专题37 双曲线（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题37 双曲线 【复习目标】 1.理解双曲线的定义； 2.掌握焦点分别在轴上两类双曲线的标准方程，能由焦点位置写方程，会由方程判断焦点位置； 3.能根据定义、焦点、顶点、渐近线、离心率等条件求标准方程； 4.能由标准方程求 、渐近线、顶点、焦点； 5.掌握双曲线的几何性质（范围、顶点、渐近线、离心率、焦点三角形等）； 6.了解等轴双曲线标准方程、渐近线、离心率； 7.能根据方程画出双曲线草图，标出焦点、顶点、渐近线。 1、 【知识清单】 知识点1：双曲线的定义 平面内与定点的距离的 的绝对值等于 (小于||)的点的轨迹叫做 ，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ． 集合，其中常数且. ①当时，点的轨迹是 ； ②当时，点的轨迹是 ； ③当时，点 ． 知识点2：双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 渐近线 离心率 实虚轴 线段叫做双曲线的 ，它的长||＝ ；线段叫做双曲线的 ，它的长||＝ ； 叫做双曲线的实半轴长， 叫做双曲线的虚半轴长 通径 过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为 a、b、c的关系 () 知识点3：基础三角形 如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝ ，|OB|＝c，tan∠AOB＝， △OF2D中，|F2D|＝ . 知识点4：等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为，离心率 ，渐近线方程为 2、 【技巧归纳】 双曲线选填专题的解题方法可围绕定义、方程、性质、综合应用四大模块总结，核心思路是数形结合+代数运算，具体如下： 1、定义法 核心是活用双曲线的第一定义（），常用于求轨迹方程、焦点三角形的周长或边长最值。 2、待定系数法 求解双曲线标准方程的核心方法，分两步： 先判断焦点位置（轴或轴），设对应标准方程； 再结合已知条件（过定点、关系、离心率等）列方程，解出。 若焦点位置不确定，可设统一方程简化计算。 3、离心率求解法 离心率，关键是建立的齐次关系式： （1）几何法：结合焦点三角形、双曲线顶点、直线与双曲线位置关系，用勾股定理、余弦定理等推导； （2）代数法：由已知条件转化为的方程，消去（利用）。 4、焦点三角形解法 （1）结合定义+余弦定理+面积公式： （2）由定义得，由余弦定理得 ； 三、【考点清单】 考点1 双曲线的定义 【典例1】（2024届浙江省温州市普通高职单独考试二模试题）若，则下列各式为常数的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 1.（2025届浙江省台州市中等职业技术学校高三第一次模拟考试）下列关于曲线：的叙述中，正确的是（   ） A．一定是椭圆 B．可能是抛物线 C．一定是双曲线 D．焦距为定值 2.（2022届浙江省高职考单招单考宁波市第三次模拟考试）若，则方程所表示的曲线一定不会是（    ） A．直线 B．焦点在x轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的椭圆 D．双曲线 3.（2022届浙江省衢州市、丽水市中职学校高三质量检测试卷）若方程表示的是双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4, 到两定点与的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹方程________. 5. 表示双曲线，则m的取值范围是_________. 6,.（2021届浙江省绍兴市高三中职第一次模拟考试）已知动点P到的距离比它到的距离大6，则点P的轨迹方程为________． 考点2 双曲线的标准方程与渐近线方程 【典例2】（2025届浙江省职教高考绍兴市高三第一次模拟考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线标准方程可能是（   ）． A． B． C． D． 【即时训练】 7.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知双曲线的方程为．若其顶点是线段的两个三等分点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 8.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）如图所示，已知双曲线的一个顶点和一个焦点分别为点和点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 9.（2026届浙江职教高考研究联合体第二次联考试卷）若双曲线C的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线C的标准方程为    （   ） A． B． C． D． 10.（2025届浙江省职教高考高三第五次模拟考试）已知双曲线的离心率，且该双曲线的顶点是椭圆的焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 11.（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）若双曲线的左、右焦点分别为、，点P是双曲线右支上一点，直线的斜率为，是面积为8，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 12.（2024届浙江省浙江省联合体高三二模试题）以点，为焦点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为______. 13. 两顶点的距离为8，离心率是2且焦点在x轴上的双曲线方程是________. 14. 以为焦点坐标的等轴双曲线标准方程是__________. 15.（2023届年浙江省高校招生宁波市中职第三次模拟考试）如图所示，双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为4，则________． 16.（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试）已知双曲线方程的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 17.（2025届浙江省职教高考第五次模拟考试）已知双曲线实轴的两个顶点分别为，虚轴的两个端点分别为，若，则双曲线的渐近线方程为___________． 考点3 双曲线的几何性质 【典例3】（2024届浙江省普通高职单独考试嘉兴市第二次适应性考试）椭圆与曲线（，）可能有（    ） A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 【即时训练】 18.（2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区第三次模拟考试）我们把“图像既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称”的曲线称为“优美曲线”，则下列方程所表示的曲线中不是“优美曲线”的为（   ） A． B． C． D． 19.（2024届浙江省宁波市、嘉兴市职教高考二模试题）已知双曲线的左右焦点为，左右顶点为，点M在双曲线上且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 考点4 双曲线的焦点、焦距与焦点三角形 【典例4】（2024届浙江省职教高考研究联合体高三适应性考试）已知双曲线的两个焦点为和，且点在双曲线上.若，则点到轴的距离为_____. 【即时训练】 20. 双曲线的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 21.（2023届浙江省金华市职教联合高三联考模拟）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则它的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 22. （2023届浙江省普通高职单独考试温州市二模试卷）双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 23.（2022届浙江省普通高职单独考试温州市三模试卷）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为________. 24. 已知双曲线的焦点分别为，，离心率为，，点P是双曲线上一点，且P在x轴上方，若的面积为，则P点的纵坐标为（   ） A． B． C．2 D．1 25. 已知双曲线的两个焦点为和，经过右焦点的直线与双曲线右支相交于M，N两点，且，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 26. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线上，且直线，的倾斜角之差为60°，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 27. 点是椭圆上一点，则点与两个焦点，构成的的周长_____. 28. 设为双曲线的焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为__________． 29. 如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为和，双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，点是的中点，其中为坐标原点，则_____. 考点5 双曲线的离心率 【典例5】（2026届浙江省宁波、嘉兴职教高考第二次模拟考试）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形是矩形，则该双曲线的离心率为________.    【即时训练】 30.（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 31.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第五次模拟）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C．或 D．或 32.（2024届浙江省职教高考研究联合体模拟预测试题）如图所示，中心均为坐标原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，且点M，N是双曲线的两个顶点.若点M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（   ） A．3 B．2 C． D． 33.（2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟考试）已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 34.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟）若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 35.（2024届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟考试）已知椭圆：，（）和双曲线：的离心率分别为，，若，则实数的值为______． 36.（2026届浙江省温州市中职三模）已知直线是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的离心率为__________. 37.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）设双曲线的一个焦点为，双曲线的虚轴的一个端点为，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为__________. 38.（2025届浙江省中职单独考试温州市二模试题）设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足，则双曲线的离心率为__________. 一、【真题溯源】 1.（2026年浙江，23）已知双曲线，焦距为，一条渐近线的方程为，求的值为______. 2. （2025年浙江，29）如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线AB的斜率； （3）求的面积. 3. （2024年浙江，15） 若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.（2024年浙江，24）已知双曲线的焦距为8，离心率为2，则其渐近线方程为______. 5.（2023年浙江，26）双曲线的渐近线与圆相切，则圆的半径______. 6.（2022年浙江，20）已知双曲线的两个焦点为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 24 7.（2021年浙江，16）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、【考向感知】 1.考纲定位 （1）理解双曲线的概念； （2）掌握标准方程、几何性质； （3）会应用解决相关计算与简单综合题。 2.题型分布 （1）选择题：考方程、渐近线、离心率、定义。 （2）填空题：考方程、换算。 （3）解答题：小综合（方程+渐近线+面积） 3.命题特点总结 （1）难度：基础→中等，不偏不怪 （2）不考复杂综合、不考参数方程。 （3）核心：概念清晰、公式熟练、计算准确。 4.2027年命题趋势预测 （1）题量分值不变：1～2 题，5～10 分，选择、填空为主。 （2）核心考点不变：标准方程、渐近线、离心率、换算仍为重点。 （3）可能考小综合解答：类似方程+渐近线+面积或弦长。 （4）不考难题：不考离心率的范围、不考复杂焦点三角形等。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题37 双曲线 【复习目标】 1.理解双曲线的定义 2.掌握焦点分别在轴上两类双曲线的标准方程，能由焦点位置写方程，会由方程判断焦点位置； 3.能根据定义、焦点、顶点、渐近线、离心率等条件求标准方程。 4.能由标准方程求 、渐近线、顶点、焦点。 5.掌握双曲线的几何性质（范围、顶点、渐近线、离心率、焦点三角形等）。 6.了解等轴双曲线标准方程、渐近线、离心率。 7.能根据方程画出双曲线草图，标出焦点、顶点、渐近线。 1、 【知识清单】 知识点1：双曲线的定义 平面内与定点的距离的 差 的绝对值等于 常数 (小于||)的点的轨迹叫做 双曲线 ，这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ． 集合，其中常数且. ①当时，点的轨迹是 双曲线 ； ②当时，点的轨迹是 两条射线 ； ③当时，点 不存在 ． 知识点2：双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 图形 性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 渐近线 离心率 实虚轴 线段叫做双曲线的 实轴 ，它的长||＝ ；线段叫做双曲线的 虚轴 ，它的长||＝ ； 叫做双曲线的实半轴长， 叫做双曲线的虚半轴长 通径 过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为 a、b、c的关系 () 知识点3：基础三角形 如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝ b ，|OB|＝c，tan∠AOB＝， △OF2D中，|F2D|＝ b . 知识点4：等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为，离心率 ，渐近线方程为 2、 【技巧归纳】 双曲线选填专题的解题方法可围绕定义、方程、性质、综合应用四大模块总结，核心思路是数形结合+代数运算，具体如下： 1、定义法 核心是活用双曲线的第一定义（），常用于求轨迹方程、焦点三角形的周长或边长最值。 2、待定系数法 求解双曲线标准方程的核心方法，分两步： 先判断焦点位置（轴或轴），设对应标准方程； 再结合已知条件（过定点、关系、离心率等）列方程，解出。 若焦点位置不确定，可设统一方程简化计算。 3、离心率求解法 离心率，关键是建立的齐次关系式： （1）几何法：结合焦点三角形、双曲线顶点、直线与双曲线位置关系，用勾股定理、余弦定理等推导； （2）代数法：由已知条件转化为的方程，消去（利用）。 4、焦点三角形解法 （1）结合定义+余弦定理+面积公式： （2）由定义得，由余弦定理得 ； 三、【考点清单】 考点1 双曲线的定义 【典例1】（2024届浙江省温州市普通高职单独考试二模试题）若，则下列各式为常数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、双曲线定义的理解、求平面直角坐标系中两点间的距离 【分析】根据双曲线的定义和两点间距离公式即可判断选项. 【详解】由双曲线可知， 所以焦点为， 若点在双曲线上，由双曲线的定义可知， 由两点间距离公式可得，，， 所以有为常数. 故选:B. 【即时训练】 1.（2025届浙江省台州市中等职业技术学校高三第一次模拟考试）下列关于曲线：的叙述中，正确的是（   ） A．一定是椭圆 B．可能是抛物线 C．一定是双曲线 D．焦距为定值 【答案】D 【知识点】抛物线方程的四种形式与位置特征、求双曲线的焦距、判断方程是否表示双曲线、判断方程是否表示椭圆 【分析】利用椭圆、双曲线和抛物线标准方程的特征对分类讨论即可求解. 【详解】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，所以B错误； 因为可正也可负，所以曲线可能为椭圆，也可能为双曲线，所以A，C错误； 若曲线为椭圆，即时，则，所以，焦距为； 若曲线为双曲线，即时，方程为，则， 所以，焦距为，所以D正确. 故选：D. 2.（2022届浙江省高职考单招单考宁波市第三次模拟考试）若，则方程所表示的曲线一定不会是（    ） A．直线 B．焦点在x轴上的椭圆 C．焦点在y轴上的椭圆 D．双曲线 【答案】B 【知识点】判断方程是否表示双曲线、根据方程表示椭圆求参数的范围、直线的方程的概念 【分析】先分类讨论,再根据定义判断答案. 【详解】当时,,曲线是直线的方程, 时,, 当,,曲线是双曲线, 当, 所以,曲线是焦点在轴上的椭圆, 当,曲线是圆的方程. 故选:B. 3.（2022届浙江省衢州市、丽水市中职学校高三质量检测试卷）若方程表示的是双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据双曲线方程的特征列出不等式求解即可． 【详解】由题意可得：，即，解得或， 则实数的取值范围为. 故选：C． 4, 到两定点与的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹方程________. 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义易得求出双曲线的标准方程. 【详解】因为到两定点与的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹为双曲线， 所以，，焦点在轴上， 所以， 所以轨迹方程为. 故答案为：. 5. 表示双曲线，则m的取值范围是_________. 【答案】 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】利用二元二次方程表示双曲线的结构特征列不等式即可得解. 【详解】因为表示双曲线， 所以，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 6,.（2021届浙江省绍兴市高三中职数学第一次模拟考试）已知动点P到的距离比它到的距离大6，则点P的轨迹方程为________． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用双曲线定义求方程、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线的定义判断求解即可. 【详解】因为动点P到的距离比它到的距离大6， 所以可知， 因为， 所以可知点P的轨迹是以和为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 所以，， 所以， ， 故答案为：. 考点2 双曲线的标准方程与渐近线方程 【典例2】（2025届浙江省职教高考绍兴市高三第一次模拟考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线标准方程可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解标准方程即可； 【详解】选项A，双曲线方程为，则焦点在轴，， 所以渐近线方程为，故正确； 选项B，双曲线方程为，则焦点在轴，， 所以渐近线方程为，故错误； 选项C，双曲线方程为，则焦点在轴，， 所以渐近线方程为，故错误； 选项D，双曲线方程为，则焦点在轴，， 所以渐近线方程为，故错误； 故选：A 【即时训练】 7.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知双曲线的方程为．若其顶点是线段的两个三等分点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】由双曲线方程可知，利用实轴与焦距的关系求得，进而得的值，最后根据渐近线公式可求解. 【详解】由双曲线可知，双曲线的焦点在轴上，且. ∵顶点是线段的两个三等分点， ∴，解得， 从而， ∴双曲线的渐近线方程为． 故选：D 8.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）如图所示，已知双曲线的一个顶点和一个焦点分别为点和点，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据双曲线的图像得到，结合得到，即可求解. 【详解】由题图可知双曲线中，，焦点在轴上， ， 故双曲线的标准方程为， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 9.（2026届浙江职教高考研究联合体第二次联考试卷）若双曲线C的渐近线方程为，焦点坐标为，则双曲线C的标准方程为    （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的焦点坐标、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】设出双曲线方程，根据焦点坐标与渐近线方程求解即可. 【详解】∵双曲线焦点坐标为，焦点位于y轴， 设双曲线C的标准方程为， ∴， ∵双曲线C的渐近线方程为， 且焦点在y轴上，则，即， ∴，解得，则. ∴双曲线C的标准方程为． 故选：D. 10.（2025届浙江省职教高考高三第五次模拟考试）已知双曲线的离心率，且该双曲线的顶点是椭圆的焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求椭圆的焦点、焦距 【分析】先由椭圆的标准方程求出椭圆焦点，即双曲线的顶点，再结合离心率求出，即可写出方程. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 又该双曲线的顶点是椭圆的焦点， 椭圆的焦点坐标为，即， 所以该双曲线的顶点坐标为，即， 又双曲线的离心率，所以， 所以双曲线C的标准方程为. 故选：C. 11.（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）若双曲线的左、右焦点分别为、，点P是双曲线右支上一点，直线的斜率为，是面积为8，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据三角形面积和算出和，从而算出a和c，再根据计算b即可求解. 【详解】由题意得， 解得. 所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 12.（2024届浙江省浙江省联合体高三二模试题）以点，为焦点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为______. 【答案】 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据焦点，渐近线求,再求双曲线标准方程. 【详解】设双曲线的标准方程为:， 则，. 又， ，， ∴双曲线的标准方程为. 故答案为: . 13. 两顶点的距离为8，离心率是2且焦点在x轴上的双曲线方程是________. 【答案】. 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的性质及离心率方程求出的值即可得解. 【详解】因为双曲线两顶点的距离为8，且焦点在x轴上，所以， 因为离心率为，则，解得， 又因为， 所以双曲线方程为， 故答案为：. 14. 以为焦点坐标的等轴双曲线标准方程是__________. 【答案】 【知识点】双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、根据a、b、c求双曲线的标准方程、等轴双曲线 【分析】根据已知设出双曲线方程，再由焦点坐标和双曲线的性质即可解得. 【详解】由题，可设等轴双曲线标准方程为， 又知焦点为，则， 又，则解得， 故双曲线方程为， 故答案为：. 15.（2023届年浙江省高校招生宁波市中职第三次模拟考试）如图所示，双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为4，则________． 【答案】4 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、等轴双曲线、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边,得到双曲线的渐近线互相垂直,即双曲线是等轴双曲线,结合等轴双曲线的性质进行求解即可. 【详解】双曲线的渐近线为正方形的边,所在的直线, 渐近线互相垂直,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为即 正方形的边长为4, 即, 则即 则 故答案为:4 16.（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试）已知双曲线方程的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的离心率以及渐近线方程求解即可. 【详解】双曲线方程的离心率为， 则，解得. 因此该双曲线的渐近线方程. 故答案为：. 17.（2025届浙江省职教高考第五次模拟考试）已知双曲线实轴的两个顶点分别为，虚轴的两个端点分别为，若，则双曲线的渐近线方程为___________． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据顶点或实虚轴关系求参数 【分析】由可得，即可求得渐近线方程. 【详解】如图，双曲线实轴的两个顶点分别为，虚轴的两个端点分别为， 因为，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 考点3 双曲线的几何性质 【典例3】（2024届浙江省普通高职单独考试嘉兴市第二次适应性考试）椭圆与曲线（，）可能有（    ） A．相同的离心率 B．相同的焦距 C．相同的渐近线 D．相同的顶点 【答案】B 【知识点】求双曲线的焦距、求椭圆的顶点坐标、求椭圆的焦点、焦距、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据椭圆和双曲线的性质即可求解. 【详解】在椭圆中， ， 所以顶点坐标为，焦距为8，离心率为； 对于曲线（，）， 当时，曲线为， 表示焦点在x轴的双曲线， 实轴长为，虚轴长为，其焦距为8， 而离心率和顶点坐标都与k的取值有关， 当时， 曲线为， 表示焦点在x轴的椭圆，长轴长为，短轴长为，其焦距为8， 而离心率和顶点坐标都与k的取值有关. 综上所述， 椭圆与曲线（，）有相等的焦距. 故选：B 【即时训练】 18.（2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区第三次模拟考试）我们把“图像既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称”的曲线称为“优美曲线”，则下列方程所表示的曲线中不是“优美曲线”的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】抛物线的顶点、开口方向、双曲线的对称性、椭圆的对称性 【分析】根据题意结合圆锥曲线的性质分析即可求解. 【详解】对A：的图像是以为圆心，半径为2的圆， 圆既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对B：表示一个椭圆，其中心在原点，长轴沿x轴，短轴沿y轴， 椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对C：表示一个双曲线，其中心在原点，实轴沿x轴，虚轴沿y轴， 双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称，所以是“优美曲线”； 对D：表示一个抛物线，焦点在x轴，开口向右，抛物线只关于y轴对称， 不关于原点和x轴对称，所以不是“优美曲线”. 故选：D. 19.（2024届浙江省宁波市、嘉兴市职教高考二模试题）已知双曲线的左右焦点为，左右顶点为，点M在双曲线上且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的顶点坐标、求双曲线的焦点坐标、已知向量垂直求参数 【分析】不妨设点在第一象限，由结合点M在双曲线上求出点坐标，再由面积公式求的面积即可. 【详解】双曲线，左右焦点分别为， 左右顶点为，点M在双曲线上且， 由于双曲线图象具有对称性，不妨设点在第一象限， 则， 由，则， 即，整理得， 由方程①②解得，， 点在第一象限，所以， 所以. 故选：B. 考点4 双曲线的焦点、焦距与焦点三角形 【典例4】（2024届浙江省职教高考研究联合体高三适应性考试）已知双曲线的两个焦点为和，且点在双曲线上.若，则点到轴的距离为_____. 【答案】 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题、向量垂直的坐标表示 【分析】设出坐标，求出焦点坐标与，，利用内积为零求出坐标，进而可求距离. 【详解】设点，，则， 焦点坐标为，，，， 因为，所以， 即，化简得①， 又点在双曲线上，则②， 联立①②消去得，解得， 点到轴的距离为. 故答案为：. 【即时训练】 20. 双曲线的焦点坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】求双曲线的焦点坐标、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】将双曲线方程化为标准方程，求出后，根据焦点的位置写出坐标即可. 【详解】双曲线可化为, 所以双曲线的焦点在轴，且， 所以，焦点坐标为，. 故选：B 21.（2023届浙江省金华市职教联合高三联考模拟）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则它的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的焦点坐标、已知直线垂直求参数 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再由渐近线互相垂直求出，进而求出其焦点坐标. 【详解】双曲线，令，则， 即双曲线的渐近线方程为， 双曲线的两条渐近线互相垂直，可得， ，即， 所以， 所以它的焦点坐标为. 故选：B. 22. （2023届浙江省普通高职单独考试温州市二模试卷）双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的焦点坐标 【分析】求出双曲线的焦点坐标与双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】由双曲线的方程可知， 故一个焦点为，且知此双曲线的一条渐近线为， 又可知任一焦点到 两条渐近线的距离相等可得， 由点到直线的距离公式可知. 故选：B. 23.（2022届浙江省普通高职单独考试温州市三模试卷）椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为________. 【答案】1 【知识点】求双曲线的焦距、求椭圆的焦点、焦距 【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标,进而可知双曲线的半焦距,根据双曲线的标准方程求得m,答案可得． 【详解】解：由椭圆方程得, 所以椭圆的焦点坐标为. 则双曲线的焦点必在x轴上, 则半焦距, 所以. 解得：. 故答案为：. 24. 已知双曲线的焦点分别为，，离心率为，，点P是双曲线上一点，且P在x轴上方，若的面积为，则P点的纵坐标为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题、求双曲线的焦距、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据离心率公式可得，进而求出焦距，设且，利用可求解. 【详解】因为离心率为，， 所以，解得， 所以，从而. 又因为的面积为，设P点的坐标为且，则 ，解得. 故选：D 25. 已知双曲线的两个焦点为和，经过右焦点的直线与双曲线右支相交于M，N两点，且，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题 【分析】由双曲线的定义即可得解. 【详解】∵双曲线，∴，即， 由双曲线的定义可知①， ②， 又， ①②，得 ， ∴， ∴的周长为. 故选：D. 26. 若双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线上，且直线，的倾斜角之差为60°，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的焦距、双曲线中的焦点三角形问题、余弦定理解三角形、三角形面积公式及应用 【分析】由题意得，利用余弦定理结合双曲线定义求得，进而利用三角形的面积公式可求的面积. 【详解】由双曲线得，从而， 不妨设点M在双曲线的右半支上， ∴， ∵直线，的倾斜角之差为60°，∴， ， 所以， ∴， 故选：D． 27. 点是椭圆上一点，则点与两个焦点，构成的的周长_____. 【答案】 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中的焦点三角形问题 【分析】根据椭圆的定义及标准方程结合题意，即可求解． 【详解】因为椭圆方程为， 所以，， 则的周长为： . 故答案为：. 28. 设为双曲线的焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积为__________． 【答案】1 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、双曲线中的焦点三角形问题 【分析】设，再由双曲线的定义和勾股定理列方程求出的值即可. 【详解】由双曲线，得， 则，设，且满足， 则有，即， 解得，所以的面积为， 故答案为：1. 29. 如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为和，双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为18，点是的中点，其中为坐标原点，则_____. 【答案】4 【知识点】双曲线中的焦点三角形问题、双曲线中距离（和差）的值或最值 【分析】根据椭圆的定义，结合中位线求解即可. 【详解】如图所示，连接， 因为点，分别是，的中点，所以， 双曲线中， 即，又， 所以，解得. 故答案为：4 考点5 双曲线的离心率 【典例5】（2026届浙江省宁波、嘉兴职教高考第二次模拟考试）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形是矩形，则该双曲线的离心率为________.    【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据矩形对角线平分且相等以及离心率的定义求解即可. 【详解】因为四边形是矩形，所以. 因为直线与双曲线交于、两点， 所以，解得，进而. 进而. 因为，所以，化简得， 因此，因为，所以， 进而. 故答案为：. 【即时训练】 30.（2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考试卷）双曲线的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】双曲线中，，，（负值舍去）， ∴离心率． 故选：A. 31.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第五次模拟）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征 【分析】根据双曲线的定义，按焦点位置分类讨论即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，即. 当双曲线焦点在x轴上时，，， 所以，， 所以， 所以. 当双曲线焦点在y轴上时，，， 所以，， 所以， 所以. 故选：C. 32.（2024届浙江省职教高考研究联合体模拟预测试题）如图所示，中心均为坐标原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，且点M，N是双曲线的两个顶点.若点M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据M，N是双曲线的两顶点，M，O，N将椭圆长轴四等分，可得椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，利用双曲线与椭圆有公共焦点，即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值． 【详解】因为M，N是双曲线的两个顶点，且点M，O，N将椭圆的长轴四等分， 所以椭圆的长轴长为双曲线实轴长的2倍， 设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，则 ，即， 因为双曲线与椭圆有共同的焦点，设半焦距长为， 所以双曲线与椭圆的离心率的比值是. 故选：B. 33.（2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟考试）已知双曲线的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用双曲线的离心率公式和渐近线斜率公式，结合已知条件即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，一条渐近线的斜率为， 所以，即，又在双曲线中， 则，解得， 又，所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 34.（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟）若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据双曲线方程得到渐近线方程，由圆方程得到圆心和半径，再根据圆心到渐近线的距离等于圆的半径，得到的关系，即可求解． 【详解】由双曲线可得双曲线的渐近线方程为，即， 由圆的方程可得圆心为，半径为2， 因为渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离， 即，所以，所以. 故选：B. 35.（2024届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟考试）已知椭圆：，（）和双曲线：的离心率分别为，，若，则实数的值为______． 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由椭圆方程和双曲线方程得到离心率和，结合解出. 【详解】已知椭圆：，（）和双曲线：的离心率分别为，， 可得，， 已知， 则，即， 解得（舍去）或. 故答案为：. 36.（2026届浙江省温州市中职三模）已知直线是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的离心率为__________. 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据题意结合双曲线的渐近线求出的值，根据求出值，代入离心率公式即可得解. 【详解】双曲线C：（）， 则，， 所以双曲线的渐近线为， 则，解得， 所以，解得， 离心率， 故答案为：. 37.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）设双曲线的一个焦点为，双曲线的虚轴的一个端点为，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为__________. 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、已知两点求斜率 【分析】根据双曲线的对称性可设出双曲线的标准方程，再利用焦点与虚轴端点的坐标，结合双曲线渐近线方程，得到关于的齐次方法，从而得解. 【详解】由题意，不妨设双曲线的标准方程为， 则，渐近线方程为， 所以，则，即， 又，则，即， 即，解得或（负值舍去）， 故答案为：. 38.（2025届浙江省中职单独考试温州市二模试题）设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线上存在点，满足，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】根据得到为等腰三角形，即可得到点的坐标，代入双曲线方程，即可求解离心率. 【详解】 因为分别为双曲线的左、右焦点， 所以， 因为， 所以为等腰三角形，即， 又，作轴， 即， 所以，代入双曲线， 得到，即， 可化为，即， 解得，又， 即，所以. 故答案为：. 一、【真题溯源】 1.（2026年浙江，23）已知双曲线，焦距为，一条渐近线的方程为，求的值为______. 【答案】2 【知识点】求双曲线的焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据焦距求出值，利用渐近线方程得到，代入即可求解. 【详解】双曲线，则焦点在轴上， 焦距为，即，解得， 一条渐近线的方程为，即， 则，解得， 故答案为：. 2. （2025年浙江，29）如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线AB的斜率； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的渐近线和焦距即可得到双曲线的标准方程； （2）利用点差法解决中点弦问题，即可得到直线AB的斜率； （3）先根据（2）得到直线AB的方程，联立双曲线和直线AB的方程求出弦长AB，再求出点C到直线AB的距离，进而求出的面积. 【小问1详解】 ∵ ∴， 又∵渐近线方程为， ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 则， 由得，③ ∵是AB的中点， ∴，， ∴③式即， ∴， ∴. 【小问3详解】 由（2）可得直线AB的方程为，即 由消去y，整理得， ∴，， ∴. 又∵点到直线AB：的距离， ∴. 3. （2024年浙江，15） 若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧，由此可求参数范围. 【详解】如图，双曲线焦点在轴，直线垂直于轴； 所以若直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧； 双曲线，，左顶点坐标为，右顶点坐标为； 则或，即； 故选：A. 4.（2024年浙江，24）已知双曲线的焦距为8，离心率为2，则其渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦距和离心率求解a和b的值，再代入渐近线方程求解即可. 【详解】由题意可知，又， 所以， 所以 ， 双曲线焦点x轴， 所以渐近线方程为. 故答案为：. 5.（2023年浙江，26）双曲线的渐近线与圆相切，则圆的半径______. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程可求渐近线方程，根据渐近线与圆相切，利用可求解. 【详解】由双曲线可知，焦点在轴， 故渐近线方程为，即， 又因为渐近线与圆相切， 故， 故答案为： 6.（2022年浙江，20）已知双曲线的两个焦点为，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，则的面积为（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作图，观察可以以为底，以点纵坐标为高，分别求出和点纵坐标即可求出面积. 【详解】由题意如图： 由双曲线方程，得， 即圆的半径为， ∵以线段为直径的圆， ∴圆心为原点， 故圆的方程为， 联立方程， 解得， ∵点为第一象限， ∴点的纵坐标为， 点的纵坐标即的高， ∴， 故选：C. 7.（2021年浙江，16）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论双曲线焦点的位置，根据渐近线方程和实轴长求解双曲线的标准方程即可. 【详解】因为双曲线的实轴长为4，则，所以， 当焦点在轴上时，设标准方程为， 此时由渐近线方程可得，解得， 所以标准方程为， 当焦点在轴上时，设标准方程为， 此时由渐近线方程可得，解得， 所以标准方程为， 所以双曲线的标准方程为或. 二、【考向感知】 1.考纲定位 （1）理解双曲线的概念； （2）掌握标准方程、几何性质； （3）会应用解决相关计算与简单综合题。 2.题型分布 （1）选择题：考方程、渐近线、离心率、定义。 （2）填空题：考方程、换算。 （3）解答题：小综合（方程+渐近线+面积） 3.命题特点总结 （1）难度：基础→中等，不偏不怪 （2）不考复杂综合、不考参数方程。 （3）核心：概念清晰、公式熟练、计算准确。 4.2027年命题趋势预测 （1）题量分值不变：1～2 题，5～10 分，选择、填空为主。 （2）核心考点不变：标准方程、渐近线、离心率、换算仍为重点。 （3）可能考小综合解答：类似方程+渐近线+面积或弦长。 （4）不考难题：不考离心率的范围、不考复杂焦点三角形等。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $