专题41 排列与组合（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题41 排列与组合 【复习目标】 1.理解排列、组合的基本概念，精准掌握二者核心区别：排列有序、组合无序，能根据题意快速判断问题类型； 2.熟记排列数、组合数的定义符号与计算公式，熟练掌握阶乘的含义及简化规则，能够独立展开、化简排列数与组合数公式； 3.熟练掌握中职高频受限题型解题方法，包括元素相邻、元素不相邻、特殊元素优先、固定位置限制等经典题型； 4.能结合加法、乘法计数原理，解决分类分步混合的排列组合综合题型，做到计数不重不漏； 5.能将排列组合运算迁移至概率计算、二项分布、超几何分布概率求解中，为后续概率大题筑牢计算基础； 1、 【知识清单】 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个 排列 ．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的 排列数 ，用符号 表示． （2） 排列数的公式： 特例：当时，；规定： 1 ． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个 组合 ．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的 组合数 ，用符号 表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此 ．这里，，且， 这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 二、【技巧归纳】 1. 排列问题解题策略 1、直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 2、优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 3、捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 4、插空法 不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 5、间接法 正难则反、等价转化的方法 2.组合问题解题策略 组合问题的常见类型与处理方法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． （2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 三、【考点清单】 考点1 排列问题 【典例1】（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第二次联合考试试题）五行“金木水火土”是中国古代的一种物质观，多用于哲学、医学等方面，现将“金木水火土”排成一排，则“金”与“火”不相邻的排法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】D 【知识点】排列数的计算、不相邻排列问题 【分析】先求出五个元素全排列的方式，再求出将“金”与“火”捆绑在一起的排列方式，两者相减即可求解. 【详解】（解法一：间接法）将“金木水火土”全排列有种， 将“金”与“火”绑在一起，有金火、火金两种方式，（用捆绑法） 将四个元素全排列有种， 所以“金”与“火”不相邻的排法有种. 故选：D． （解法二：插空法）先将“木水土”排列，一共有种排法，在形成的4个空位中，将“金火”插入，则有种方法，故“金”与“火”不相邻的排法有 种。故 选：D 【即时训练】 1.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联考试题）张小明等四位同学和李老师站成一排参加文艺汇演，李老师是领唱，必须站在正中间，而且张小明不站在两端，则不同的站法有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．36种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据排列组合的概念，结合分步乘法计数原理来求解. 【详解】因为李老师必须站在正中间，则李老师的站法只有1种， 总共有5个人站成一排，李老师站在正中间，张小明不站在两端， 则张小明可选择的位置是除两端和李老师位置外的2个位置，所以张小明的站法有2种， 此时还剩下3个位置和3位同学，这3位同学全排列，共种， 则不同的站法一共有（种）. 故选：B. 2. (2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟考试) 甲、乙、丙、丁四人随机站成一排，若甲站在最左边，则不同的站法有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】A 【知识点】排列数的计算、全排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排特殊元素“甲”，再排剩下三人即可. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四人随机站成一排，甲站在最左边， 所以甲的位置固定，排乙、丙、丁三人即可， 不同的站法有种. 故选：A. 【点拔】限制条件排列高频命题陷阱 1.特殊位置优先（数字首位不能为 0）典型：用 0,1,2,3 组成无重复三位数，先排百位，再排剩余两位； 2.特殊元素优先（某人不能站第一位）分两类：不含该人、含该人安排在其他位置； 3.偶数限制（个位限定偶数数字）先分类讨论个位可选数字，再分步排其余数位。 3. （2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟）学校要从10名同学中选取2名参加数学文化宣讲活动，其中1人为主讲人，另1人为答辩手，则选取方法共有（   ） A．19种 B．45种 C．90种 D．100种 【答案】C 【知识点】排列数的计算 【分析】由排列数公式计算即可. 【详解】学校要从10名同学中选取2名参加数学文化宣讲活动， 其中1人为主讲人，另1人为答辩手， 则选取方法共有. 故选：C. 4. （2026届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试试卷）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排1人，则不同的安排方法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】D 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数计算即可. 【详解】3 个不同的人安排到 3 个不同的舱，每个舱 1 人，属于全排列， 共种不同的安排方法． 故选：D. 5.（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试试卷）计算：（   ） A． B． C． D. 【答案】D 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数公式即可求解. 【详解】由可知， 所以. 故选：D. 6. （2025届浙江省职教高考高三下学期第三次模拟考试）8人站成2排拍照，第一排3人，第二排5人，则不同的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列的意义理解 【分析】根据分步计数原理及排列的定义即可得解. 【详解】第一步从8人中选3人在第一排排序， 第二步剩余5人在第二排排序， 所以共有种排法． 故选：A． 7.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三适应性考试）若人站成两排，每排站人，则不同的站法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【知识点】排列数的计算、全排列问题 【分析】名学生站成两排，每排人，相当于个元素全排列，可得答案. 【详解】名学生站成两排，每排人，不同的排法有（种）. 故选：D. 8. 为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】采用先捆绑，再插空，即将丙与丁绑定，内部排序，作一个整体与戊看作两个元素做一个全排列，最后将甲乙两人插入形成的三个空中即可求解. 【详解】由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与戊看作两个元素做一个 全排列有种站法，此时隔开了三个空，第三步将甲、乙两人插入三个空，排法种数为，则不同的排法种数为. 故选：B 9. 一排6个座位坐了2个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为___________.（用数字作答） 【答案】72 【知识点】排列数的计算、相邻问题的排列问题 【分析】根据题意可将6个座位分成两组，再将同一个家庭的3个成员相邻排列即可求得答案. 【详解】由题可知，同一家人座位相邻，将6个座位分成两组，每组3个座位， 同一家人相邻的不同坐法种数为. 故答案为：72 10. 老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有____________种． 【答案】 【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】首先将男生和女生分别捆绑一起，看成两个元素，再根据条件，写出排列种数. 【详解】要求男生、女生必须分性别站在一起，可以考虑采用捆绑法， 把男生和女生分别看成一个大元素进行处理．男生站在一起看成一个大元素， 女生站在一起看成一个大元素，老师不站在两端，共有种排列． 但4名女生、5名男生本身还有排列顺序要求．所以共有种站队方式． 故答案为： 11. 现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有______种不同的排法（用具体数字作答）. 【答案】24 【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】法一：先将捆绑，再排除以外其他人，最后插空即可； 法二：先将捆绑，进行全排列，再减去在两边的情况. 【详解】法一：将捆绑，则除以外其他四人的排序有种，又不排在两边， 所以可选的位置有两种，所以共种排法； 法二：将捆绑，若的位置任意，则五人的排序有种， 其中排在两边的情况有种， 所以不排在两边的情况有种； 故答案为：. 考点2 组合问题 【典例2】（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）有8支篮球队，其中有2支强队，从中抽取4支参加比赛，则2支强队均被抽中的方法共有（   ） A．11种 B．15种 C．30种 D．60种 【答案】B 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】2支强队均被抽中，则需从剩余的6支队伍中抽取两支队伍，根据组合数的定义即可求解. 【详解】从8支强队中抽取4支参加比赛，2支强队均被抽中， 则需从剩余的6支队伍中抽取两支队伍， 所以2支强队均被抽中的方法共有种. 故选：B. 【即时训练】 12.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试试卷）若从正六边形的6个顶点中，任意选取4个顶点构成四边形，则构成四边形的个数是（   ） A．15 B．30 C．20 D．120 【答案】A 【知识点】几何组合计数问题 【分析】由组合数的公式即可得解. 【详解】从正六边形的6个顶点中，任意选取4个顶点构成四边形， 构成四边形的个数为. 故选：A. 13.（2025届浙江省职教高考宁波、嘉兴地区高三第二次模拟考试）把同样的三张游园票分给10个人中的3人，每人一张，则分法有（   ） A．720种 B．120种 C．360种 D．30种 【答案】B 【知识点】组合数的计算 【分析】根据组合数的计算即可求解. 【详解】因为三张游园票是一样的，所以不需要排列顺序， 所以分法有种， 故选：B 14. （2025届浙江省职教高考研究联合体高三第五次联合考试）在第33届巴黎奥运会中，王楚钦和孙颖莎代表国家队拿下了混双冠军，这是中国乒乓球历史上首枚奥运会混双金牌！成绩的取得离不开前期大量的训练，某乒乓球训练小组现有3名男队员和4名女队员，需从中选拔男女各两名队员参加集训队，则不同的选法有（    ） A．7种 B．9种 C．12种 D．18种 【答案】D 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算 【分析】根据分步乘法计数原理以及组合的定义求解即可. 【详解】从3名男队员中选拔两名队员参加集训队，共种选法. 从4名女队员中选拔两名队员参加集训队，共种选法. 则则不同的选法有种. 故选：D. 15.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试试题）世界上第一条地处高寒地区的高铁线路——哈大高铁，全长为千米，将哈尔滨市和大连市连为一线，哈大高铁以冬季时速千米的“中国速度”行驶在高寒地区，成为了一道亮丽的风景线次列车从哈尔滨西站出发，中间经过长春西站､四平东站､沈阳站､辽阳站､鞍山西站､海城西站､盖州西站､瓦房店西站，终点站是大连北站，则次列车在运行时一共应该准备（    ）种二等座车票. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据从整条线个车站中任意选站作为出发点和到达站，运用组合数进行计算即可. 【详解】整条线路共有站，任意2个车站之间均有1张车票， 故二等座车票种类为（种）. 故选：C. 16.（2026届浙江省新昌技师学院高三高职单独考试摸底测试）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】运用组合数计算从剩下的名选手中选个的选法的种数即可. 【详解】已知乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手， 则有名不是种子选手， 现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内， 则需从剩下的名选手中选名选手共有种选法， 故选：C. 17.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知一个侧棱两两垂直的正三棱锥，从中任取两条互相垂直的棱，则不同的取法有（   ） A．3种 B．5种 C．6种 D．15种 【答案】C 【知识点】棱锥的结构特征和分类、几何组合计数问题 【分析】根据正棱锥的结构特点以及组合数求解即可. 【详解】正三棱锥共6条棱：3条侧棱、3条底边，且侧棱两两垂直. 从3条两两垂直的侧棱中任取2条，共有种不同取法. 由侧棱两两垂直可知，任意一条侧棱都垂直于另外两条侧棱确定的平面， 因此必然垂直于该平面内的对边（底面的底边），一共得到3组侧棱与底边垂直的取法. 底面是正三角形，三条底边两两夹角为60°，不存在互相垂直的底边，因此无额外取法. 总取法为种. 故选：C. 18.（2023届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）若从5名男生和6名女生中，选2名男生和3名女生参加疫苗接种志愿服务，则不同的选法有___________种. 【答案】200 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据分步乘法计数原理，结合组合的意义与组合数的运算计算即可. 【详解】先从5名男生选2名男生的方法数为种， 再先从6名男生选3名男生的方法数为种， 所以不同的选法有种. 故答案为：200. 19. 将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法. 【答案】112 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】f根据分类加法计数原理以及组合数公式求解即可. 【详解】设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支. 因为一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题， 总的放法为. 故答案为：112. 20. 某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 【答案】18 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选修课，结合分步乘法计数和分类加法计数原理求结论. 满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选修课， 其中只选1门知识类选修课的选法有种. 选2门知识类选修课的选法有种. 所以符合条件的选法有种. 故答案为：18. 考点3 排列组合综合应用 【典例3】（2026届浙江省职教高考复习第一次模拟考试）用1，2，3，4，5，6，7这七个数，组成没有重复数字的三位数，并满足且，则这样的三位数共有（   ） A．35个 B．70个 C．105个 D．140个 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、实际问题中的组合计数问题、排列组合综合 【分析】分两步，首先从这七个数取出3个数字，有种取法，再将取出的数按要求排列，有有种方法，根据由分步计数原理可求解. 【详解】因为从数字1，2，3，4，5，6，7中取出3个数字，有种取法， 将取出的3个数字中最大的一个作百位上的数字，另外2个数字分别作十位和个位上的数字，有种方法， 所以符合条件的三位数有个． 故选：B 【即时训练】 21. （2026届浙江省台州市第二次高职模拟考试）2026年春节有《飞驰人生5》、《惊蛰无声》、《镖人》、《熊出没》和《熊猫计划》5部热门电影上映,小明准备去看3部,其中一定要看《熊出没》,则观影顺序有（   ）种 A．24 B．36 C．48 D．12 【答案】B 【知识点】排列组合综合 【分析】根据题意，结合组合数与排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，观影顺序有种. 故选：B. 22. （2023届浙江省高校招生宁波市中职第三次模拟考试）本届冬奥会短道速滑2000米混合接力由武大靖、任子威等五名运动员参赛，若武大靖滑最后一棒（第四棒），则不同出赛方案总数为（    ） A．10 B．24 C．60 D．120 【答案】B 【知识点】排列组合综合 【分析】按照分步计数原理, 组合,再排列. 【详解】四人接力比赛从五名运动员中选择参赛，其中一人已确定第四棒, 故此题化为从四名运动员中安排三人参赛,记为, 因选出的三人均可作为第一棒,第二棒,第三棒,需排列顺序,记为:, 因此列式为:, 故不同出赛方案总数为24种. 故选：B. 23. （2023届浙江省单招单考高三考前适应性练习试题）10位学生排队拍照，前排蹲4人后排站6人，排法总数为P；前排蹲5人后排站5人，排法总数为Q.下列关于P和Q的大小关系正确的是（    ）. A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【知识点】排列数的计算、组合数的计算、分组分配问题、排列组合综合 【分析】从本质上看，两种排法都是10位学生的全排列，与分多少排无关. 【详解】当前排蹲4人后排站6人时，； 当前排蹲5人后排站5人时，， 所以从本质上看，两种排法都是10位学生的全排列，与分多少排无关，即. 故选：B. 24.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第三次调研考试试题）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某学校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法有（    ） A．432种 B．240种 C．192种 D．96种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合 【分析】利用分步乘法计数原理和排列组合公式，计算得到答案. 【详解】利用分步乘法计数原理， 先对“礼、乐、御、书”四节课全排列，有种不同的排课方法， 然后对“射、数”两节课全排列，有种不同的排课方法， 再从“礼、乐、御、书”四节课挑选间隔一艺的排课位置，有种不同的排课方法， 故“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法有种排课方法， 故选：C. 25.（2024届浙江省职教高考联合体高三第二次调研考试试题）某商务中心的大屏幕连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告.若要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（   ） A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 【答案】C 【知识点】排列组合综合 【分析】结合排列数与组合数的应用，利用特殊元素优先考虑和不相邻问题的插空法，即可求解. 【详解】由题意，第一步，先从2个不同的公益宣传广告中选1个排到最后，有种方法； 第二步，将3个不同的商业广告全排列，有种方法； 第三步，将剩下的一个公益宣传广告插到前3个空中的其中一个位置，有种方法； 故共有种不同的播放方式. 故选：C. 26. 现有4个邮件要找3个快递公司投送，要求每个快递公司至少要有1个邮件，则共有__________种分配方法 【答案】36 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、组合数的计算、排列组合综合 【分析】根据排列与组合的实际应用，结合分步乘法计数原理，即可求解． 【详解】根据题意，第一步先将4个邮件分为数量为的三组，共有种方法， 第二步，将三组邮件全排到3个快递公司，共有种方法， 故共有种分配方法． 故答案为：36． 27. 国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数字的7张门卡中的4张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有__________种．（用数字作答） 【答案】312 【知识点】分类加法计数原理、排列数的计算、组合数的计算、排列组合综合 【分析】根据题意，可分两种情况：第一种，四位游客都没有拿到偶数数字门卡；第二种，四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇数数字门卡；结合排列数和组合数的应用，即可求解. 【详解】由题意，门卡标有偶数数字包含，奇数数字包含， 若四位游客都没有拿到偶数数字门卡共有种； 若四位游客中一个拿到偶数数字门卡，三个拿到奇数数字门卡，有种； 故共有种符合条件的分配方案． 故答案为：. 28. 将红、黄、蓝3个小球放入编号为、、的3个盒子中，恰有一个空盒，不同的放法共有________种．（用数字作答） 【答案】 【知识点】排列组合综合、实际问题中的计数问题 【分析】根据排列组合的应用，结合分步计数原理即可求解. 【详解】由题意得，首先从三个盒子中选一个为空盒，则有种选法， 其次先把三个小球分成两组，则有种分法， 再把这两组小球放入剩下的两个盒子有种分法，即有种放法， 所以总共有不同放法种. 故答案为：. 29. 近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________. 【答案】150 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题、排列组合综合 【分析】7个人去三个景点，每个景点至少2人，则两个景点两人，一个景点3人，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点，分类相加即可. 【详解】由题，两个关系好的女生要在一起，则为特殊元素，可以分为，她俩单独一个景点和她俩和另外一位同学一个景点， 第一类：仅要好的两位女生去同一景点； 第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一景点， 总方法数为. 故答案为：150. 30. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．开赛前，组委会欲将某高校4名男志愿者、2名女志愿者共6人平均分成3组，分别担任铁人三项、马术和攀岩3个项目的志愿者，且2名女志愿者不在同一组，则不同的选择方案共有______种． 【答案】72 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、排列组合综合 【分析】由题意，先从4名男志愿者中选2人作为一组，再将另外2名男志愿者和2名女志愿者搭配成2组，最后将分好的3组志愿者分配到3个体育项目中，结合分步计数原理计数即可求解. 【详解】由题意知，必有2名男志愿者在同一组，所以完成该事件可分为3步： 第一步，从4名男志愿者中选2人作为一组，有（种）方法； 第二步，将另外2名男志愿者和2名女志愿者搭配成2组，有（种）方法； 第三步，将分好的3组志愿者分配到3个体育项目中，有（种）方法． 综上所述，由分步计数原理得，共有（种）方法． 故答案为：72 一、【真题溯源】 1.（2026年浙江，9）共有11个景点，从中选取3个有序浏览，不同的浏览顺序共有（   ） A．165 B．330 C．720 D．990 【答案】D 【知识点】排列数的计算 【分析】根据题意结合排列数的计算即可得解. 【详解】有11个景点，从中选取3个有序浏览， 不同的浏览顺序共有种， 故选：. 2. （2025年浙江，9）如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先观察这几个几何体有几个三角形面，再根据排列数计算即可. 【详解】一共有5个几何体，其中从左至右第1、3、5个几何体有三角形面， 第一步，这3个有三角形面的几何体排在一起，排列方法有种，将其看作一个元素； 第二步，再与其余2个几何体一起共3个元素进行全排列，有种方法， 所以共有排列方法（种）. 故选：C. 3. （2024年浙江，7）现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计算原理和排列的定义，先安排队员再安排教练即可求解. 【详解】由题意， 先安排队员，共有种排法， 因为教练不排两端， 故教练在中间三个位置上选一个有种排法， 所以不同的排法共有种. 故选：B. 4.（2023年浙江，15）身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】通过分步计数与插空法求解. 【详解】首先将两个穿红衣服的人排列，构成三个空， 再把一个穿黄色衣服的人安排在最中间的空中， 把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中， 所以共有种. 故选：C 5.（2022年浙江，8） 从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记，不同选法的种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由题意分析，利用排列数公式计算即可. 【详解】从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记， 则不同选法的种数为. 故选：D. 6.（2021年浙江，8）从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 10种 C. 15种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【分析】从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，与顺序无关，是组合问题，据此可求解. 【详解】从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法有 （种）. 故选：B 二、【考向感知】 排列与组合是浙江中职单招数学概率统计板块核心必考内容，全部以选择题形式考查，命题不追求复杂偏难模型，核心考察两点：一是能否准确区分有序排列、无序组合；二是能否结合分类加法、分步乘法原理处理带限制条件的实际计数问题。 核心考查重心持续倾斜：重“有序、无序”辨析，轻复杂计算 趋势 1：弱化纯公式直接计算题，强化情境建模 早年少量直接计算​送分题逐年减少；现在几乎全部包装生活情境，命题第一考点就是区分排列（有序）、组合（无序）。 排列标志性情境：班委分工、数字组数、排队站位、课程排序、分配岗位； 组合标志性情境：选代表、抽样产品、选课、只分组不分职位。阅卷数据显示 80% 失分不是计算错，而是分不清该用 A 还是 C，是命题人刻意设置的核心区分点。 趋势 2：带单一限制条件成为主流必考模型 无限制纯选取题目逐年变少，特殊元素、特殊位置限制常态化，每套试卷必有一道限制类小题： （1）数字组数类高频限制：0不能放首位、组成偶数、数字无重复、数值大于几百； （2）人员选取限制：某人不能排头、男女搭配、至少1男、至多2女； 解题统一模板：特殊位置优先、分类加法、每类分步乘法，是浙江单招固定命题套路。 趋势 3：“先选后排”综合题型逐年增多（中档拉分核心） 近三年最明显变化：单纯排列、单纯组合题占比下降，先组合选人，再排列分配综合题成为主流：模板：先从人群中选出若干人（组合），再分配不同岗位、排列数字（排列），分步相乘；常搭配男女分层选取，需要分类讨论求和。 2.2027预判总结 （1）题型分值不变：单选 1～2 题，2～4 分，无解答大题； （2）考查逻辑不变：核心永远是区分有序与无序，搭配分类分步计数原理； （3）两大变化趋势 ①情境更生活化、时代化，文字阅读量小幅增加，强化建模； ②单独排列组合题减少，与古典概率融合综合题增多； （4）难度小幅微调：基础题不变，中档题灵活性提升，反套路，杜绝机械背题；不增加超纲难题，整体难度保持平稳； （5）备考核心导向：放弃偏难怪拓展，重点训练 “判断有序无序 + 特殊限制优先 + 先选后排分类讨论” 三类基础解题逻辑，同步结合概率综合刷题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题41 排列与组合 【复习目标】 1.理解排列、组合的基本概念，精准掌握二者核心区别：排列有序、组合无序，能根据题意快速判断问题类型； 2.熟记排列数、组合数的定义符号与计算公式，熟练掌握阶乘的含义及简化规则，能够独立展开、化简排列数与组合数公式； 3.熟练掌握中职高频受限题型解题方法，包括元素相邻、元素不相邻、特殊元素优先、固定位置限制等经典题型； 4.能结合加法、乘法计数原理，解决分类分步混合的排列组合综合题型，做到计数不重不漏； 5.能将排列组合运算迁移至概率计算、二项分布、超几何分布概率求解中，为后续概率大题筑牢计算基础； 1、 【知识清单】 1、排列与排列数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个 ．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的 ，用符号 表示． （2） 排列数的公式： 特例：当时，；规定： ． （3）排列数的性质：①；②；③． 2、组合与组合数 （1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个 ．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的 ，用符号 表示． （2）组合数公式及其推导 求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数； 第二步，求每一个组合中个元素的全排列数； 根据分步计数原理，得到； 因此 ．这里，，且， 这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．特例：． 注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式常用于具体数字计算，常用于含字母算式的化简或证明． （3）组合数的主要性质：①；②． 3、排列和组合的区别 （1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工． （2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同． 【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”． 二、【技巧归纳】 1. 排列问题解题策略 1、直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 2、优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 3、捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 4、插空法 不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 5、间接法 正难则反、等价转化的方法 2.组合问题解题策略 组合问题的常见类型与处理方法 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取． （2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解． 三、【考点清单】 考点1 排列问题 【典例1】（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第二次联合考试试题）五行“金木水火土”是中国古代的一种物质观，多用于哲学、医学等方面，现将“金木水火土”排成一排，则“金”与“火”不相邻的排法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【即时训练】 1.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联考试题）张小明等四位同学和李老师站成一排参加文艺汇演，李老师是领唱，必须站在正中间，而且张小明不站在两端，则不同的站法有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．36种 2. (2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区高三第三次模拟考试) 甲、乙、丙、丁四人随机站成一排，若甲站在最左边，则不同的站法有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 3. （2026届浙江省宁波市职教高考高三第一次模拟）学校要从10名同学中选取2名参加数学文化宣讲活动，其中1人为主讲人，另1人为答辩手，则选取方法共有（   ） A．19种 B．45种 C．90种 D．100种 4. （2026届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试试卷）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验，每个舱安排1人，则不同的安排方法有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 5.（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试试卷）计算：（   ） A． B． C． D. 6. （2025届浙江省职教高考高三下学期第三次模拟考试）8人站成2排拍照，第一排3人，第二排5人，则不同的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 7.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三适应性考试）若人站成两排，每排站人，则不同的站法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 8. 为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种. A．40 B．24 C．20 D．12 9. 一排6个座位坐了2个三口之家，若同一家人座位相邻，则不同的坐法种数为___________.（用数字作答） 10. 老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有____________种． 11. 现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有______种不同的排法（用具体数字作答）. 考点2 组合问题 【典例2】（2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟考试）有8支篮球队，其中有2支强队，从中抽取4支参加比赛，则2支强队均被抽中的方法共有（   ） A．11种 B．15种 C．30种 D．60种 【即时训练】 12.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试试卷）若从正六边形的6个顶点中，任意选取4个顶点构成四边形，则构成四边形的个数是（   ） A．15 B．30 C．20 D．120 13.（2025届浙江省职教高考宁波、嘉兴地区高三第二次模拟考试）把同样的三张游园票分给10个人中的3人，每人一张，则分法有（   ） A．720种 B．120种 C．360种 D．30种 14. （2025届浙江省职教高考研究联合体高三第五次联合考试）在第33届巴黎奥运会中，王楚钦和孙颖莎代表国家队拿下了混双冠军，这是中国乒乓球历史上首枚奥运会混双金牌！成绩的取得离不开前期大量的训练，某乒乓球训练小组现有3名男队员和4名女队员，需从中选拔男女各两名队员参加集训队，则不同的选法有（    ） A．7种 B．9种 C．12种 D．18种 15.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试试题）世界上第一条地处高寒地区的高铁线路——哈大高铁，全长为千米，将哈尔滨市和大连市连为一线，哈大高铁以冬季时速千米的“中国速度”行驶在高寒地区，成为了一道亮丽的风景线次列车从哈尔滨西站出发，中间经过长春西站､四平东站､沈阳站､辽阳站､鞍山西站､海城西站､盖州西站､瓦房店西站，终点站是大连北站，则次列车在运行时一共应该准备（    ）种二等座车票. A． B． C． D． 16.（2026届浙江省新昌技师学院高三高职单独考试摸底测试）某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 17.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知一个侧棱两两垂直的正三棱锥，从中任取两条互相垂直的棱，则不同的取法有（   ） A．3种 B．5种 C．6种 D．15种 18.（2023届浙江省职教高考研究联合体适应性考试）若从5名男生和6名女生中，选2名男生和3名女生参加疫苗接种志愿服务，则不同的选法有___________种. 19. 将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法. 20. 某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 考点3 排列组合综合应用 【典例3】（2026届浙江省职教高考复习第一次模拟考试）用1，2，3，4，5，6，7这七个数，组成没有重复数字的三位数，并满足且，则这样的三位数共有（   ） A．35个 B．70个 C．105个 D．140个 【即时训练】 21. （2026届浙江省台州市第二次高职模拟考试）2026年春节有《飞驰人生5》、《惊蛰无声》、《镖人》、《熊出没》和《熊猫计划》5部热门电影上映,小明准备去看3部,其中一定要看《熊出没》,则观影顺序有（   ）种 A．24 B．36 C．48 D．12 22. （2023届浙江省高校招生宁波市中职第三次模拟考试）本届冬奥会短道速滑2000米混合接力由武大靖、任子威等五名运动员参赛，若武大靖滑最后一棒（第四棒），则不同出赛方案总数为（    ） A．10 B．24 C．60 D．120 23. （2023届浙江省单招单考高三考前适应性练习试题）10位学生排队拍照，前排蹲4人后排站6人，排法总数为P；前排蹲5人后排站5人，排法总数为Q.下列关于P和Q的大小关系正确的是（    ）. A． B． C． D．无法比较 24.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第三次调研考试试题）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数.某学校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不同排课方法有（    ） A．432种 B．240种 C．192种 D．96种 25.（2024届浙江省职教高考联合体高三第二次调研考试试题）某商务中心的大屏幕连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告.若要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（   ） A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 26. 现有4个邮件要找3个快递公司投送，要求每个快递公司至少要有1个邮件，则共有__________种分配方法 27. 国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数字的7张门卡中的4张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有__________种．（用数字作答） 28. 将红、黄、蓝3个小球放入编号为、、的3个盒子中，恰有一个空盒，不同的放法共有________种．（用数字作答） 29. 近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________. 30. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．开赛前，组委会欲将某高校4名男志愿者、2名女志愿者共6人平均分成3组，分别担任铁人三项、马术和攀岩3个项目的志愿者，且2名女志愿者不在同一组，则不同的选择方案共有______种． 一、【真题溯源】 1.（2026年浙江，9）共有11个景点，从中选取3个有序浏览，不同的浏览顺序共有（   ） A．165 B．330 C．720 D．990 2. （2025年浙江，9）如图五个多面体从左到右排成一列，有三角形面的几何体需要相邻，排列方法有（ ）种 A. 120 B. 48 C. 36 D. 12 3. （2024年浙江，7）现有4名队员和1名教练排成一排合影留念，教练不排两端，则不同的排法共有（ ） A. 120种 B. 72种 C. 48种 D. 24种 4.（2023年浙江，15）身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5.（2022年浙江，8） 从5位候选人中选2位，分别担任班长和团支部书记，不同选法的种数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 20 6.（2021年浙江，8）从5位老师中任意选出3位参加志愿者活动，不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 10种 C. 15种 D. 20种 二、【考向感知】 排列与组合是浙江中职单招数学概率统计板块核心必考内容，全部以选择题形式考查，命题不追求复杂偏难模型，核心考察两点：一是能否准确区分有序排列、无序组合；二是能否结合分类加法、分步乘法原理处理带限制条件的实际计数问题。 核心考查重心持续倾斜：重“有序、无序”辨析，轻复杂计算 趋势 1：弱化纯公式直接计算题，强化情境建模 早年少量直接计算​送分题逐年减少；现在几乎全部包装生活情境，命题第一考点就是区分排列（有序）、组合（无序）。 排列标志性情境：班委分工、数字组数、排队站位、课程排序、分配岗位； 组合标志性情境：选代表、抽样产品、选课、只分组不分职位。阅卷数据显示 80% 失分不是计算错，而是分不清该用 A 还是 C，是命题人刻意设置的核心区分点。 趋势 2：带单一限制条件成为主流必考模型 无限制纯选取题目逐年变少，特殊元素、特殊位置限制常态化，每套试卷必有一道限制类小题： （1）数字组数类高频限制：0不能放首位、组成偶数、数字无重复、数值大于几百； （2）人员选取限制：某人不能排头、男女搭配、至少1男、至多2女； 解题统一模板：特殊位置优先、分类加法、每类分步乘法，是浙江单招固定命题套路。 趋势 3：“先选后排”综合题型逐年增多（中档拉分核心） 近三年最明显变化：单纯排列、单纯组合题占比下降，先组合选人，再排列分配综合题成为主流：模板：先从人群中选出若干人（组合），再分配不同岗位、排列数字（排列），分步相乘；常搭配男女分层选取，需要分类讨论求和。 2.2027预判总结 （1）题型分值不变：单选 1～2 题，2～4 分，无解答大题； （2）考查逻辑不变：核心永远是区分有序与无序，搭配分类分步计数原理； （3）两大变化趋势 ①情境更生活化、时代化，文字阅读量小幅增加，强化建模； ②单独排列组合题减少，与古典概率融合综合题增多； （4）难度小幅微调：基础题不变，中档题灵活性提升，反套路，杜绝机械背题；不增加超纲难题，整体难度保持平稳； （5）备考核心导向：放弃偏难怪拓展，重点训练 “判断有序无序 + 特殊限制优先 + 先选后排分类讨论” 三类基础解题逻辑，同步结合概率综合刷题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $