理得：. 故选:A. 54.已知双曲线的右焦点为，点O为坐标原点．过F作渐近线的垂线，垂足为H．若，则双曲线的离心率____________． 【答案】 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意作出图像，分析直角三角形，结合双曲线的性质表示出，代入离心率公式即可得解. 【详解】    如图所示，根据题意作出图像， 由题意可知，为直角三角形， ， 设，由勾股定理可知，， 因为，所以， 因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，所以，即 ，即， 则离心率为， 故答案为：. 55.已知点是双曲线：的右一点，、是双曲线的左、右焦点，，，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【知识点】双曲线中距离（和差）的值或最值、根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义及离心率公式求解即可. 【详解】设，由双曲线：可知，， 结合双曲线的定义可得：， 解得：，又因为， 所以，即， 所以， 所以离心率， 故答案为：. 56.已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，以线段为直径的圆交双曲线的一条渐近线于点P．若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得，进而，利用，和二倍角的正切公式计算可得，结合离心率的概念计算即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为,，O为的中点， 所以，，所以． 又，， 由， 得，所以． 故答案为： 【真题溯源】 1.（2026年浙江，23）已知双曲线，焦距为，一条渐近线的方程为，求的值为______. 【答案】2 【知识点】求双曲线的焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据焦距求出值，利用渐近线方程得到，代入即可求解. 【详解】双曲线，则焦点在轴上， 焦距为，即，解得， 一条渐近线的方程为，即， 则，解得， 故答案为：. 2. （2025年浙江，29）如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线AB的斜率； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的渐近线和焦距即可得到双曲线的标准方程； （2）利用点差法解决中点弦问题，即可得到直线AB的斜率； （3）先根据（2）得到直线AB的方程，联立双曲线和直线AB的方程求出弦长AB，再求出点C到直线AB的距离，进而求出的面积. 【小问1详解】 ∵ ∴， 又∵渐近线方程为， ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 则， 由得，③ ∵是AB的中点， ∴，， ∴③式即， ∴， ∴. 【小问3详解】 由（2）可得直线AB的方程为，即 由消去y，整理得， ∴，， ∴. 又∵点到直线AB：的距离， ∴. 3. （2024年浙江，15） 若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧，由此可求参数范围. 【详解】如图，双曲线焦点在轴，直线垂直于轴； 所以若直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧； 双曲线，，左顶点坐标为，右顶点坐标为； 则或，即； 故选：A. 4.（2024年浙江，24）已知双曲线的焦距为8，离心率为2，则其渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦距和离心率求解a和b的值，再代入渐近线方程求解即可. 【详解】由题意可知，又， 所以， 所以 ， 双曲线焦点x轴， 所以渐近线方程为. 故答案为：. 5.（2023年浙江，26）双曲线的渐近线与圆相切，则圆的半径______. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程可求渐近线方程，根据渐近线与圆相切，利用可求解. 【详解】由双曲线可知，焦点在轴， 故渐近线方程为，即， 又因为渐近线与圆相切， 故， 故答案为： 6.（2022年浙江，20）已知双曲线的两个焦点为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，观察可以以为底，以点纵坐标为高，分别求出和点纵坐标即可求出面积. 【详解】由题意如图： 由双曲线方程，得， 即圆的半径为， ∵以线段为直径的圆， ∴圆心为原点， 故圆的方程为， 联立方程， 解得， ∵点为第一象限， ∴点的纵坐标为， 点的纵坐标即的高， ∴， 故选：C. 7.（2021年浙江，16）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论双曲线焦点的位置，根据渐近线方程和实轴长求解双曲线的标准方程即可. 【详解】因为双曲线的实轴长为4，则，所以， 当焦点在轴上时，设标准方程为， 此时由渐近线方程可得，解得， 所以标准方程为， 当焦点在轴上时，设标准方程为， 此时由渐近线方程可得，解得， 所以标准方程为， 所以双曲线的标准方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $