第二章 有理数的运算 同步讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦有理数的运算，系统梳理加法、减法、乘法、除法、乘方及混合运算的法则与运算律，从基础运算到综合应用，构建“法则-运算律-混合运算-实际应用”的学习支架，衔接科学记数法与近似数知识。 资料通过生活化例题（如零花钱收支、温度比较）培养数学眼光，分层例题与同步检测（A/B/C级）提升运算能力和推理意识，结合科学记数法（如湿地面积数据）强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识体系。

第二章 有理数的运算 学习目标 1.理解乘方的意义，会用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算 2.掌握并熟练地对有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。 3.理解有理数的运算律，能合理运用有理数的运算律化简运算，能运用有理数的运算解决简单问题。 2.1 有理数的加法与减法 知识精讲 知识点1 有理数的加法法则 1.同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0 3.一个数与0相加，仍得这个数 【例】：；、； 例题训练 1．下列各式的结果中，符号为正的是（　　） A．（﹣3）+（+6） B．（﹣9）+0 C．（﹣13）+（﹣8） D．（﹣6）+6 2．计算：4+（﹣28）+（﹣2） 3．嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（　　） A．﹣5+9 B．﹣5﹣9 C．5+9 D．5﹣9 知识点2 有理数加法运算律 1.加法交换律【】：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变 2.加法结合律【】：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 知识点3 有理数的减法法则 1.减去一个数，等于加这个数的相反数 2.有理数的减法是有理数的加法的逆运算 注意：减法转化为加法时，减数一定要改变符号 3.利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离：数轴上两点表示的数分别为时，这两点之间的距离，即在数轴上，任意两点间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值（或两点之间的距离等于这两点所表示的数中较大的数减去较小的数） 例题训练 1．下列温度中，比﹣4℃低1℃的温度是（　　） A．2℃ B．﹣3℃ C．0℃ D．﹣5℃ 2．计算：﹣20﹣（﹣18） 知识点4 有理数的加减混合运算 1.先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算 2.运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换 3.省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法，①读成数的和②读加减 【例】：−2−3+27−24，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24 例题训练 1．计算： （1） （2） （3）﹣10+3+（﹣5）﹣|﹣3| （4）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13 （5）﹣3+（﹣5）﹣|﹣6|﹣（﹣4） （6） 同步检测 1．【A】如果冰箱冷藏室的温度是5℃，冷冻室的温度是﹣3℃，则冷藏室比冷冻室高（　　） A．8℃ B．﹣8℃ C．﹣2℃ D．2℃ 2．【B】计算：﹣|﹣5|﹣（﹣5）＝　 　 ． 3．【B】如图，小胡同学在做作业时，不慎将数轴上的数字污染了一部分，那么被污损的部分中各个整数的和为　 　 ． 4．【B】按如图所示的程序分别输入﹣1进行计算，请写出输出结果为 　 　 ． 5．【B】如图，是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将﹣3，2，﹣1，0，1，﹣2，3，﹣4分别填入图中的圆圈内，使横、竖，以及内外两圈上的4个数字之和都相等．已知图中的△、⊙分别表示一个数，那么△+⊙的值为　 　 ． 6．【B】我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方一九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，将“红色基因”这四个汉字分别放在四个方格内，汉字遮盖了原来方格内的数字，则图中“红”遮盖的数字是 　 　 ． 7．【B】计算： （1）． （2）． 8．【C】已知，|a|＝﹣a，1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝　 　 ． 9．【C】如果|a|＝6，|b|＝5，且a＜b，请你求出a+b的值． 2.2 有理数的乘法与除法 知识精讲 知识点1 有理数的乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0 例题训练 1．计算（﹣6）×2的结果等于（　　） A．﹣12 B．﹣4 C．12 D．9 知识点2 倒数 1.概念：乘积是1的两个数互为倒数 2.求法：①分数的倒数将分子分母交换位置，带分数要先化为假分数②非0整数的倒数将整数作分母，1作分子③小数的倒数对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数；对于除不尽的数，转换为分数再进行 3.0没有倒数；倒数等于本身是±1 例题训练 1．2026的倒数是（　　） A．2026 B． C． D．﹣2026 知识点3 有理数的乘法运算律 乘法交换律【】：两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律【】：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率【】：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；奇数时，积为负数 2.几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0 知识点5 有理数除法法则 1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 2.两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商；0除以任何一个不等于0的数，都得0 注意：一般在不能整除的情况下选用法则一比较简便，在能整除的情况下，选用法则二比较简便 3.两个数相除，若商为1，则这两个数相等；若商为-1，则这两个数互为相反数 例题训练 1．计算的结果等于（　　） A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4 知识点6 有理数的乘除混合运算 1.有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果 例题训练 1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）（﹣7）×（﹣56）×0÷（﹣13）． 知识点7 有理数的加减乘除混合运算 1.先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算 例题训练 1．计算： （1）﹣13+8+4﹣7； （2）； 同步检测 1．【A】如图，数轴上A，B两点分别对应的数为a，b，则下列结论正确的是（　　） A．b＞a B．a+b＞0 C．|b|＝b D．ab＜0 2．【A】小陆同学在计算（﹣9）+a时，误将“+”看成“÷”而算得结果是3．请解决下列问题： （1）a的值是　 　 ； （2）（﹣9）+a的正确结果是　 　 ． 3．【A】计算： （1）； （2）0.1÷（﹣0.001）÷（﹣1）； 4．【A】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．请运用分类讨论的数学思想方法，解答下面的问题： （1）三个有理数a、b、c满足abc＜0，求的值； （2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值． 5．【B】下列说法正确的有（　　） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或﹣3； ②已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0时，则的值为﹣1或3； ③若|a|＝|b|且，则式子a﹣2b的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．【B】综合与探究 分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 用这种方法，解决下列问题． （1）当a＝﹣5时，　 　 ；当a＝3.1415时，　 　 ；若a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则　 　 ． （2）若ab＞0，求的值． （3）若a，b，c是三个非0有理数，请直接写出的值． 7．【B】已知|x|＝7，|y|＝3，且xy＜0，则x+y的值是（　　） A．﹣4或﹣10 B．﹣4或4 C．﹣10或10 D．4或10 8．【B】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（　　） ①a+b＜0；②b﹣a＞0；③；④3a﹣b＞0；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．【B】若定义新运算规定：，则计算的结果为（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．0 D．10 10．【B】某社区服务中心为独居老人提供“爱心午餐”，每套午餐需搭配主食，主菜，配菜各一份，5个志愿者小组每天可完成的加工任务如表： A组 B组 C组 D组 E组 主食/份 50 50 60 40 70 主菜/份 90 120 80 100 100 配菜/份 120 110 110 70 80 每个小组每天在完成主食的加工任务之余只能再完成主菜或配菜中的一项加工任务．例如：A组每天最多能加工完成50份主食和90份主菜．或者加工完成50份主食和120份配菜． （1）如果只有A组和B组一起加工，一天内最多能配齐　 　 套完整午餐； （2）如果有4个小组一起加工，一天内报多能配齐　 　 套完整午餐． 11．【B】若a，|b|＝2，且ab＜0，则a+b的值为 　 　 ． 12．【B】下列说法：①若a+b＝0，则；②若a+b＜0，且，则|a+3b|＝﹣a﹣3b；③若a＞b，则（a+b）（a﹣b）＞0；④若a+b+c＜0，ab＞0，c＞0，则．其中正确的有　 　 ．（填序号） 13．【C】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的有 　 　 ． 14．【C】“十一”国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升4.4km 4.4km 下降3.2km ﹣3.2km 上升1.1km +1.1km 下降1.5km ﹣1.5km （1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ （2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 2.3 有理数的乘方 知识精讲 知识点1 有理数的乘方 1.一般地，个相同的乘数相乘，即，记作．求个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂 2.中，叫作底数，叫作指数，读作的次方（或的次幂） 【Tips】power 名词 能力、力量 乘方让数值迅速增大，就像具备某种“增长的力量” 3.乘方的运算符号：正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0 4.互为相反数的两个数，奇次幂仍互为相反数；偶次幂相等 5.表示个相乘的积；表示个相乘的相反数；表示个相乘的积 例题训练 1．计算的结果是（　　） A．3a+6b B．3a+6b C．3a+b6 D．3a+6b 2．可以记作（　　） A．（﹣3）8 B．﹣38 C．（﹣8）3 D．﹣83 知识点2 有理数的混合运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 例题训练 1．计算： 知识点3 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中大于或等于1且小于10，是正整数），这种记数方法叫作科学记数法。对于小于−10的数也可以类似表示 例题训练 1．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为　 　 ． 知识点4 近似数 1.接近实际数值的数，叫作近似数 2.近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示。一般地，一个近似数四舍五人到哪一位，就说这个数精确到哪一位 例题训练 1．用四舍五入法得到的近似数59.25万，精确到了（　　） A．十位 B．百位 C．十分位 D．百分位 同步检测 1．【A】用四舍五入法对2.708取近似数（精确到百分位），正确的是（　　） A．2.70 B．2.71 C．2.7 D．2.8 2．【A】下列说法正确的是（　　） A．近似数1.8945精确到0.001 B．近似数0.520精确到百分位 C．近似数3.72精确到百分位 D．近似数5000精确到千位 3．【A】用四舍五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值： （1）245.635（精确到0.1）；（2）175.65（精确到个位）； （3）12.004（精确到百分位）；（4）6.5378（精确到0.01）． 4．【A】近似数7.21精确到（　　） A．个位 B．百位 C．十分位 D．百分位 5．【A】用四舍五入法将18.168精确到百分位，其近似值为　 　 ． 6．【A】近年来，直播带货火爆网络，综合实践学习小组调查了某网络直播一周的带货情况，规定每天销量超过500单（卖出一件称为一单）的部分记为“+”，低于500单的部分记为“﹣”，表中是该网络直播一周的销售量： 一 二 三 四 五 六 日 销量（单） +16 +18 ﹣14 ﹣6 +27 ﹣12 +13 （1）本周每天的最低销售量与最高销售量相差多少单？ （2）求该网络直播这一周平均每天销售多少单？ （3）该网络直播每天的工资由底薪400元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过500单，则每少一单罚款2元；超过500单，则超过的部分每单提成1元，求该网络直播这一周工资的总收入． 7．【B】在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（　　） A．9.5×1012千米 B．9.5×1013千米 C．3.99×1012千米 D．3.99×1013千米 8．【B】2026年4月，国际能源署（IEA）发布报告指出，全球AI数据中心的年度总耗电量已突破950000000000千瓦时，将数950000000000用科学记数法表示为（　　） A．95×1010 B．9.5×1010 C．9.5×1011 D．0.95×1011 9．【B】2026年3月16日，国家统计局新闻发言人在国新办新闻发布会上介绍，1﹣2月份我国货物进出口总额77321亿元，同比增长18.3%．数据“77321亿”用科学记数法表示为（　　） A．7.7321×104 B．0.77321×1013 C．7.7321×1012 D．77.321×1011 10．【B】2025年中国科研团队成功研制出全球首款“破晓”半导体电荷存储器，把存储速度推向了新高度．已知传统存储器每秒最多可以擦写1000次，“破晓”半导体电荷存储器的擦写速度约为传统存储器擦写速度的2.5×106倍，则“破晓”半导体电荷存储器的擦写速度每秒最多约为（　　） A．2.5×107次 B．2.5×108次 C．2.5×109次 D．2.5×1010次 11．【B】2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从A地出发，在东西方向公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：km）：﹣5，+8，﹣4，+7，﹣10，+6． （1）检修小组最终停在距A地多远的地方？ （2）若汽车每千米耗油0.15升，当天从出发到收工回到A地共耗油多少升？若油价为8元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ （3）若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶100km耗电12度，且使用充电桩充电的价格是每度电1.5元，那么该汽车从出发到收工回到A地的耗电费用约为多少元？ 12．【B】若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2013＝　 　 ． 13．【B】若|a﹣2|+（b）2＝0，则ba＝　 　 ． 14．【B】小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单 锅底1份38.00；精品羊肉1份48.00 雪花牛肉1份58.00；毛肚1份68.00 贡丸1份28.00；金针菇1份18.00 蔬菜拼盘1份28.00；可乐（饮料）1瓶10.00 共计296.00元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）；（2）支付宝付款可享受全单八八折；（3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 15．【B】某数学兴趣小组在综合与实践课上对“铺地锦”法计算乘法进行了探究，请根据以下素材，探究完成任务． 素材 我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算两位数乘法的方法，被称为“铺地锦”．例：计算36×41，如图，首先把乘数36和41分别写在方格的上面和右面，然后以36的每位数字分别乘以41的每位数字，将结果计入对应的格子中，如3×4＝12中的12写在3下面的方格里，十位上的1写在斜线的上面，个位上的2写在斜线的下面；如果结果只有个位数，比如6×1＝6，在斜线上面的十位上就写0，个位6写在斜线的下面；再把同一斜线上的数相加（和大于10时则向上一级进位即可），结果写在斜线左下端对应的方格旁，最后把得数依次写下来是1476，即36×41＝1476． 任务 （1）用“铺地锦”的方法计算：72×26. 16．【C】观察算式： ， ， ； … （1）按规律填空： ①　 　 ； ②　 　 ； ③如果n为正整数， 那么　 ； （2）计算（由此拓展写出具体过程）： ①； ②1． 17．【C】已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1． （1）求2※4的值； （2）求（1※4）※（﹣2）的值； （3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果：□※〇和〇※□； （4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来． 学科网（北京）股份有限公司 $